cos(x)'in Maclaurin Serisi

Son videoda Maclaurin serisinin ne olduğunu size anlatmaya çalıştım ve videonun sonunda Maclaurin serisinin Taylor serisinin özel bir durumu olduğunu söylemiştim. Maclaurin serisinde fonksiyona x eşittir 0 etrafında yakınsıyoruz. Taylor serisinde ise yakınsamak için herhangi bir x değeri seçebiliriz. Bu konuya ileride değineceğiz. Şimdi Maclaurin serisine odaklanalım, çünkü daha kolay ve bizi çok temel sonuçlara ulaştıracak. Zaten benim amacım da bu sonuçları elde etmek. Bazı ilginç fonksiyonların Maclaurin serisini bulalım. Tekrar tekrar türev alacağım için türevi kolay alınan fonksiyonlar seçeceğim. Şimdi f x eşittir kosinüs x'in Maclaurin serisini bulalım. Son videoda çıkardığımız formülü kullanmadan önce, f x'in türevlerini bulalım. Birinci türevi alırsak, kosinüs x'in türevi eksi sinüs x'tir. Eğer bunun türevini alırsak, sonra türevin de türevini alırsak, sinüs x'in türevi kosinüs x'tir. Burada eksi olduğu için, eksi kosinüs x olur. Bunun da türevini alırsak, yani kosinüs x'in üçüncü türevi, artı sinüs x olacak. Tekrar türev alırsak, kosinüs x elde ederiz. Yine kosinüs x bulduk. Bu dördüncü türevi aldığımızda, yine kosinüs x olur. Bir önceki videoda konuştuklarımıza bakarsak, bu fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmam gerekiyor. Fonksiyonun 0'daki değerini bulalım. f 0, kosinüs 0 eşittir 1. Değerin 0 radyan veya 0 derece olması fark etmez. Sinüs 0 eşittir 0, yani f üssü 0 eşittir 0. Sonra, kosinüs 0 yine 1 olduğundan, buradaki eksiyle, eksi 1 buluyoruz. Böylelikle f'nin 0'daki ikinci türevi, eksi 1. Şimdi f'nin 0'daki üçüncü türevinin değerini bulalım. Sinüs 0 eşittir 0. Dördüncü türevde ise, kosinüs 0 eşittir 1. Yani f üssü üssü üssü üssü 0 yine 1. Burada ilginç bir örüntü görüyoruz - 1, 0, eksi 1, 0, 1. Sonra 0, eksi 1, 0. Bunu Maclaurin serisine uygularsak, ne elde ederiz? Kosinüs x'e polinomla yakınsıyoruz. f 0 eşittir 1, artı f üssü 0 çarpı x. Ama f üssü 0 sıfıra eşit, bu nedenle bu terimi yazmayacağız. 0 çarpı x'i yazmaya gerek yok. Artı f üssü üssü, yani eksi 1, çarpı x kare bölü 2 faktöriyel. 2 faktöriyel 2'ye eşit. Örüntüyü daha iyi anlamanız için, ben bunu 2 faktöriyel olarak yazacağım. Bir sonraki terime geçiyoruz. 0'daki üçüncü türev. 0'daki üçüncü türev 0'dır, o nedenle bu terimi de yazmıyoruz. Ve dördüncü türeve geçiyoruz. 0'daki dördüncü türevin değeri, artı 1. Bu katsayı 1 olacak. 1 çarpı x üzeri 4 bölü 4 faktöriyel. Sanıyorum örüntüyü görmeye başladınız. İşaret değişimi var -devam ettiğinizde bunu göreceksiniz, bana inanmıyorsanız, doğruluğunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Yani artı eksi artı eksi diye gidiyor. Bu, 1 çarpı x üzeri 0. Sonra, x kare terimine atlıyoruz ve sonra da, x üzeri 4 terimini buluyoruz. Devam edersek, eksi x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel, artı x üzeri 8 bölü 8 faktöriyel, eksi x üzeri 10 bölü 10 faktöriyel olarak yazarız. Bu seriyi sürdürdüğümüzde de, kosinüs x'in polinom olarak gösterimini bulmuş oluruz. Kosinüs x'in bu şekilde gösterilebilmesi bence süper bir olay. Bir trigonometrik fonksiyon için, son derece basit bir örüntü elde etmiş olduk. Bir kez daha matematiksel kavramların nasıl birbiriyle bağlantılı olduğunu görmüş olduk. Bundan birkaç video sonra ise, bu bağlantının hayalimizin ötesinde bir derinliği olduğunu keşfedeceğiz.