Çözümlü Örnek: Değişen Serilerin Kalanı

bu ekranda sonsuz bir seri görüyorsunuz Evet -1 üzeri en artı bir bölü karekök içinde en bunun genişletilmiş halinden bahsetmemiz gerekirse en biri eşit olduğunda birinci Terim -1 üzeri iki Yani bir bölü birden bire eşit olacak devam edelim eksi 1 bölü karekök içinde iki artı bir bölü karekök içinde üç ve eksi 1 bölü karekök içinde 4 diye bir artı bir eksi olarak sonsuza kadar devam edecek sonsuz seriler için yakın testlerini incelediğimizde buna benzer şeylerle karşılaşmıştık Bu yüzden de bu seri değişen seri testini geçiyor ve yakın suyu diye bir sonuca varabiliriz yakınsa the değerinde s olduğunu varsayalım Bu videoda serinin yakın sahip yakınsama dın dan çok yakınsa the değeri Ne olduğuyla ilgileneceğiz bunu Kısmi bir toplam yardımıyla yapabileceğimizi biliyoruz s altın disk bu İlke Terim'in toplamı olsun böyle yazınca bir de kalan olacak Hemen not edelim artı İlke Terim'in toplamını alınca geri YK artı birinci terimden başlayan terimler kalır Öyle değil mi o halde bunun da kattığı birinci terimle başladığını kabul edeceğiz Bu videoda kalanın mutlak değerinin 0,0 sıfır birden küçük ya da eşit olmasını sağlayacak minimum K değerinin hangisi olduğunu bulmaya çalışacağız şimdi her zaman olduğu gibi hadi hemen videoyu durdurdum ve bundan önceki videolarda gördüğümüz değişen seriler için yaklaşık değerleri nasıl elde ettiğimize dayanarak bunu nasıl bulabileceğimizi düşün denediğiniz ve sonucu buldunuz diyeyim şimdi isterseniz öncelikle ve altın diskinin neye benzeyeceği ile başlayalım Az önce Kağan artı birinci terimle başlayacağını söylemiştim Hemen yazalım -1 üzeri K artı bir artı 11k artı iki eder Bölük a artı 1'in karekökü kötü bundan sonraki terimi de artı eksi bir üzeri K artı 3 bölü karekök İçinde k artı iki olarak yazabiliriz ve bu şekilde devam edecek bu noktada bildiğimiz bir şey var Bunu daha önce görmüş de olabiliriz ya da bu videonun sonunda doğru olduğunu da görmüş olacağız bunun mutlak değerinin Evet bu toplamın mutlak değerinin birinci teriminin mutlak değerinden küçük olduğunu göreceğiz Hemen not edeyim kalanın yani R altın diskinin mutlak değeri bundan zaman zaman değişen serilerin kalan özelliği olarak da bahsedildiğini duyabilirsiniz Ne diyordum bunun mutlak değeri buradaki birinci Terim'in değerinden küçük ya da eşit olucak Evet -1 üzeri K artı 2 bölü karekök İçinde k artı birden bunun bir de binde birden küçük olmasını da istiyorduk birimi Bunu da ekleyelim küçük ya da eşit 101 Gül 001 bu noktada kafanızda bir ampul yandıysa ve bu eşitsizliği sağlayan minimum kaderinin ne olduğunu bulabileceğinizi düşünüyorsanız videoyu şu anda durdurabilirsiniz verdiniz mi Evet buradaki püf noktası buradaki -1 üzeri K artı ikinin bunu Pozitif ya da negatif yaptığını bulmak paydanın pozitif olacağını biliyoruz yani bu karekökün tanımlı olması için kanun pozitif olması gerekir ya da burada pozitif kayalarla çalıştığımızda değerlendirebiliriz işareti değiştiren pay öyle değilmi 1 -1 artık sonra yine eksi ve yine artı bir Ama buradaki mutlak değer işareti içerde ne olursa olsun sonucun pozitif olmasını sağlar Öyle değil mi o halde bu bir bölü karekök İçinde k artı bire eşittir diyebiliriz bu 0,0 sıfır birden küçük ya da eşit olacak ve artık bu eşitsizliği çözmeye hazırız evet hadi bu çizdiği sağlayan kaderlerine ne olduklarını bulmaya çalışalım iki tarafı karekök içinde kan artı bir ile çarpalım Evet çarpı karekök İçinde k artı bir ve buraya da yazayım Böylece paydaki köklü ifade eden kurtulmuş oluyoruz Bir de 1000'e çarpalım Böylece sağ taraftaki ondalık sayılarda kurtulmuş oluruz Evet çarpı bin buraya Bunlar birbirini götürecek sol tarafta bin kalacak pozitif sayılarla çarptığımız için eşitsizliğin yönünde değişmeyecek küçük ya da etmiştir ve sağ tarafta da karekök İçinde k artı bir kalacak iki tarafın karesini alalım şimdi Evet 1 milyon öyle değilmi 1 milyon küçük ya da eşittir K artı bir iki taraftan da bir çıkaralım ve sonuç 999999 küçük ya da eşittir k bu 999999 dan büyük ya da eşit olmalıymış bu koşulu sağlayan en küçük k değerini istiyordu Eğer kabuğundan büyük ya da eşit olacaksa bu koşula Uyan en küçük k değeri 999999 dur değil mi Hemen not edelim Evet bunun doğru olmasını sağlayan en küçük k değeri 999999 Şimdi de kalanın mutlak değerinin ilk 999999 tane Terim'in kısmı toplamını aldığımızda kalanın mutlak değerinin bu toplamdan küçük olduğu konusunda ikna olmamız lazım şu ana kadar bu varsayım üzerinden ilerledik Ama isterseniz bu konuda kendimizi biraz daha ikna etmeye çalışabiliriz bu noktada yine videoyu durdurup bu ispatı Kendi kendinize yapmayı denemek konusunda özgürsünüz bunu bir kere daha yazalım VR altın disk Eee de genişletelim bu toplamın s ye yakın sıcağı devam ediyoruz iyi 999999 Terim'in kısmı toplamını alacağız Bu değerin bunun binde biri içinde olduğunu da iddia ediyoruz artık alanın ilk terimi bir milyonuncu terim Olur öyle değil mi milyonuncu Terim de -1 üzeri 1 milyon artı bir ve buradaki kuvvet tek sayı olduğundan bu -1 eşit olur yani eksi 1 bölü karekök içinde bir milyona eşittir şöyle yazıyım eksi 1 bölü karekök içinde 1000000 Evet 1 milyon sonra artı bir bölü karekök içinde 1000001 gelecek kuvvet 1 milyon iki olduğu için artı bir eşit olacak ve sonra da yine eksi 1 bölü karekök içinde 1 milyon iki ile devam edeceğiz ne Evet iki Terim daha yazmak istiyorum bir artı bir bölü karekök içinde 1 milyon 3 ve eksi 1 bölü karekök içinde 1 milyon 4 seri bu şekilde sonsuza kadar devam edecek şimdi bu toplamın mutlak değerinin 0,0 sıfır birden küçük olduğu konusunda kendimiz ikna etmemiz gerekiyor aslına bakarsanız birinci Terim'in mutlak değerinden de küçük olacak peki bunu nasıl ispatlayabiliriz birinci Terim Bir bakalım eksi 0,0 01 e eşit Çünkü burada bir milyonun karekökü ve bir de eksi işareti var bu şekilde Evet bu şekilde parantezler koyduğumuzda bu Terim pozitif olur öyle değil mi Neden diyecek olursanız bu bundan büyüktür de ondan benzer şekilde Bu da bundan büyük olduğundan bu parantezin içinden elde edeceğimiz değerde Pozitif ol Ben bunu devamında gelecek tüm parantez değerleri için de söyleyebiliriz Böylelikle birinci Terim eksi 0,0 sıfır birden sonra gelenlerin pozitif değerler olacağını anlamış olduk demek istediğim bu şekilde Sonuç olarak elde edeceğimiz değer bundan küçük olamaz bundan daha negatif olamayacağını bulduk Bir de pozitif binde Birden büyük olmayacağını bulalım bunu da parantezler farklı bir şekilde koyarak yapacağım Evet Parantezi bu şekilde koyarsak buradan negatif bir değer elde ederiz Evet ve Burası da burada bir artı olması lazım Burada evet bu şekilde devam edersek bir sürü negatif değeri birbiriyle toplamış oluruz parantezleri farklı bir şekilde yerleştirerek bu toplamı negatif bir değer alacağını da görmüş olduk toplam negatif olacak Ama birinci terimden daha negatif değil Böylelikle kalanını bu değerinin 0,0 sıfır Birden büyük olamayacağını da ıspatlamış oluyoruz buraya Terim eklemeye devam ettikçe birinci Terim'in bizi gerçek toplamda uzaklaştır dın dan daha fazla uzaklaş aşamayacağımız da söyleyebiliriz