Ana içerik
Konu: İntegral Kalkülüs > Ünite 1
Ders 1: Biriken Değişime GirişDeğişim Birikimlerini Keşfetme
Belirli integraller miktarların birikimi olarak yorumlanır. Bunun nedenini ve gerçek hayattan bağlamları incelemede nasıl kullanıldığını öğrenin.
Belirli integral, uygulamalı bağlamlarda birikim ve net değişimle ilgili bilgi ifade etmekte kullanılabilir. Bunun nasıl yapıldığına bakalım.
Birikimi gerçek hayat bağlamında düşünme
Diyelim ki, bir tank (litre bölü dakika) sabit hızıyla doldurulmaktadır. Suyun ( cinsinden) hacmini zamanla hızı çarparak bulabiliriz:
Şimdi bu duruma grafiksel olarak bakalım. Hız sabit fonksiyonuyla temsil edilebilir:
Bu grafikteki her bir yatay birim dakika cinsinden ölçülür ve düşey birim litre/dakika cinsinden ölçülür, buna göre, her birim kare alanın ölçüsü litre cinsindendir:
Ayrıca, grafiği ve ile arasında yatay eksen ile sınırlanmış dikdörtgenin alanı bize dakika sonraki su hacmini verir:
Şimdi diyelim ki, bir tank daha dolduruluyor, ama bu sefer hız sabit değil:
Her dikdörtgenin litre cinsinden bir hacmi nasıl temsil ettiğini gördük. Özellikle, bu Riemann toplamındaki her bir dikdörtgen, her dakika tanka eklenen su hacmi üzerine yapılan bir tahmindir. Alanların tümünü topladığımızda, yani tüm hacimler biriktirildiğinde, dakika sonraki toplam su hacmi için bir tahmin elde ederiz.
Genişlikleri daha az olan daha fazla sayıda dikdörtgen kullandığımızda, daha iyi bir tahmin elde edeceğiz. Eğer bunu sonsuz dikdörtgeni toplama limitine taşırsak, belirli integralini elde edeceğiz. Bu, dakika sonraki tam su miktarının, grafiği ve ile arasında yatay eksenle sınırlandırılmış alana eşit olduğu anlamına gelir.
Böylece, integral analizi dakika sonundaki toplam hacmi bulmamızı sağlar:
Bir miktarın değişim hızının belirli integrali, o miktardaki net değişimi verir.
Gördüğümüz örnekte, bir hızı tanımlayan bir fonksiyonumuz vardı. Bizim durumumuzda, hacmin zamana göre hızıydı. Bu fonksiyonun belirli integrali bize hacmin—hızı verilen miktarın birikimini verdi.
Buradaki başka bir önemli özellik, belirli integralin zaman aralığıydı. Buradaki durumda, zaman aralığı başlangıç ve bundan dakika sonrasıydı . Buna göre, belirli integral bize ve arasında tanktaki su miktarındaki net değişimi verir.
Belirli integrali düşünmenin en yaygın iki şekli bulunur: bir miktarın birikimini tanımlarlar, böylece belirli integralin tamamı bize bu miktardaki net değişimi verir.
Neden miktar değil de, miktardaki "net değişim"?
Yukarıdaki örneği kullanarak, bize 'dan önce tankta su olup olmadığının söylenmediğine dikkat edin. Eğer tank boşsa, bu durumda dakika sonra tanktaki su miktarı gerçekten 'dir. Ancak tankta diyelim ki litre su varsa, bu durumda dakika sonra tanktaki gerçek su miktarı şöyledir:
Bu yaklaşık eder.
Unutmayın: Belirli integral bize her zaman bir miktardaki net değişimi verir, o miktarın gerçek değerini vermez. Gerçek miktarı bulmak için, belirli integrale bir başlangıç durumu eklemeliyiz.
Sık yapılan hata: Uygun olmayan birimleri kullanma
Tüm uygulamalı problemlerde olduğu gibi, birimler burada da önemli rol oynar. Eğer cinsinden ölçülen bir hız fonksiyonuysa, bu durumda bunun belirli integralinin cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.
Örneğin, Problem seti 1'de, cinsinden ölçülmüştü ve dolayısıyla 'nin belirli integrali cinsinden ölçülmüştü.
Sık yapılan hata: İntegral aralığını yanlış yorumlama
Herhangi bir hız fonksiyonu için, belirli integrali ve arasında değer birikimini tanımlar.
Sık rastlanan bir hata, limitlerden birini (genelde küçük olanı) göz ardı etmektir, bu da yanlış yoruma yol açar.
Örneğin, Problem 2'de 'yi Eren'in saatte yürüdüğü mesafe olarak yorumlamak hatalı olurdu. Alt sınır 'dir, dolayısıyla Eren'in . saatle . saat arasında yürüdüğü mesafedir. Ayrıca, zaman aralığının tam olarak bir birim olduğu durumlarda, genelde " . saat esnasında" deriz
Sık yapılan hata: Başlangıç koşullarını görmezden gelme
Bir hız fonksiyonu ve bunun ters türevi için, belirli integrali ve arasında 'deki net değişimi verir. Eğer bir başlangıç durumu eklersek, için gerçek bir değer elde ederiz.
Örneğin, Problem 3'te, . ve . aylar arasında Ceyda'nın para miktarındaki değişikliği temsil eder. Ancak Ceyda'nın . aydaki parası olan 'ü eklediğimiz için, ifade artık . aydaki gerçek miktarı temsil etmektedir.
İlişkili değişim hızları uygulaması
Diferansiyel hesapta bir fonksiyonun türevinin, belirli bir girdide 'nin anlık değişim hızını verdiğini öğrenmiştik. Şimdi tam tersi yönde hareket ediyoruz! Herhangi bir hız fonksiyon olan 'nin ters türevi , hızı ile tanımlanan miktarın biriken değerini verir.
Miktar | Hız | |
---|---|---|
Diferansiyel hesap | ||
İntegral hesap |
Daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı deneyin.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
- Selamlar. Hocam beni yanlış anlamayın. Siz Rieman toplamını doğru düzgün anlatmamışsınızki Rieman toplamı hakkında bir sürü soru yazmışsınız. Bence öğrenci bunları çözemez. Önce işin mantığını öğrenmek gerekir. Soru çözmek en son yapılacak iştir. Beni bağışlayın hocam ama bu dersler öğrenciye bir şey kazandırmaz. Bir müddet sonra sıkılıp bırakır.(1 oy)