If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:8:11

Tanjantla Daha Fazla Trigonometrik Yerine Koyma Sorusu

Video açıklaması

elimizde 1 bölü 36 artı x^2 dx belirsiz integrali var sizin de gördüğünüz gibi trigonometri olmadan bu integrali çözmemiz kolay değil u ile yerine koyma tekniğini de yapamam çünkü alttaki bölümün türevini bilmiyorum bu 2x olsaydı kolay olabilirdi bunun türevi 2x deyip u ile yerine koyma tekniğini uygulayabilirdim ama bu değer 2x değil o zaman nasıl çözerim? trigonometrik birimleri kullanacağım bakalım burada hangisini kullanabiliriz ilk önce her zaman-bu benim aklıma yatan şey- bunun sabit artı bir değerin karesi olduğunu görürüm ki bu da bana trigonometrik birim kullanmam gerektiğini belirtir ama her zaman 1 artı bir değerin karesi olarak severim integrali yeniden yazacağım, dx i pay kısmına yazacağım bu değer çarpı dx bunu daha iyi bir şekilde yazayım integral dx bölü 36 çarpı parantez içinde 1 artı x^2 bölü 36 değerine eşit hangi trigonometrik birimi integrale koyarsak soru daha kolaylaşır diye düşünelim benim aklıma gelen, bilmiyorsanız yazacağım, 1 artı tan^2 teta bunu kanıtlayalım tan^2 1 artı sin^2 bölü cos^2 değerine eşit 1 şimdi cos^2 bölü cos^2'a eşit bunu yeniden cos^2 teta, bu 1'di, artı sin^2 teta bölü cos^2 teta olarak yazabiliriz şimdi ortak bir paydamız var cos^2 artı sin^2 kaç eder? bu birim çemberin tanmıydı 1 bölü cos^2 teta diyeceğiz veya 1 bölü cos^2 diyeceğiz 1 bölü cos sec'e eşittir o zaman bu sec^2 teta'ya eşit yerine koyma işlemini yapacak olursak, bunu tan teta veya tan^2 teta'ya eşitleyelim bu ifade o zaman 1 artı tan^2 teta olacaktır ki bu da sec^2'e eşittir belki bu denklemin sadeleşmesine biraz yardımcı olacaktır x^2 bölü 36 tan^2 teta'ya eşit diyeceğiz iki tarafın da karekökünü alalım, bunu yapacak olursak x bölü 6 tan teta'ya eşit veya x 6 tan teta'ya eşit deriz iki tarafın da türevini teta'ya göre alırsak dx bölü d teta'yı bulurız- tan teta'nın türevi nedir? sadece temel kuralları kullanarak bunu size gösterebilirim sizin için bunu yapayım tan teta'nın türevini burada yapayım bu tan teta'ya göre türevin 6 katına eşit olacaktır türevi bulmalıyız, o zaman bulalım tan teta'nın türevi d bölü d teta sin teta bölü cos teta ile aynı şeydir bu sadece tan'ın türeviydi veya bu teta'ya göre olan türev ile aynı şeydir birazcık sağa kayayım ben bölme kuralını kusurlu bulduğum için hiçbir zaman hatırlamam-d bölü d teta çarpı parantez içinde sin teta çarpı cos teta üzeri eksi 1 diyeceğiz bu kaça eşittir? bu ilk ifadenin veya en baştaki fonksiyonun türevine eşit o da cos teta'ya eşittir bu cos teta'ya eşit, bu da sin teta çarpı ikinci ifadenin türevine eşittir çarpı cos teta üzeri -1 parantez kullandım ve -1'i dışarı koydum çünkü size ters cos veya ark kosinüs'ü göstermek istedim bu sin çarpı cos'un türeviydi şimdi ise cos'un da türevini bulmak istiyorum sadece cos'un değil cos üzeri -1'in türevi bu o zaman 1 çarpı cos üzeri -2 olacak bu dışarıdakinin türevi çarpı içeridekinin türevi biraz daha yana kayayım bu dışarıdaki değerin türeviydi cos teta x olsaydı, x üzeri eksi 1'in türevi -1 çarpı x üzeri -2'ye eşit derdik çarpı içerinin türevi cos teta'nın teta'ya göre türevi çarpı eksi sin teta buranın hepsini sin teta ile çarpacağım bunun türevi-yeşil olan kısım çarpı ilk ifade bu neye eşittir? cos teta bölü cos teta 1'e eşittir burda -1 ve -sin teta var bu pozitif sonuç eder ne var elimde? elimde sin^2 var, sin teta çarpı sin teta bölü cos^2 var o zaman artı sin^2 teta bölü cos^2 teta bu da 1 artı tan^2 teta'a eşittir 1 artı tan^2 teta neye eşittir bunu biraz önce göstermiştim bu sec^2 teta'ya eşittir yani tan teta'nın türevi sec^2 teta'ya eşittir uğraşımız bize bir çözüm verdi ve bunun sade olması gayet iyi dx d teta sec^2 değerine eşit dx'in neye eşit olduğunu bulmak istiyorsak dx iki tarafın d teta ile çarpımına eşit o zaman dx 6 çarpı sec^2 teta'ya eşit bu dx değeridir birazdan yerine koyma tekniğinde kullanacağımız sayıyı desteklememiz lazım bu yüzden teta'yı çözmemiz lazım bu gayet direkt denklemdeki iki tarafın ark tanjantını almamız yeterli teta arc tan x bölü 6'ya eşittir bunu sonrası için kullanacağız integralimiz şu an ne durumda? integral dx'in integrali mi şu an? dx nedir? 6 sec^2 teta d teta'ydı paydadaki her şey, 36 çarpı parantez içindeki 1 artı tan^2 teta buradakilerin hepsinin sec^2 teta'ya eşit bunu size defalarca gösterdim paydadki sec^2 teta payda sec^2 teta ve paydadaki birbirini götürür birbirlerini götürürler integral, şanslıyız ki 6/36'ya dönüşür bu da 1/6 d teta'ya eşittir 1/6 teta artı c'ye eşittir artık sonucu yerine koyma işleminde kullanabilirz teta ark sinüs x/6'ya eşit 1/36 x^2 nin ters türevi 1/6 çarpı teta'ya eşit teta ark tanjant x/6 artı c'ye eşit ve soruyu çözmeyi tamamladık bu soru o kadar da kötü değildi