Dizilerin Yakınsaklık Ve Iraksaklıklarını Bulma

Burada 4 tane sayı dizisi görüyorsunuz. Sizden bu dizilerden hangilerinin ıraksadığını, hangilerinin ise yakınsadığını bulmanızı istiyorum ve bu soruya cevap verirken, yakınsayan dizilerin, limitlerinin, yani n’nin giderek büyüyen değerleri için, dizinin alacağı değerin, tek bir değere yaklaşıyor olması gerektiğini unutmayın. Ve ıraksayan dizilerde ise, limitin tek bir değere yaklaşmayacağını aklınızdan çıkarmayın. Şimdi, tek tek bu dizilerin üzerinden geçmeden, her zaman yaptığımız gibi, evet, videoyu durdurun ve bu soruya kendiniz cevap vermeye çalışın. Burada ne varmış, bir bakalım. Payda, n artı 8 çarpı n artı 1, paydada da ise, n çarpı n eksi 10. Evet, şimdi gelin, payın ve paydanın kuvvetlerini değerlendirelim. Payın mı, paydanın mı daha hızlı büyüyeceğini anlamamız gerekiyor. Pay, paydadan daha hızlı büyürse, bu ifade sonsuza yaklaşır, yani ıraksar. Payda, paydan daha hızlı büyürse de, bu ifadenin değeri sıfıra yaklaşır ya da yakınsar. Pay ve payda aynı hızda büyürlerse de, bu ifade sıfırdan başka bir değere yakınsar. Bu parantezleri açalım ve neler olacak görelim. n çarpı n, n kare eder. n çarpı 1, 1n, artı 8n, 9n etti ve 8 çarpı 1 de, 8 eder. Böylece, payda, n kare artı 9 n artı 8 bulduk. Paydada ise, n kare eksi 10n var. n’nin değeri arttıkça, payın davranışını bu terim belirleyecek, paydanınkini ise bu. Diğer terimlere bakacak olursak... 8’in değeri zaten değişmeyecek. 9n ya da eksi 10n’nin değeri ise, n kare’nin değeri kadar hızlı değişmeyecek. Değil mi? Ve, n’nin çok çok büyük değerleri için, bu ifadenin değeri, n kare bölü n kareye, yani 1’e yaklaşacak. O halde, bu dizinin yakınsadığını söyleyebiliriz. Şu an bunu kanıtlamıyorum ama payın ve paydanın kuvvetlerinin aynı olması bu ifadenin kim olduğunu ortaya çıkarıyor. Evet, n arttıkça bu ifadenin değeri 1’e yaklaşacak. İkinci ifadeye bir bakalım. Payda, e üzeri n artı 1 var. Paydada ise, e çarpı n artı 1 var. Aynı mantıkla düşünürsek, e üzeri n, çok daha hızlı bir şekilde artacak ve tüm ifadenin değerini belirlemiş olacak. Mesela, n’nin 100’e eşit olduğunu düşünün. e üzeri 100 inanılmaz derecede büyük bir sayı. 100 çarpı e ise, 100 tane e demek ve üzeri 100 ile kıyas bile kabul etmez! Evet, e üzeri n, e çarpı n’den çok daha hızlı büyüyecek ve ifadenin değeri sonsuza yaklaşacak. O halde, bu dizi ıraksar. Bu dizide ise, payda, daha büyük kuvvetli bir terim var: n kare. n kare, n’den çok çok daha hızlı büyüyecek. Kısacası, b alt indis n dizisinde olduğu gibi, pay, paydadan daha hızlı büyüdüğü için, bu dizinin değeri de sonsuza yaklaşacak yani bu dizi ıraksayacak. Başka bir deyişle, n sonsuza giderken, bu dizinin limiti de sonsuza yaklaşacak. Son olarak burada, n büyüdükçe, hatta gelin bu diziyi yazmaya çalışalım, n, sıfırken, eksi 1 üzeri sıfır, 1 eder. n, 1’ken, eksi 1; n, 2’yken, 1; n, 3’ken, eksi 1. Yani bu dizi, eksi 1 ile 1 arasında gidip gelecek. Bu dizi sınırsız değil, pozitif ya da negatif sonsuza gitmiyor ama iki değer arasında gidip geldiği için, tek bir değere de yakınsamıyor. O halde, bu dizi için, sınırsız olmamasına rağmen, yani sonsuza gitmemesine rağmen, hala ıraksıyor diyebiliriz. Tek bir değere yaklaşmadığı için... Yazıyorum, ıraksar.