Sinüs ve kosinüs teoremlerini bir daha gözden geçirin ve herhangi bir üçgene ilişkin problemleri çözmek için bunları kullanın.

Sinüs Teoremi

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Kosinüs Teoremi

c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)
Sinüs teoremine ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.
Kosinüs teoremine ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Sinüs teoremini kullanarak üçgenleri çözme

Bu kural bir açı ve iki kenar verildiğinde bilinmeyen bir açıyı bulmak veya iki açı ve bir kenar verildiğinde bilinmeyen bir kenarı bulmak için yararlıdır.

Örnek 1: Bilinmeyen bir kenarı bulma

Aşağıdaki üçgende ACAC'yi bulalım:
Sinüs teoremine göre, ABsin(C)=ACsin(B)\dfrac{AB}{\sin(\angle C)}=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)}'dir. Şimdi bu değerleri yerine koyarak çözebiliriz:
ABsin(C)=ACsin(B)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8,45&\approx AC \end{aligned}

Örnek 2: Bilinmeyen bir açıyı bulma

Aşağıdaki üçgende mAm\angle A'nı bulalım:
Sinüs teoremine göre, BCsin(A)=ABsin(C)\dfrac{BC}{\sin(\angle A)}=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)}'dir. Şimdi bu değerleri yerine koyarak çözebiliriz:
BCsin(A)=ABsin(C)11sin(A)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A)11sin(25)5=sin(A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Hesap makinesi kullanarak hesaplar ve yuvarlarsak:
mA=sin1(11sin(25)5)68,4m\angle A=\sin^{-1}\left(\dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}\right)\approx 68,4^\circ
Bilinmeyen açının geniş olduğunu hatırlayın, 180180^\circ almalı ve hesap makinesinde elde ettiğimizi çıkarmalıyız.
Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Kosinüs teoremini kullanarak üçgenleri çözme

Bu kural, özellikle tüm kenar uzunlukları verildiğinde bir açının ölçüsünü bulmak için yararlıdır. Ayrıca, diğer kenarlar ve bir açının ölçüsü verildiğinde, bilinmeyen bir kenarı bulmak için yararlıdır.

Örnek 1: Bir açıyı bulma

Aşağıdaki üçgende mBm\angle B'nı bulalım:
Kosinüs teoremine göre:
(AC)2=(AB)2+(BC)22(AB)(BC)cos(B)(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2(AB)(BC)\cos(\angle B)
Şimdi, değerleri yerine koyarak çözebiliriz:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Hesap makinesi kullanarak hesaplar ve yuvarlarsak:
mB=cos1(111120)22,33m\angle B=\cos^{-1}\left(\dfrac{111}{120}\right)\approx 22,33^\circ

Örnek 2: Bilinmeyen bir kenarı bulma

Aşağıdaki üçgende ABAB'yi bulalım:
Kosinüs teoremine göre:
(AB)2=(AC)2+(BC)22(AC)(BC)cos(C)(AB)^2=(AC)^2+(BC)^2-2(AC)(BC)\cos(\angle C)
Şimdi, değerleri yerine koyarak çözebiliriz:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14,3 \end{aligned}
Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 3: Genel üçgene ilişkin sözlü problemler

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.
Yükleniyor