If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Karmaşık Sayılarda Çarpma

(1+2i)⋅(3+i) gibi iki karmaşık sayıyı nasıl çarpacağınızı öğrenelim.
Bir karmaşık sayı, a+bi şeklinde yazılabilen herhangi bir sayıdır, burada i imajiner birimdir ve a ve b gerçek sayılardır.
Karmaşık sayılarla çarparken, gerçek sayılarla aritmetik işlemleri yaparken kullandığımız özelliklerin, karmaşık sayılar için de benzer şekilde geçerli olduğunu hatırlamak yararlıdır.
Bazen, i'yi bir değişken olarak düşünmek (x gibi) yararlıdır. Sonra, sadece en sonda birkaç düzenlemeyle istediğimiz gibi çarpabiliriz. Örnekler yaparak bunu daha yakından görelim.

Gerçek bir sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak

Örnek

4(13+5i)'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a+bi formunda yazın.

Çözüm

Eğer içgüdüleriniz size 4'ü dağıtmanızı söylüyorsa, haklısınız! Şimdi bunu yapalım!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i
Budur! Bir gerçek sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak için dağılma özelliğini kullandık. Şimdi biraz daha karmaşık bir şey deneyelim.

Yalın imajiner bir sayıyı bir karmaşık sayıyla çarpmak

Örnek

2i(38i)'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a+bi formunda yazın.

Çözüm

Gene, 2i'yi parantezin içindeki terimlerin her birisine dağıtarak başlayalım.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2
Bu noktada, cevap a+bi formunda değildir, çünkü i2 içermektedir.
Bununla birlikte, i2=1 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine koyalım ve bize ne verdiğine bakalım.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16
Değişme özelliğini kullanarak cevabı 16+6i şeklinde yazabiliriz ve böylece 2i(38i)=16+6i elde ederiz.

Konuyu ne kadar iyi anladığınızı test edin

Problem 1

3(2+10i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Problem 2

6i(5+7i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Şahane! Şimdi daha fazlasına adım atmaya hazırız! Sıradaki, karmaşık sayıları çarpmanız istendiğinde karşılaşacağınız daha tipik bir durum.

İki karmaşık sayının çarpılması

Örnek

(1+4i)(5+i)'yi çarpın. Elde ettiğiniz sonucu a+bi formunda yazın.

Çözüm

Bu örnekte, bazı kişiler i'yi bir değişken olarak düşünmeyi oldukça yararlı bulur.
Aslında, bu iki karmaşık sayıyı çarpma süreci, iki binomu çarpmakla oldukça benzerdir! Her sayıdaki ilk terimi, ikinci sayıdaki her terimle çarpın.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2
i2=1 olduğundan, istenen a+bi formunu elde etmek için i2 yerine 1 koyarabiliriz.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Problem 3

(1+2i)(3+i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Problem 4

(4+i)(73i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Problem 5

(2i)(2+i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Problem 6

(1+i)(1+i)'yi çarpın.
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Zor problemler

Problem 1

a ve b gerçek sayılar olsun. (abi)(a+bi) nedir?

Problem 2

Belirtilen işlemi yapın ve sadeleştirin. (1+3i)2(2+i)
Cevabınızı a+bi formunda yazın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.