Çözümlü örnek: Kutupsal eğrilerin yay uzunluğu

biz bu videoları eşittir 4 sinüs 2K tablolar eğrisinin ki bunun bir çiçeğe benzediğini de fark etmiş olabilirsiniz Evet bu çiçeğe benzeyen eğrinin yapraklarından birinin yay uzunluğunu hesaplamaya çalışacağız yay uzunluğu ne olduğunu bulmak istediğim kısmı kırmızı ile işaretledim Evet bu arada bunu İki adımda yapacağız Öncelikle yay uzunluğu bulmamızı sağlayacak belirli integrali bulacağız sonra da bunun neye eşit olduğunu integral hesaplamak için de hesap makinesi kullanacağım Hadi bakalım her zaman olduğu gibi hemen videoyu durdurur ve polar formdaki yay uzunluğu hakkında bildiklerimizi kullanarak Bu Yay uzunluğu ne eşit olduğunu Kendi kendinize hesaplamaya çalışın denediniz ve cevabı buldunuz öyle değil o halde Hadi hep birlikte bir daha yapalım yay uzunluğunun başlangıç açısı ile bitiş açısı arasında bu acılar da Alfa ve beta olarak adlandırılır bu karekök içinde fonksiyonu muzun tetaya göre türevinin karesi artı fonksiyonu muzun kareside Tan'ın belirli integralini eşit olduğunu biliyoruz işe ve üste ta veratat anın ney eşit olduğunu bularak başlamamız lazım farklı renklerde yazayım R üstü detayı şuraya yazayım Aslında RT tane eşit olduğunu biliyoruz evet ratat ayı yazalım dört çarpı sinüs iki Ceta ya eşit öyle değil Bu durumda r3 süt et a2t Tan'ın tetaya göre türevi ikidir iki çarpı 4'ten 8 elde ederiz ve sinüsün türevi de kosünüs tür Evet kosinüs iki tetaya uzunluğunu belirli integral olarak bir daha yazalım başlangıç açımız ne yay uzunluğu bulmak istediğimiz yaprağın başlangıç açısı sıfır Rabia'nın Öyle değil mi açı sıfır radyan olduğunda RD Sıfıra eşit olur yani bu o kadar oluruz Evet başlangıç açısı sıfır Radyo bitiş açısı dapy bölü iki iki çarpı 1/2 pi ye eşittir sinüs Pide 0 a Yani yine bu noktada oluruz bitiş açısı dapy bölü iki radyan karekök içinde r üstte Tan'ın karesi bunun karesini almamız lazım aynı rengi kullanayım 64 çarpı kosinüs kare 2t da artı bunun karesi yani 16 çarpı sinüs kare iki teta ve detayı da unutmayalım bunu isterseniz çözmeyi deneyebilirsiniz ama çok da bariz bir çözüm olmadığı için hesap makinesi kullanacağım Bu sayede böylesine integraller ile karşılaştığımızda Yalnız olmadığımızı ve Hesap makinesinden de zaman zaman faydalanacağı mızı da hatırlamış oluruz Evet belirli integral fonksiyonunu seçeyim bunu da işaret o lazım Böylelikle belirli integral e geçmiş oluyoruz Şimdi bu ifadeyi yazacağız karekök içinde 64 çarpı kosinüs Evet 2 Titan'ın karesi teta yerine de kolay olması adına eksik Kullanıyorum evet kosinüs iki x'in karesi bir sürü de parantez kullanmam gerekiyor değilmi Evet böyle Artı 16 çarpık sinüs iki x'in karesi Mehmet Bu arada hesap makinesinin bunu çarpma olarak algılayıp algılamaya Candan emin olmadığım için şu araya da bir çarpma işareti koyayım Peki 64 çarpı kosinüs iki x'in karesi artı 16 çarpı sinüs iki X'in kares bu parantezle de karekök içinde olan ifadeyi belirlemiş olalım iş de böyle virgül integral aldığım değişken ilk sen öyle değil mi Aslında TT ama kolay olması adına teta gördüğümüz yerlere ilk yazdım bunu bir de teta eşittir sıfır ve teta eşittir pipi bölü iki yerine ilk eşittir sıfır ve ilk eşittir pbu2 aralığında değerlendirmek istiyoruz Umarım hata yapmışımdır belki Hazır mıyız ve en Zira basıyorum bekliyorum hesap makinesi sanırım biraz zorlanıyor ve ekliyorum ve Evet evet Sonuç bu bunu en yakın binde birliğe Yuvarlar isek 9,6 188 Olur öyle değil mi sonuç yani yay uzunluğu yaklaşık olarak 9,6 188 E eşitmiş peki mantıklı mı Bir bakalım şu uzunluk Evet bu yaklaşık olarak dört birim var Yani bu şekilde dörde kadar gidip gelseydik 8 birim yol kat eder ama bu kısımlar bombeli olduğu için ve ve 9,6 188 son derece mantıklı bir sonuç umarım sizin için de faydalı bir video olmuştur Bu