sin(0,4)’ün Değerini Lagrange Hata Sınırını Kullanarak Bulma Örneği

çok sinir sıfır 4'ün değerini Makarim polomu kullanarak hesaplarsak hata polinomu 0,0 01 den küçük olan en küçük dereceli polinomun derecesi kaçtır demişler Bu soruda bize verilenler neler elimizde bir fonksiyon var o fonksiyonun değerini en İnci dereceden bir makroların polomu kullanarak hesaplıyoruz Aslında daha genel bir ifadeyle Tyler polinomu da Diyebiliriz ama gelin bize nci dereceden maçların polinomu diyelim Bu kusursuz bir yakınsama olmayacak Aslında bu polinomun yanında bir de hata var kalan da diyebiliriz bu polinoma İnci dereceden margarin polinomunun kalanı deriz bu iki polinomda bir x değişkenine bağımlıdır şimdi gelin bize verilen bilgilerden hareket ederek ilerleyelim şöyledir 04 sinüsünü hesaplamak demek şu demektir eşittir en İnci dereceden maclaurin polinomunun 04 eki değeri artık 1'inci dereceden bu maclaurin polinomunun kalanın 04 eki değeri bizden şunu bulmamız isteniyor başka bir renkle yazayım Evet şunu bulmak istiyoruz en İnci dereceden maklein polinomunun kalanının 04 eki değerinin 0,0 sıfır birden küçük olması koşulunu sağlayan en küçük ne nedir Bize verilen soruyu Bu gördüğünüz biçimde de ifade edebiliriz Peki bu soruyu nasıl çözeceğiz bu soruyu lagrange hatasını adı verilen bir kavramı kullanarak çözebiliriz bu kavramın kanıtını yaptığımız videoları bulabilirsiniz bu kavrama genellikle tayların kalan teori mi dedin size önce bu Teoremi yazacağım açıklamasını yazarken yapacağım ama biz üzerinde çalıştıkça Teoremi tastamam öğreneceksiniz tayların kalan Teoremi şöyle der bir diğer adı da lagrange hata sınırı demiştim teorem bize şöyle der bir fonksiyonun bu artı 1. dereceden türevinin mutlak değeri küçük ya da eşittir birem değeri Onun için bir de koşulu muz var o da şu hem polinom uzun merkezini hem de eksi içeren bir açık Aralık olmalı Bu soruda polinomun Merkezi sıfırdır yani maçların polinomu söz konusu Bu soruda ki ilk de 0,4 ama ben genel bir ifade olması için buraya iki Yazacağım bu ifade geçerliyse yani fonksiyonun artı bir dereceden türevinin mutlak değeri bir hem değerinden küçükse ya da ona eşitse ve hem polinomun Merkezi hem de iki içeren bir Aralık söz konusuysa ki polinomun Merkezi C ile gösterildiği için 0 yerine C yazabilir dik Evet bu ifade geçerli ise asıl işimize yarayacak olan legrant bölümü geliyorum ifade geçerli ise kalan polinomunun sınırlandırılmış olduğunu söyleyebiliriz en İnci dereceden polinom un kalan var mı sınırlandırılmış olduğunu söyleyebiliriz burada fonksiyonun enartı 1. dereceden türevi söz konusu ve bunun sınırlandırılmış olduğunu görüyoruz O halde fonksiyonu muza yakınsayan en İnci dereceden polinom un kalan polinomu küçük ya da eşittir aynı em değeri Çarpı x üzeri en artı bir bölü en artı bir faktör yer Peki bu ifadeyi bize verilen soruya Nasıl uyarla ya biliriz sinüsün türevini düşünün sen'sin mutlak değerinin 1'e eşit ya da birden küçük olduğunu biliyorsunuz sinüsün türevi olan kosinüsün mutlak değeri de biri eşittir ya da birden küçüktür halde seni [ __ ] türevini kaç kez alırsak alalım o türevi mutlak değeri daima 1'e eşit ya da birden küçüktür ilk başta belirttiğimiz Bu efix fonksiyonu için şöyle bir genel ifade yazabiliriz fonksiyonun enartı 1. dereceden türevinin her Bu bir xd ki değerinin mutlak değeri küçük ya da eşittir bir bu ifade ev fonksiyonunun sinir dikse eşit olduğu durumda geçerlidir bu ifade her Aralık'ta geçerlidir yalnızca belirli bir Aralıkta geçerli olması söz konusudur hem değerinin buradaki bir olduğunu biliyoruz sinüs fonksiyonunun ve onun türevlerinin mutlak değeri bir ile sınırlandırılmıştır üst sınır birdir devam edelim elimizde en var lagrange hatasını burada uygulayabiliriz şöyle yazabiliriz en ince dereceden maclaurin yakınsaması nın kalan polinomunun 0,4 teki değerinin mutlak değeri Bu soruda ek 0,4 tür herhangi bir iki değeri için genel bir ifade yazmıyoruz küçük ya da eşittir em birdy yazmaya gerek yok ek 0,4 de eşit 0,4 o üzeri en artı bir bölü en artı bir faktör yer Tabi bu ifadenin de mutlak değerini almalıyız bu legrain çatal sınırlıdır eşitsizliğin sağ yanının 0,0 sıfır birden küçük olduğu bir durum Bulabilirsek kalan polinomunda 0,0 sıfır birden küçük olduğunu kesin olarak biliriz Çünkü kalan polinomu zaten buna eşittir ya da bundan küçüktür ve bu da 0,0 01 den küçüktür Peki bunu nasıl yapabiliriz bu eşitsizliği sağlayan en küçük en değerini nasıl bulabiliriz rastgele seçeceğimiz bir en değerini yerine yazarız ve bu ifade 0,0 sıfır birden küçük olana dek seçtiğimiz Neyi arttırarak denemeye devam ederiz o halde gelin öyle yapalım Önce şöyle bir tablo hazırlayayım elimden geldiğince düzgün bir tablo çiz de çalışıyorum Evet bir sütun en sütünü olsun ve diğeri de 0,4 üzeri en artı bir bölü en artı bir faktöryel olsun Şimdi en bire eşitken bir bakalım Evet o halde Burası 0,4 üzeri 2/2 faktöryel olur burada 0,16 bölü 2 dir yani 0,0 8 eder 0,0 sıfır birden küçük olmadığı kesin O zaman devam edelim en eşittir 2 için bakalım 0,4 üzeri 3/3 faktöryel olur bilmem virgülden sonra üçbasamak olmalı yani 0,0 64/6 bu da değil yani en hala yeterince büyük ki o halde en eşittir 3 için bakalım 0,4 üzeri3 O bir yani dördüncü kuvveti alacağız bölü dört faktör gel Bu da virgülden sonra 4 basamak olacak 0,0 250 6/24 Evet az kaldı bu sayı 0,0 sıfır birden Biraz daha büyük bir sayıdır Bu da işimizi görmüyor en eşittir dördün anladığımız sonuç olduğunu düşünüyorum Evet gelin öyle miymiş göre Dem 0,4 üzeri 5/5 faktör yer 455 250/10 yani 1024 eder virgülden sonra beş basamak olacak yani 0,0 1024 onu da beş faktörlere böleceğim ki o da 120'ye eşit Evet bu işlemin sonucu olan sayı kesinlikle 0,0 01 den küçüktür en dörde eşit Kent yani dördüncü dereceden maklar unpol omuzun kalan Polo bu 0,4 teki değerinin mutlak değerinin 0,0 sıfır birden küçük olacağı kesindir işte bulduk Hatta polinomu 0,0 01 den küçük olan en küçük dereceden polinom derecesi buymuş