Parametrik Eğri Yay Uzunluğu

Evet şimdi X ve Y koordinatları üçüncü bir parametre olan Tenin bir fonksiyon olarak tanımlanan bir eğri çizmek istediğimizi düşünelim şöyle ifade ettiğim ilk senin bir fonksiyonu olacak aynı şekilde ydt nin bir fonksiyonu olacak bu yazdıklarımı Eğer sizin için bir şey ifade etmiyorsa kan akademideki parametrik denklemler ile ilgili hazırladığımız videoları izlemenizi öneriyor şimdi ne demiştik ve bu arada bu videoda Size bazı genellemelerden de bahsedeceğim Önümüzdeki videolarda ise daha somut örnekler üzerinden ilerleyeceğiz Şimdi bana te eşittir aradan şöyle işaret diyim te burada aya eşit ve bu durumda bu noktanın koordinatları da x a ve y a olur te eşittir A'dan te eşittir Bey'e doğru ilerlediği mizi düşünürsek eğri buna benzeyen bir şey olabilir evet urası da 11b olsun buranın koordinatlarının daim xb virgül ye be olduğunu söyleyelim şimdi bu eğrinin uzunluğunu nasıl bulabiliriz dersiniz Evet eşittir a Dante eşittir be uzanan bir yayın uzunluğundan bahsediyorum onu bulabilmek için biraz yakınlaşıp beğenin çok küçük bir değişimi için neler olduğuna bakacağız TD ki çok ama çok küçük bir değişimden bahsediyor buradan başlıyoruz wtd çok ama çok küçük bir değişim alıyoruz diye düşünelim Mesela bu noktaya bu nokta arasını değerlendirelim aslına bakarsanız değişimi bundan çok daha küçük olması gerekiyor öyle bir değişim gösterecek olursam sizin bunu görmeniz neredeyse imkansız olur dediğim Onun için bunun küçücük bir değişim olduğunu varsayın uzunluğu X2 yer değiştirme ve yerdeki yer değiştirme olarak ayrı ayrı tanımlamak istiyorum Evet x yönünde hemen şu şekilde belirttiğimiz x o çok küçük bir mesafe katetmiş olacağız ve bu mesafe Teye göre değişimin ne kadar olduğu çarpı TD ki değişimle çarpımına eşit olur burada diferansiyel gösterimini kullandığımı ve bunu değişkendeki sonsuz derecede küçük bir değişimi temsil etmesi için kullandığımı da hemen ettiği Bu bir ispat değil ama parametrik denklemler ile çalışırken yay uzunluğu nasıl hesaplayabileceğiniz in mantığını anlamamıza yardım edeceğini düşünüyorum Evet Umarım kavramsal olarak size yardımcı olur evet bu DX öde iş böyle DT yerine ix3 süte Çarpın ete yazalım böyle daha iyi yerdeki değişim s aynı mantıkla TD ki sonsuz derecede ki küçük bir değişim için yerdeki sonsuz derecede ki küçük bir değişimi Evet yeğenin teoriye göre değişim oranı çarpı TD ki değişim olarak bu toplayabiliriz ve bunu da yine ye üstte çarpı DT olarak yazalım Peki bu durumda yine sonsuz derecede küçük bir uzunluk olan bu yayın uzunluğu ne eşit olur Pisagor teoremini kullanacak olur ise karekök içinde burada dik bir üçgen var ve aradığımız uzunlukta hipotenüsün uzunluğu olduğundan 10'un karesi artı bunun karesinin karekökün eşit olacak değil mi Hemen yazıyorum Evet karekökün içine yazacağım şunu biraz uzatalım mavi ile yazdıklarımın karesi yani x üssü T DT nin karesi artı ye üssü T DT nin karesi Belki şimdi bunu biraz sadeleştirilebilir miyiz Ne dersiniz Bugün sonsuz derecede küçük bir yay uzunluğu olduğunu aklınızdan çıkarmayın terimlerin İkisinde de tek are olduğundan bunu de tekale parante ne yapabilirim öyle değil mi devam ediyorum karekök içinde DT nin karesi parantezinde x üstü te nin karesi artı ye üste nin karesi karekökün içindeki DT kareyi dışarı çıkarabiliriz bunu da hemen yapıyorum karekök içinde ex3 süte nin karesi artı y3 süte nin karesi çarpı de TDI buraya da yazabilirim hiçbir fark yok öyle değilim yay uzunluğundaki sonsuz derecede küçük bir değişim için bir ifade elde ettik ve şansımıza Kudüs'te Tüm bu sonsuz derecede küçük değişimleri birbirine eklemenin bir yolu var doğru belirli integral den bahsediyor demek istediğim bu Artı bu artık bu yani buradaki sonsuz derecede küçük olan tüm değişimleri Bu arada bunları sonsuz derecede küçük değişimler olarak gösteremem Çünkü zaten o zaman hiçbir şey göremez bu amacım bunları topladığımızda TR ye göre integral almış olacağız K eşittir A'dan başlıyoruz ve T eşittir Bey'e kadar gidiyoruz bu sayede parametrik denklemler söz konusu olduğunda yay uzunluğunun kavramsal olarak ne anlama geldiği hakkında bir fikir sahibi olduğumuzu düşünüyorum önümüzdeki videolarda bu fikri kullanarak gerçek yay uzunluklarını hesaplayacağız