Fonksiyon Olarak Geometrik Seri

Elimizde, sonsuz bir seri olarak tanımlanmış bir fonksiyon var. Bu fonksiyonu, görmeye alışık olduğumuz bir şekilde ifade edip edemeyeceğimizi incelemek istiyorum. Eğer bu geometrik bir seriyse, sonsuz geometrik serilerin toplamını almayı biliyoruz, öyle değil mi? Hatta x değerleri üzerinden, neye yakınsayacağını da bulabiliriz! O halde, öncelikle, bunun geometrik bir seri olup olmadığına karar vermemiz gerekiyor. Geometrik serilerde, ardışık terimlerin oranları eşittir. Bakalım, burada da, öyle mi? 2’den, eksi 8 x kare elde etmek için, kaçla çarparız gerekir? Eksi 4 x kareyle! Evet, bu ikisinin arasındaki oran eksi 4 x kare! Peki, 32 x üzeri 4’e ulaşmak için de aynı şekilde 4 x kareyle mi çarparız? Evet! Eksi 4 x kare çarpı eksi 8 x kare, 32 x üzeri 4 eder! Ve bunu da, eksi 4 x kareyle çarparsak, Eksi 128 x üzeri 6 elde ederiz! O zaman, karşımızda geometrik bir seri var, diyebiliriz! Ortak oran eksi 4 x kare ve birinci terim 2 olduğuna göre, bu geometrik seriyi, Fx eşittir, N sıfırdan sonsuza kadar, 2 çarpı eksi 4 x kare üzeri n’lerin toplamı olarak yazabiliriz! Evet! Ortak oranı eksi 4 x kare olan geometrik bir seriyi, bu şekilde gösterebiliriz! Şahane! Buraya kadar tamam. O halde gelin, bunun neye yakınsadığını bulmaya çalışalım. Ortak oranının mutlak değeri 1’den küçük olan geometrik serilerin yakınsayacağını hatırlıyorsunuz, değil mi? Hemen not alalım. Eğer, ortak oranın mutlak değeri yani eksi 4 x karenin mutlak değeri, 1’den küçükse yakınsar. Mutlak değerin içi negatiftir, bakın, xkare pozitif, 4 x kare de pozitif ama eksi 4 x kare negatiftir. Ve negatif olan bir şeyin mutlak değerini alırsanız, yani negatifin negatifini alırsanız, pozitif bir sonuç elde edersiniz. Evet, bunun 1’den küçük olması gerekiyor. Mutlak değer işaretini kaldırırsak, 4 x kare küçüktür 1. İki tarafı da 4’e bölelim, X kare küçüktür 1 bölü 4. Bunun karekökünü aldığımızda da, mutlak değer içinde x küçüktür 1 bölü 2. Ya da şöyle yazalım, Eksi 1 bölü 2 küçüktür x küçüktür 1 bölü 2. Böylece, serinin yakınsadığı aralığı bulmuş olduk. X, bu aralıkta olduğu sürece, seri yakınsayacak. Ya da bu şekilde gösterildiğinde, x, yakınsaklık yarıçapından küçük olduğu sürece, seri yakınsayacak. Biraz daha açıklamak gerekirse bunu, x eksi sıfır’ın mutlak değeri olarak da yazabiliriz. Yani x’le sıfır arasındaki uzaklık 1 bölü 2’den küçük olduğu sürece, bu seri yakınsayacak. Buna yakınsaklık aralığı, buna da yakınsaklık yarıçapı denir. Evet, bunu da açıklığa kavuşturduğumuza göre, şimdi gelin, serinin neye yakınsadığını bulalım. İlk terim 2, bölü 1 eksi ortak oran, 1 eksi eksi 4 x kare. Buradan, 2 bölü 1 artı 4 x kare elde ederiz. İşte bu kadar! X, yakınsaklık aralığında olduğu sürece, bu seri, buna yakınsayacak!