If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Harmonik Seriler ve p-Serileri

𝑝 serileri, aynı 𝑝 değeri için terimlerin 1/(nᵖ) formunda olduğu bir grup seridir. Harmonik serilerde ise 𝑝=1'dir. Bu tür seriler hem çok ilgi çekicidir hem de çok işe yararlar.

Video açıklaması

bu seriyi adını verdiğimiz sonsuz toplam işlemi Yüzyıllardır matematikçileri büyülü bir artı bir bölü iki artı bir bölü üç artı bir bölü 4 artık nokta nokta nokta bu biçimde sonsuza kadar Terim'e gidiyorsunuz Bu pek çok açıdan ilginçtir şöyle bir bakınca bile bunu kurcalamanın ilginç olacağını düşünürsünüz 1/1 artı bir bölü iki artı bir bölü 3 her bir terim giderek küçülüyor ve sıfıra yaklaşıyor Ne var ki onları toplarsanız bu sonsuz sayıdaki Kerim'i toplamaktan bahsediyorum sonuç bir sayı mıdır yoksa toplam Irak sarmı sonuç bir sayı olmaz mı bu örüntü müziklere karşımıza çıkar Hatta müzikte karşımıza çıkması ta en başında bu serinin incelenmesinin asıl nedeni bile olabilir müzikteki temel notalardan veya temel frekanslardan birini ele alalım Bu videonun ana fikri size müzik konusunda bir şeyler öğretmek değil tabi t da onlardan birini ele alalım demiştim Evet diyelim ki la olsun lanın bir dalgasını çizdiğimi düşünün tabi yalnızca bu kadar değil böyle devam ediyor Sonuçta elde çizdim kusursuz bir çizim değil harmoniler yani doğuşkanlar Örneğin buradaki la notasının Doğuş kanları onu pekiştiren ikincil frekanslar dır Evet ikincil seslerdir la notasının Doğuş kanlarının dalgaboyu lanın dalga boyunun yarısı kadar olabilir bu durumda aynen şöyle görünürler bu la notasının bir Doğuş kanıdır dalgaboyu lanın dalga boyunun yarısı kadardır ve dikkat edin Doğuş kanın ikinci dalgası ile Ela'nın ilk dalgası ayında da aynı anda tamamlanıyor lanın bir diğer Doğuş kanın dalgaboyu laan dalga boyunun üçte biri olabilir dörtte biri de olabilir müzik aletleri ne veya sesi kulağımıza hoş gelen herhangi bir şeyin bu iseniz yalnızca temel notaların çalınmadığını çok Doğuş kanında çalındığını göreceksiniz Neyse bu Seriye neden harmonik seri adının verildiğini dolambaçlı yoldan da olsa size anlatmaya çalıştım ilerde çekeceğim bir videoda sürprizi Bozmak istemem ama bu serinin IR aksadığını kanıtlayacağım Ayrıca benzer serilerin yakınsaklığı meyal aksadığını bulabilmek için genel bir kural tanımlayacağız harmonik seriler ıraksak tır çıkmalı gösterim kullanarak yazarsak Evet Sigma en eşittir birden sonsuza kadar bir bölümü en bir diğer ilginç konuya geçelim bu ifadeyi Üstel yapsak ne olur dersiniz buraya tekrar Yazmam da bir sakınca yok Hem Böylece kavramı alışmamış sızlanır Evet bu Yazacağım seri Harmonix iri 1/1 Yani bir artı bir bölü iki artı bir bölü 3 artı nokta nokta nokta Evet böyle gidiyor peki paydadaki sayıların kuvvetini örneğini o uzak ne olur elimizde şöyle bir seri olur En eşittir birden sonsuza kadar bir bölü enkare serinin açılımı da şöyle olur 1/1 in karesi Yani bir ilk terimi bir olarak yazalım artı bir bölü 2'nin karesi yani 1/4 artı bir bölü 3'ün karesi Yani 1/9 bu seri sonsuza kadar böyle devam eder seri gösterimini genelleştirme biliriz böyle serileri genel olarak yazabilir miyiz sorusunu sorabilirsiniz bakalım en eşittir birden sonsuza kadar bir bölü en üzeri Pepee herhangi bir kuvvet olabilir Örneğin önce bunun açılımını yazalım bir artı bir bölü iki üzeri p artı bir bölü 3 üzeri p artı bir bölü 4 üzeri pv böyle devam edecek peil Bu sayı olmak zorunda değil Örneğin 1/2 olabilir o durumda seri açılımı nasıl olur bir artı bir bölü karekök iki artı bir bölü karekök 3 ve böyle böyle devam eder harmonik serilerin peynirin biri eşit olduğu özel bir seri olarak kabul edildiği bu seri sınıfına p serisi Evet adı verilir pes serilerinde paydanın kuvvetin arttırıyoruz Pepee'nin ifadenin tamamının kuvvetin attığınızda düşünebilirsiniz Çünkü birinin hangi kuvvetini alırsanız alın sonuç yine bir evet konuya giriş yaptık bu serilerden bazıları yakınsar bazıları da Irak sar ilerde çekeceğim videolarda bunların kanıtlarını göstereceğim ama genel ilkeyi şöyle yazabiliriz kebir'den büyükse seri yakınsar sezgisel olarak da mantıklı aslında Çünkü terimler giderek küçülecek küçülecek küçülecek paydanın kuvveti ne kadar büyükse paydada o kadar büyüktür Bu da kesirli ifa Bir daha da küçülmesi demektir p birden küçükse veya bir eşit ssp1 eşitse elimizde ünlü harmonik serimiz var demektir p birden küçükse veya bir eşitse seri bırak sar bunları ilerde çekeceğim videolarda kanıtlayacağım