(2^(ln x))/x terstürev örneği

Genelde sorulan bir soru bu. 2 üzeri x'in doğal logaritması, bölü x, dx'in belirsiz integrali. Böyle bir integral gördüğümde, ilk yapmanız gereken, x'in doğal logaritmasını üs olarak görüyorum. O zaman çözüme nasıl başlarım, diye düşünmek olmalı. Ve, bu integralin 1 bölü x çarpı, 2 üzeri x'in doğal logaritması olduğunun farkına varmanız gerekir. Yani, şurada bir ifade var, ve burada da onun türevi var, öyle değil mi? x'in doğal logaritmasının türevinin 1 bölü x olduğunu biliyoruz. Bir ifade ve onun türevi varsa, yerine koyma metodu uygulayabileceğimizi biliyoruz. Bazen bunu kafamızdan yapabiliriz, ama bu soru o kadar kolay değil. Şimdi, yerine koyma metodunu uygulayalım. Şuraya u diyelim. u harfi kullanmak zorunda değiliz. Ama, genelde kural icabı bu harfi kullanıyoruz. u eşittir x'in doğal logaritması, diyelim. O zaman, d u bölü dx, yani u'nun x'e göre türevi, 1 bölü x olur. d u diferansiyelini bulmak için, iki tarafı da dx ile çarparız. Yani, d u eşittir 1 bölü x dx. Şimdi yerine koyalım.İntegralimiz burada. Bu integral eşittir, 2 üzeri u, çarpı 1 bölü x, dx. Peki 1 bölü x, dx nedir? d u'dur. O zaman bu iki terimin çarpımı, sadece d u. Farklı bir renkte yazayım. 1 bölü x çarpı dx eşittir d u. Bu da şuradaki şeye eşit. Bu integral, şimdi sadeleştirmemize rağmen, hala kolay bir integrale benzemiyor. İntegralini alacağımız değişkeni, üs olarak gördüğümüzde, bu integrali zor olarak algılayabiliriz. e üzeri x'in integralinin, e üzeri x artı c, olduğunu biliyorum. Buna göre, bu ifadeyi e üzeri x, veya e üzeri u haline çevirebilirsem, belki integrali daha çözülebilir bir duruma getirebilirim. Şimdi bakalım. Bunu nasıl farklı şekilde tanımlarız? 2 neye eşit? 2 eşittir e üzeri 2'nin doğal logaritması, öyle değil mi? 2'nin doğal logaritması, 2 elde etmek için e'ye uygulayacağınız üs. Eğer, e'nin bu üssünü alırsanız, 2 elde edersiniz. Zaten, bu, doğal logaritmanın tanımıdır. e'nin, 2'nin doğal logaritması üssünü alırsanız, sonuç 2 olur. Şimdi şunu tekrar yazalım. Yalnızca, 2'yi farklı bir şekilde yazmış oluyoruz. Yani, 2 yerine, e üzeri 2'nin doğal logaritması yazıyorum. Ve bunun tamamını u üssüne alıyorum, d u ile çarpıyorum. Şimdi, bu neye eşit? Üssün üssünü almak demek, tabanı üslerin çarpımına almak, demektir. Buna göre, bu eşittir, e üzeri 2'nin doğal logaritması, çarpı u. Üslü ifadeler ile ilgili kurallardan, üssün üssünün, üslerin çarpımı olduğunu biliyorum. Şuradaki, sabit bir sayı.Hesap makinesiyle kaç olduğunu bulabiliriz. Buna, a diyelim.Bu şekle soktuktan sonra, artık integralimiz bir hayli kolaylaştı. e üzeri a u'nun terstürevi, 1 bölü a, çarpı e üzeri a u. Bu, şuradaki tanımdan dolayı, ayrıca artı c de var. Zincir kuralına göre, bunun türevini alırsak, içinin de türevini almamız gerekli, bu da a olacak. Bunu, 1 bölü a ile çarpıyoruz ve sadeleştiriyoruz. e üzeri a u kalıyor. Demek ki, bu işe yaradı. Buna göre, bunun terstürevi, 1 bölü a, 1 bölü sabit terimimiz, 1 bölü 2'nin doğal logaritması, çarpı ifademizin tamamı. Buna göre bunun ters türevi bir bölü a bir bölü sabit terimimiz 1 bölü 2'nin doğal logaritması çarpı ifademizin tamamı.Şimdi şunu yapalım. Bu, u çarpı bir sayı, yani o şekilde yazabilirim. Bu şekilde yazmamın sebebi, sadeleştirmek. e üzeri u çarpı 2'nin doğal logaritması. Tek yaptığım şey, sırayı değiştirmek. Bunu, e üzeri 2'nin doğal logaritması çarpı u, olarak da yazabilirdim. a çarpı u eşittir u çarpı a. Artı c. Cevabımız bu, ama x'e göre terstürev aldığımızı göstermek için, tekrar x'li ifadeyi yerine koymamız lazım. Bunu yapmadan önce, biraz daha sadeleştirmeye çalışayım. a çarpı, b'nin doğal logaritması eşittir, b üzeri a'nın doğal logaritması.Öyle değil mi? Bu, doğal logaritmasını aldığım şeyin üssü oluyor. O zaman, u çarpı, 2'nin doğal logaritması eşittir 2 üzeri u'nun doğal logaritması. Buna göre, terstürevimizi şöyle yazabiliriz: 1 bölü, 2'nin doğal logaritması, çarpı e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması. Artı c'yi tabi unutmayalım. Şimdi, e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması, nedir? Tanımsal olarak, 2 üzeri u'nun doğal logaritması, 2 üzeri u elde etmek için e'ye uygulayacağımız üstür, öyle değil mi? O zaman, e'yi bu üsse alırsak, ne elde ederiz? 2 üzeri u elde ederiz. Demek ki, bu, 1 bölü, 2'nin doğal logaritması. Bu da, 2 üzeri u olarak sadeleşir.Şuraya yazmıştım. a'yı değişik bir şekilde yazabilirim. Aslında, herhangi bir a sayısını, e üzeri, a'nın doğal logaritması olarak yazabilirim. a elde etmek için, e'yi bu üsse almamız lazım. e'yi bu üsse alırsak, a elde ederiz. e üzeri, 2 üzeri u'nun doğal logaritması eşittir 2 üzeri u. Tabii, bir de artı c var.Şimdi geri yerine koyalım. u neye eşit demiştik? u eşittir x'in doğal logaritması. Şimdi bunu yerine koyalım. Orijinal integralimizin yani 2 üzeri, x'in doğal logaritması, bölü x, dx'in cevabı, 1 bölü, 2'nin doğal logaritması, çarpı 2 üzeri, x'in doğal logaritması, artı c.Ve, cevabı bulduk. Bu, paydada değil, tabi biraz karışık yazmış olabilirim.