Yakınsak ve ıraksak geometrik seriler (yeniden düzenlemeyle)

Burada 3 tane geometrik seri var. Şimdi sizden istediğim, bunlardan hangilerinin yakınsadığını, hangilerinin ise uzaksadığını, ya da daha eski bir terimle ıraksadığını, bulmanız. Unutmayın, bir serinin toplamı sonlu bir değerse, o seri yakınsar. Eğer toplam, sonsuza gidiyorsa, hatta negatif sonsuza da gidiyor olabilir, Bu durumda, seri, uzaksar. Evet, şimdi, videoyu durdurun ve düşünün. Bir önceki videoda, ortak oranın mutlak değerinin sıfırdan büyük ve 1’den küçük olduğu durumlarda yakınsayan sonsuz geometrik bir seri görmüştük. O halde, buradaki geometrik serilerin ortak oranlarını bulabilirsek, hangilerinin yakınsadığını da bulabiliriz. Fakat bu serilerin ortak oranlarını bulabilmek o kadar da kolay olmayacak, çünkü üstel şekilde yazılmış birden fazla ifade var. Evet, bu durumda, gelin, küçük matematiksel dokunuşlarla bu ifadeleri dönüştürmeye çalışalım. Mesela, 5 üzeri n eksi 1, 5 üzeri n bölü 5’e eşittir. Ya da, 5 üzeri n çarpı 5 üzeri eksi 1. Evet, az önce de söylediğim gibi, bu, 5 üzeri n bölü 5’e eşit. Şahane! 5 üzeri n bölü 5 çarpı 9 bölü 10 üzeri n ise, 1 bölü 5 çarpı, 5 çarpı 9 bölü 10 üzeri n’ye eşittir. Bu şekilde, ortak oranı daha iyi seçebiliyoruz. Şimdi buraya bakarsak, bu artık ilk terim olmayacak, çünkü n, 2’ye eşit. Ama ortak orana bakacak olursak, Yani bu ifadeye, mutlak değerinin 1’den büyük ya da küçük olduğunu söyleyebiliriz. 5 kere 9, 45 eder, 10’a bölersek de, 4 virgül 5 elde ederiz ve, evet, 4 virgül 5, 1’den büyüktür. Mutlak değer 1’den büyük olduğu için, bu seri uzaksar diyebiliriz. Ya da ıraksar deriz. Yani, bu toplam, sonsuza gidecek. Şimdi de, ikinci seriye bakalım. İlk seriyi nasıl değerlendirdiğimizi anladıysanız, umarım anladınız, şimdi, lütfen videoyu durdurun ve bu serinin değerlendirmesini siz yapın. Evet, bu örnekte, ortak oran biraz daha açık. Umarım, siz de görebiliyorsunuz. 3 bölü 2 üzeri n çarpı 1 bölü 9 üzeri n artı 2. Bunu da, 3 bölü 2 üzeri n, çarpı, 1 bölü, 9 üzeri n çarpı 9 üzeri 2 şeklinde yazabiliriz. Devam edersek, 1 bölü 9 üzeri 2, 1 bölü 81’e eşittir, O halde tüm bu ifadeyi, 1 bölü 81 çarpı, 3 bölü 2 üzeri n çarpı 1 bölü 9 üzeri n olarak yazabiliriz, öyle değil mi? 1 bölü 81 çarpı, 3 bölü 2, 1 bölü 3 eder; burada 2 var, 3 kere 2, 1 bölü 6 üzeri n; işte ortak oran. Peki bu ortak oranın mutlak değeri hakkında ne söyleyebilirsiniz? 1’den küçüktür. Bu durumda, bu seri yakınsar. Yani bu toplam sonlu bir değere sahip olacak. Şimdi de, bu seriye bir bakalım. 1 bölü 3 üzeri n eksi 1. Gelin, bu ifadeyi de baştan yazalım. 2 üzeri n bölü, 3 üzeri n çarpı 3 üzeri eksi 1. Burada, 3 üzeri eksi 1’i paya yazabilirim. 3 çarpı, 2 üzeri n bölü 3 üzeri n. Yani, 3 çarpı 2 bölü 3 üzeri n. Kısacası, bu ifadeyi bu şekilde yeniden yazabiliyoruz. Evet, ortak oran burada. Ortak oranın mutlak değeri ise, gördüğünüz gibi 1’den küçük. O halde ne diyoruz? Bu sonsuz geometrik seri yakınsar, yani, toplamı sonlu bir değere sahiptir. Bu kadar...