Kutupsal Eğrilerin Yay Uzunluğu

Selam Bu videoda polar koordinatlarla yani kutupsal koordinatlarla tanımlanmış bir eğrinin yay uzunluğu ile ilgili bir formül elde etmeye çalışacağız ekranda R eşittir efte tahrisi var Bana bu eğrinin iki teta mesela T eşittir sıfır radyan ve teta eşittir pipi bölü iki radyan arasında kalan yay uzunluğunun ne olduğunu söyleyebilir misiniz Evet bu videoda yapmak istediğim şey bu ama videonun herhangi bir anında ilham gelir ya da kendiniz yapabileceğinizi düşünürseniz videoyu durmaktan ve polar koordinatlarla tanımlanmış bir eğrinin yay uzunluğu ile ilgili formülü Kendi kendinize bulmaktan sakın çekinmeyin Uy ay uzunluğunu daha standart dikdörtgensel koordinatlardaki yay uzunluğu ile benzer bir şekilde bulacağız hemen yay uzunluğunun küçük bir parçasını belirleyelim Evet bu kısmın yağı uzunluğunun sonsuz derecede küçük bir parçası ya bu deese olduğunu düşünelim sonsuz derecede küçük dediğimde gözünüzün önüne bu kadar büyük bir şey gelmediğinin farkındayım ama Tüm bu de eslerin integralini aldığımızda hemen çiziyorum Evet bu şekilde Tüm bu de eslerin integralini aldığımızda elimizdeki eğrinin yay uzunluğunu bulmuş olur Öyleyse not edelim Bu de eslerin integralini alacağız demiştik Tüm bu sonsuz derecede küçük de eslerin sonsuz toplamından bahsediyorum şimdi bu nureller ve T Talar türünden ifade edebilmek için öncelikle bununla ilk seviyeler arasında bir ilişki kurup sonra da X ve Y ler ler Evet et aları ilişkilendirmeye çalışacağım olar formla dikdörtgensel form arasında dönüşüm yaparken ki bu daha önceden de yaptığımız bir şeydi Evet buradaki de esx karedeki sonsuz derecede küçük bir de o Kimin bu noktadan noktaya ilerlediğimizde yay uzunluğundaki değişimi Evet bunu buluruz Ama bu uzunluk ilk Seki değişimdir ve bunu da DX olarak not edin her şeyi diferansiyel yazıyorum ve bu işi bayağı matematiksel eleştiriyor Ama bu şekilde bunları nereden geldiğini daha iyi anlayacağınızı düşünüyorum Biraz daha net olursak deixa alabiliriz ve Delta değişik seslerden sonra da limit alabiliriz Ama bu şekilde ilerlemek En azından bana daha mantıklı geliyor Evet bu noktadan bu noktaya geldiğimizde içteki değişim bu oluyor Yine bu noktadan bu noktaya geldiğimizde yedeki değişim de budur yani bu da değil bu dikdörtgensel formdaki yay uzunluğu hesaplamaya çalışırken daha önce de karşılaştığımız birşeydir de es karekök içinde de x'in karesi artı de yeğenin karesine eş mi Evet bunun da Pisagor Teoremi neden geldiğini herhalde söylememe gerek yok bunların integralini aldığımızda da bunu elde ediyorduk Peki bunları rvt türünden nasıl ifade edebiliriz bunun için X'in ve yeğenin rvt ta türünden neye eşit olduklarını uymamız gerekir Evet XR Cosinüs tetaya eşitti Öyle değil mi olar forma dikdörtgen form arasında gidip gelirken gördüğümüz bir şeydi bu ye isere sinüste taya eşitti buna bağlı olarak de XP de yeni ne olduğunu da söyleyebiliriz de x eşittir yazıyorum bu noktada renant eta'nın bir fonksiyonu olduğunu unutmamamız lazım hemen yazayım x eşittir apht et açardı kosinüs Feta ye de ev teta çarpı sinüste tadı peki Her şey onun için çarpım kuralı uygulamamız lazım evet ev süsü teta birincinin türevi çarpı ikinci Bu da efü süte ta çarpı kosinüs tetta artı birinci çarpı ikincinin türevi Evet kosünüs te Tan'ın türevi eksi sinüste ta olduğuna göre bunu da eksi sinüste ta çarı birinci Yani ev teta olarak yazıyorum çarpım kuralını uygulayarak de eksi bulduk ve Fethet ayında unutmayalım bu diferansiyellerin sahip olduklarını kabul edersek iki tarafı detaya böler weixin tetaya göre türevini bulmuş oluruz aynı şeyi de ye içinde yapalım de ye eşittir yine çarpım kuralı uygulayacağım Eğer üstü TED açardı sinüste taa artık evde da çarpı sinüste Tan'ın türevi yani kosinüs t 3D sinde ne olduğunu bulmak için de x'in karesi ile değerinin kalesini toplamamız lazım de x'in karesi eşittir tüm bunun karesini alacağız Ben bunun karesini alıp de Tan'ın karesiyle Çarpmayı düşünüyorum Evet evet üstü te tanım karesi çarpı kosinüs kare teketaban -2 çarpı Efe üssü teta çarpı efte ta çarpık o sinüste ta çarpı sinüste ta ve artı ev Titan'ın karesi sinüs karete tahta Tabii bir de de Tan'ın karesini yazacağız sıra değerinin karesinde dedeye nin karesi eşittir bunun karesi Buray adeta koymayı unutmuşum hemen ekliyorum Evet evet bu eta'nın kares icardı sinüs kare teta artı iki çarpı bunların çarpımı Yani ev süsü teta çarpı evket açar pıh Evet biraz uzamaya başladı ama az sonra bunun çok da güzel bir biçimde sadece içeceğini göreceğiz çarpı kosinüs teta çarpı sinüste da ve son olarak bir de bunun karesini almamız lazım mevtanın karesi çarpı kosinüs kare teta vdt Tan'ın karesi şimdi ikisini toplayalım de Xperia ile değmeye kareyi toplarsak yazıyorum de x kare artı dyk rap burada kosinüs kare teta çarpı ev üst üste Tan'ın karesi Burada da sinüs kare teta çarpı enfüste Tan'ın kalesi var Bunları bu eta'nın karesi parantezine alırsak Evet bu ikisini eve üstte Tan'ın karesi parantezine alır isek ev üst üste Tan'ın karesi çarpı kosinüs kare teta artı sinüs kare teta elde ederiz ve bunun 1'e eşit olduğunu hemen fark ettiniz Öyle değil mi Harika sonra bir bakalım ortadaki bu terimler birbirlerinin negatif olduğu için birbirlerini götürecekler üzerlerini çiziyorum benzer şekilde burayıda evket anın karesi parantezine alacağız bunların etrafını çizim ki daha kolay görelim Evet artık evt eta'nın karesi çağırdı sinüs kare tetta artı kosinüs kare tedavi gördüğünüz gibi bu da bire eşit olacak sonra bir de bunların hepsi ile çarptığımız de ta kareler var Onu da yazalım bir parantez daha açayım Evet kapa yayım bu çarpı de Tan'ın karesi bunların de Tan'ın katsayıları olduğunu da düşünebilirsiniz ve biz de bu katsayıları topladık bir kere daha yazalım temiz olsun de x kare artı de y kare evet ev süs süt eta'nın karesi artı pesquet anın kareside Tan'ın karesine eşit bu rengi daha önce kullanmışım başka bir şey seçim mesela pembe Evet çarpı de Tan'ın kareside Es bunun kareköküne eşit olduğu için işin içine bir de karekökü katmamız lazım de eşittir karekök içinde bu bu da bunun kareköküne eşit olacak de Tan'ın karesine karekökün dışına alabiliriz Böylece geriye karekök içinde efü süt eta'nın karesi artı paft eta'nın kareside Tan'ın karesini karekök Ben bunu alın Cad adeta elde ederiz değil mi çağırdı de Tetaş şimdi ilgi çekici bir durumla karşı karşıyayız bunun integralini almak istersek bunun integralini almak yeterli Bu integrali başlangıç teta değeri yani Alfa ile bitişte değeri yani Beta arasında değerlendireceğiz Bu sayede Kutup formundaki yay uzunluğu hesaplamak için kullanılan formülün arkasında yatan mantığında anlaşıldığını umuyorum R eref cataya eşitse Happy süt eta'nın ne eşit olduğunu buluruz bunun renant ete göre türev olduğunu da düşünebiliriz sonra bu tür Emin kalesine alır ve eta'nın karesiyle toplarız karekökünü alırız sonra da Alpha ile Beta arasında integralini alırız Evet yay uzunluğu İşte buna eşit olacak ve sıradaki videoda bu formülün nasıl kullanıldığını da göreceğiz