Benzerlik ile İlgili Sorular (İleri Seviye)

Elimizde bu diyagram var ve şuradaki CF'nin uzunluğunu bulmalıyız.Tahmin ediyorsunuzdur, bu benzer üçgenlerle ilgili bir şey. En azından CFE, ABE'ye benzermiş gibi görünüyor.Evet bu şekilde verilmiş. Ve CFB, DEB'ye benzer gibi.Ama, önce bunu kanıtlamalıyız. Daha sonra belki farklı uzunlukların CF'ye oranına bakıp, CF'nin uzunluğunu bulabiliriz. Önce bunların kesinlikle benzer üçgenler olduğunu kendimize kanıtlayalım evet. Burada 90 derecelik bir açınız var: ABE açısı. Ve CFE'nin de 90 derece olduğunu biliyoruz. Eğer bir açının ya da başka bir grup eşdeğer açının daha aynı olduğunu kanıtlarsak, üçgenlerin benzer olduğunu kanıtlamış oluruz evet. Burada şu açıyı paylaştıklarını gösterebiliriz: CEF açısı, AEB ile aynı. Evet.. Bu üçgenlerde eşdeğer iki açı gösterdik. Bu iki üçgende de olan bir açı. Bunlar eş bu nedenle üçgenler benzer. Ayrıca şunu da göstere bilirsiniz, şu doğru muhtemelen bu doğru çünkü şu iki açı eş evet.Şu açılarda eş olmalılar.Yani bunlar kesinlikle benzer üçgenler. Bunu aklımızda tutalım. ABE'nin, CFE'ye benzer olduğunu biliyoruz. Ama bunu doğru bir sıralamayla yapmalıyız. F, 90 derecelik açının olduğu yer. B de 90 derecelik açının olduğu yer. Ve E de turuncu açının olduğu yer. Yani CFE üçgenine benzer. Şimdi aynı ifadeyi diğer tarafa doğru, yani DEB'ye bakarak bulalım Yine burada 90 derecelik açı var.Burası 90 ve şurası da kesinlikle 90 olacak. CFB'de 90 derecelik bir açımız var. DEF ya da DEB'de de nasıl adlandırdığınız fark etmez buralarda da 90 derecelik bir açımız var. Bir grup, aynı olan eşdeğer açıları var. Ve şuradaki açıyı da paylaşıyorlar. Küçük üçgende , şuradakine bakmıyorum, sağ taraftaki. İkisi, şuradaki açıyı paylaşıyorlar. DBE açısı, CBF'yle aynı. Size bu açının şuradakine eş olduğunu göstermiştim. Şu açı ise ikisinin ortak açısı, ve tabii ki kendine eş. Yani elimizde iki tane eşdeğer birbirinin aynısı olan açı var. Şuradaki büyük üçgenin, bu küçük olana benzer olduğunu biliyoruz.Evet bunu yazıyım, şunu da biliyoruz Şunu da biliyoruz ki DEB üçgeni CFB üçgenine benzer. Şimdi ne yapabiliriz? Biliyoruz ki bu her biri, birbirine benzer olan üçgenlerin eşdeğer kenarlarının oranları aynı olmak zorunda. Ama üçgenlerin yalnızca tek bir kenar uzunluğunu biliyoruz. ABE ve CFE durumlarında sadece bir kenar verilmiş. DEB ve CFB durumlarında da şuradaki bir kenar verilmiş. Elimizde kullanabileceğimiz fazla bir şey yok gibi. Bu yüzden bu problem bayağı, oldukça zorlayıcı. Evet şimdi varsayımlarımıza başlayalım. Şuradaki kenarın BE'nin evet, Y'ye eşit olduğunu varsayalım. Bunu yazayım. Tüm bu uzunluk Y'ye eşit olacak. Çünkü bu en azında bize uğraşabileceğimiz bir şey verecek. Bir değer verecek. Ve Y, ABE ve DEB tarafından paylaşılıyor. Şuradaki kısa, küçük üçgenler evet. Belki de bu uzunluğa, BF'ye X diyebiliriz. Ve FE'ye de, şurası X iken, buraya da Y eksi X diyelim. Evet buraya bir takım değişkenler yerleştirdik. Ve belki de tüm bu oranları kullanırsak her şey çözüme ulaşacak.Ya da en azından bu problemle ilgili neler yapabileceğimiz konusunda ki algımızı geliştirebiliriz.Evet neyse, şimdi benzer üçgenlerle uğraşmaya başlayabiliriz.Örneğin CF'yi bulmak istiyoruz evet. Biliyoruz ki, şu iki üçgen için, eşdeğer kenarların oranı sabit. Örneğin, eşdeğer kenarlar CF ve 9'un oranı, şuradaki Y eksi X kenarı ile büyük üçgendeki eşdeğer kenarın oranına eşit olmalı evet. Büyük üçgendeki eşdeğer kenar şuradaki bütün uzunluk ve bu da Y demek oluyor. Yani Y eksi X bölü Y'ye eşit. Bunu biraz sadeleştirebiliriz.Bunu biraz erteleyip, sağdaki şu şeyle de buna benzer bir şey yapabiliyor muyuz onu görelim. Evet artık CFE üçgenine bakmıyoruz. CF bölü DE , X bölü BE'ye yani şu tüm uzunluğa Y'ye eşit olacak. Bu enteresan çünkü 3 tane bilinmeyenimiz var. DE'yi zaten biliyoruz. CF bölü 12 de yazabilirdim. CF ve 12 arasındaki oran, X ve Y arasındaki orana eşit olacak. Yani 3 tane bilinmeyenimiz ve 3 tane de denklemimiz var. İlk bakışta çözmesi bayağı zor gibi görünüyor çünkü burada bir bilinmeyen, başka bir tane, bir tane daha ve bir tane daha evet. Ama şuraya, bu ifadeyi X bölü Y olarak yazabilirim.Evet ve sonra bir yerine koyma işlemi yapabiliriz; bu yüzden bu biraz aldatıcı.Şuradakini CF bunu aynı yeşil renk yapayım evet. CF bölü 9 eşittir Y eksi X bölü Y aslında Y bölü Y, eksi X bölü Y veya 1 X bölü Y ile aynı şey değil mi ?. Yaptığım tek şey aslında bu 1 bölü Y çarpı bu iki ifadeyi dağıtmak oldu. Y bölü Y , eksi X bölü Y ; 1 bölü ya da 1 eksi X bölü eksi Y evet.. Bu işimize yarayacak çünkü X bölü Y'nin neye eşit olduğunu biliyoruz. X bölü Y eşittir CF bölü 12. Yani şuradakini, CF bölü 12'yle değiştirebilirim. Sonra şunu elde ediyoruz bu buradaki son aşama, biz CF'nin ne olduğuyla ilgileniyoruz çünkü CF bölü 9 eşittir 1 eksi CF bölü 12. Evet şimdi elimizde bir denklem ve bir bilinmeyen var. Bunu artık şurada çözebilmeliyiz.İki tarafa da CF ekleyebiliriz. Yani: CF bölü 9 artı CF bölü 12 eşittir 1. Burada sadece ortak bir payda bulmamız gerekiyor. Sanırım 36 işimizi görür değil mi?. 9 kere 4, 36; 9 ile 4'ü çarpıyorsanız, bu CF çarpı 4 demektir yani : 4CF. 4CF bölü 36, CF bölü 9 ile aynı şey değil mi. ? Ve CF bölü 12 de, 3CF bölü 36'yla aynı şey. Bu da 1'e eşit. Ve elimizde 4CF artı 3CF eşittir 7CF, 7CF bölü 36 eşittir 1 var. Evet CF'yi bulmak için iki tarafı da 7 bölü 36'nın çarpma işlemine göre tersiyle çarpabiliriz. Yani iki tarafı da 36 bölü 7'yle çarpıyoruz. Buradakiler birbirini götürüyor ve elimizde ki sonuç son olarak: CF eşittir evet buradakiler birbirlerini götürdü CF eşittir 1 çarpı 36 bölü 7 yani 36 bölü 7 var. Bu oldukça güzel bir problem çünkü elinizde iki şey var Diyelim ki şu şey bir tür direk ya da çubuk ya da bir ip veya bir binanın duvarı neyse her neyse ne.Eğer bu 9 cm ya da 9 metre uzunluğundaysa ve şuradaki de 12 metre ise istediğiniz birimi kullanın farketmez. Eğer bir ip germek istiyorsanız, yani bu tepeden aşağıya diğerinin tabanına doğru, bu iki şeyin birbirinden ne kadar uzak olduğuna bakmaksızın, bu iki ipin birinin tepesinden diğerinin tabanına, diğerinin tepesinden diğerinin tabanına bu iki ipin kesiştiği nokta 36 bölü 7 yüksekliğinde olur. Yani 5 tam 1 bölü 7 yüksekliğide diyebilirsiniz, ne kadar uzak olduğuna bu Y uzunluğunun ne kadar uzak olduğuna bakmaksızın. Bu bence bu çok güzel bir problem.