3x3 Bir Matrisin Öz Değerleri

12'ye iki matrisin Öz değerlerini nasıl bulunacağını daha önce görmüştük gelin şimdi d331 matrisin Öz değerlerinin nasıl bulunacağını görelim takdir edersiniz ki matematiksel işlemler biraz daha karmaşık olacak Ve bunun için bunu bulmak biraz daha zorlaşacak ve karnım lamda a matrisinin bir öz değeri olsun tanım gereği Ancak ve ancak bunu gösterimi böyle biliyorsunuz Ancak ve ancak Ağa çarpı Sıfıra eşit olmayan bir ve vektörü eşittir lamda çarpı aynı ve vektör güvenin Sıfıra eşit olmadığının da altını özellikle çiziyorum bu vektöre Özbek dörde diyebilirim ama Sıfıra eşit olmayan ve bebek görünüyor Bu ifade Doğrudur evet ancak ve ancak buradan devam edeyim Bu ifade Doğrudur Ancak ve ancak bu konuyu işlemiş tik tekrar üzerinden geçiyoruz Çünkü bu işlemlerle on yıl sonra karşılaştığımızda bu hatırlamak zorunda kalmanızı istemiyorum bunları nasıl yazdığımız ın arkasındaki mantığı öğrenmenizi istiyorum Evet bu ifade Doğrudur Ancak ve ancak her iki yandan da a çarpı B içi Karalım sıfır vektörü eşittir lampa çarpı ve yerine lamba çarpı birim matris çarpımı ve yazacağım MEB birbirlerine eşittir birim matris ile veee çarparsanız sonuç yine ve droll edilme meksi açar mı ve üstteki eşitliğin her iki yanından da a çarpı B yi çıkardım ve burada ve yerine birim matris çarpımı ve yazdım Evet bu ifade Doğrudur Ancak ve ancak sıfır vektörü eşittir nampa çarpı birim matris eksi a çarpımı ve eşit insan yanını ve parantezine sonuçta Şu anda elimde bir matrisin ve ile çarpımı var bu ifade Doğrudur Ancak ve ancak bu ifadeyi şöyle O kim lan da çarpı birim matris eksi A bu bir matris Aslında matrisi ve ile çarparsak Sıfıra eşit olmak zorunda bunun koşulunda waynen Sıfıra eşit olmayan bir vektör olması bu da şu demek altını Çizdiğim bu matrisin sıfır uzayının aşikar olmayan bir çözümü vardır bunu şöyle ifade edebiliriz sütunları doğrusal bağımsız değildir şöyle ifade edebiliriz tersinir bir matris değil Ayrıca şöyle ifade edebiliriz de Termin antı sıfırdır lamda anın bir öz değeridir Ancak ve ancak buraya kadar yazdığımız Her bir adım Doğrudur Bu Son yazdığım ifade de Sıfıra eşit olmayan bir ve emek türü için doğrudur Ancak ve ancak lamda çarpı birim matris eksi anın de Termin antı sıfıra eşittir o videonun ana fikri işte buydu Galiba iki ve bu video önce işlemiştir şimdi gelin bunu elimizdeki 33 matrise uyguluyor birim matris t33 olacak elbet terekküp uzağındaki lamda çarpı birim matriste şuna eşit olacak evet lam dalam dalam da ve diğer tüm bileşenler sıfır olacak biri matrisin bu köşegeni birlerden oluşur Bu nedenle birim matris ilamda ile çarparsak Sıfıra eşit olmayan bileşenler o köşegen üzerindeki bileşenler olurlar diğerlerinin tamamı sıfırdır birim matris ilamda ile çarpımı buna eşit O halde lamda çarpı birim matris Exo Ama şuna eşittir Aslında bunu bulmak son derece kolay lamda eksi -1 lamda artı birdir sıfır -2 eksi ikidir sıfır -2 eksi ikidir sıfır eksiği kin eksi ikidir bunu da yazı 10 -2 eksi ikidir sıfır eksi eksi bir artı bir 10 eksi -1 artı birdir Evet köşegeni halledelim lamda -2 bu da halam da -2 lamda a matrisinin bir öz değildir Ancak ancak bu matrisin determinantı sıfıra eşittir şimdi Gelin bu matrisin determinantı hesaplayalım bunu hesaplamanın En kolay yolunu En azından bana göre en kolay Yol Uzar Us yöntemini Okulu gelin de terminal hesaplamak için Sarus kuralını kullanalım ilk iki sütun alacağım böyle kopyaladıktan sonra hemen yana yapıştıracağım ardından da bunların çarpımını bunların çarpımını ve bunların çarpımını toplayıp o toplamdan bunların çarpımını bunların çarpımını ve onların çarpımının toplamını çıkaracağım hadi başlayalım lan da artı bir çarp ıhlam da -2 çarpı lamda -2 artığı -2 çarpı eksi 24 der artı 4 -2 çarpı -2 Burası da Dört Eder artı Dur daha şimdide bunların çarpımı eksi bunların çarpımı eksi bunların çarpımı işlemlerini yapacağız eksi eksi iki çarpı eksi 24 Ender çarpı lamda -2 bu köşegen Tamam eksi lamda artı bir sırada bu köşegenler -2 çarpı eksi İki Dört Eder -4 çarpı lam da -2 bakalım şimdi bu ifadeyi sadeleştirme bilecek miyiz bu ikisinin toplamı 8'de Eğer buraya bakalım lan daha artık ne yapıp Bu ikisini çarparsam anlamda kare -4 lamda artı 4 Olur öyle değil mi birde buradaki tartı 8 Buradaki her şeyi çarpalım gitsin Bence -4 modda artık 8ex ilamda -1 -4 lamda artı 8 bu yeni ifade İsa değiştirebilecek miyim Bir de buna bak sabitlerim ler neler burada 18 var -1 var 18 daha var 18 daha çok o halde 24 eksi birden 23 Evet şimdi de lambalı terimlere bakalım -4 lamda Varex ilamda var bir -4 lamda daha var -8 -1 daha -9 eder O halde -9 lam da artı 23'te yanında şimdi de bu ifadeyi nasa'da hale getirelim Öncelikle o ayı bu parantez içindeki ifade ile çarp mamız gerekiyor lamdanın küpü -4 lam da karı artı 4 lamda artı lamda kare -4 lamda artı 4 Az önce bulduğumuz bu terimler de var Yeniden bir sadeleştirme yapacağız sabitlerim lerimiz hangileri 23 var ve 4 yani artı 27 şimdi sırada lambalı terimler px-9 lan da var artı 4 lamba var ve eksi doğar Turnam da bu ikisi birbirini götürür ve elimde yalnızca -9 lamba kalır lamda kareli terimler imler artı lan da Karabağlar ve -4 lamda kalemler ikisini toplayınca -3 lamda kare etti ve son olarak da elimdeki tek lamdanın küpü terimini yazacak Bu gördüğünüz matris imizin karakteristik polinoma bu Ayrıca matrisin herhangi bir lamda içinde Termin atıdır ne demiştik Bu sıfıra eşittir Ancak ve ancak lam da bir öz Değerdir O halde buraya eşittir sıfır yazabilirim şanslı mıyız şanssız mıyız bilemedim ama bununla şeker bir çözümü var ama onu bulmak çok çetrefilli büyük bir vakit kaybı Bu nedenle karesel bir polinomun çarpanlarına ayrılması işlemi uygulayacağız bu soruyu bir kitapta gör böyle bir soruyla doğrusal Cebir dersinde karşılaşırsanız Hatta genelleştirme elim Cebir dersinde karşılaşırsınız Çünkü işin içinde illa Öz değer kavramının olması gerekmiyor çözüm kümesi Muhtemelen tam sayılardan oluşur çözüm kümesi tam sayılar da oluşuyorsa polinomun kökleri buradaki Terim'in çarpanları dır Hele ki buradaki katsayı bir İso nasıl kökleri yazmak için 27'nin çarpanları O da Bir bakalım bunlar 139 ve 27 Bunlar polinomun olası köklerin hepsini tek tek Deneyelim bir için bir -3 -9 artı 27-0 eşit bir -3 eksik eder -9 -11 eder artı 27 artı 10 altın Evet evet sıfıra eşittir O halde bir kökümüzü belki üçe bakalım 3'ün küpü 27 eder -3 kere 3'ün karesi üç kere dokuz demek ex27 der -9 kere üç -27 eder artı 27 mi Evet bu işlem sıfıra eşittir gayet şanslıyız ikinci dönemimizde sıfıra ulaştık 3 ile sıfıra ulaştığımız a göre X3 bu ifadenin çarpanlarından biridir yani yüksek S3 ile bir şey çarptığımızda hiç değil mi Evet namda demek en iyi gelen diğer kökü de bulalım bu ifade yani lamdanın küpü -3 lambanın karesi -9 lambada artı 27 bölü lan da -3 yazacak peki Sonuç ne olur lambanın küpünü Lambaya bölersek lam da kare olur lan da karayı bununla çarpalım lan da kare çarpılan da lambanın küpüdür lan da kare çarpı -3 -3 lamda karedir bunları birbirinden çıkarırsak sonuç sıfırdır ardından bunların tümünü aşağı indireceğiz px-9 lamda artı 27 mavi renkle yazdığımız ifadeyi kırmızı renkli ifade eden çıkarınca geriye bu kaldı Şimdi bu ifadeyi de lan da eksi üçe böleceğiz nx9 lamda içinde -9 adet lamba vardır buraya -9 yazıyor -9 Çarpın Anam daha 13 ex9 Damla artı 27 işler yolunda gitti ve sıfırı elde ettik karakteristik polinomu muz bu biçimde sadeleşti mlam da -3 çarpı lambanın karesi -9 Elbette ki lam damatris imizin gerçek bir öz değeri ise bu ifadeyi Sıfıra eşit demeliyiz altını Çizdiğim bu ifadeye çarpanlarına ayırmak çok kolay onu daha çarpanlarına ayırdığımızda ifademiz Şu hale gelir lamba -3 çarpık lambanın karesi -9 eşit lan da artı üç çarpı anlamda -3 Evet bu da eşittir sıfır bu köklerden birini zaten bulmuştuk köklerden birinin 3 olduğunu biliyorduk buraya bakınca görünüyor zaten 3-1 matrisi olan ama adresimizin olası özleyenleri şunlar aramda eşittir Öç ve lamba eşittir aq 13 Bunlar karakteristik polinomu muzu veya bu matrisin determinantı na0 yapan değerlerdir Bu koşullar neyin koşullarıyla Peki lambanın Sıfıra eşit olmayan bir ve vektörünün özdeğeri olabilmesinin koşulları Bir sonraki derste artık özdeğerleri bildiğimize göre Özbek gönderi bulacağız O