If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:5:39

Video açıklaması

Son videoda bu denklemi sıfır dışı bir v vektörü için sağlayan herhangi bir lamda değeri varsa lamda çarpı birim matris eksi A'nın determinantının 0 olduğunu ispatlamıştık. Veya şöyle de diyebiliriz. Ancak ve ancak veya sadece ve sadece lamda çarpı birim matris eksi A'nın determinantı 0'a eşitse, lamda, A'nın özdeğeridir. Şimdi bunu kullanarak özdeğer bulalım. Basit bir 2'ye 2 matrisi seçelim. A eşittir 1, 2 ve 4, 3 matrisi. A'nın özdeğerlerini bulmak istiyorum. Lamda A'nın özdeğeriyse lamda çarpı birim matris için 2'ye 2 birim matrisini alacağım. Lamda çarpı 1 0, 0, 1 eksi A, 1, 2, 4 3 eşittir 0. Bu neye eşit? Bu, determinant. Lamda çarpı bu, lamda çarpı tüm bu terimlerdir. Lamda çarpı 1 eşittir lamda. Lamda çarpı 0 eşittir 0 lamda çarpı 0 eşittir yine 0 lamda çarpı 1 eşittir lamda. Ve bundan A'yı çıkaracağız. 1, 2, 4, 3 ve bu, 0'a eşit olmalı. Bu matrislerin farkı ve determinant alacağız. İlk terim lamda eksi 1. İkinci terim 0 eksi 2, yani eksi 2. Üçüncü terim 0 eksi 4 yani eksi 4. Ve dördüncü terim de lamda eksi 3. Burada bir kestirme, bir kısa yol görebiliyoruz. Köşegen üzerindeki terimlerin, hatta tüm terimlerin eksilisini aldık, öyle değil mi? Tüm terimlerin eksilisini aldık. Bir de köşegen üzerindeki terimlerin önüne lamda koyduk. Bu ifadenin yan ürünü böyle oldu. Peki, bu 2'ye 2 matrisin determinantı nedir? Bu çarpı şu eksi bu çarpı şu. Yani lamda eksi 1 çarpı lamda eksi 3 eksi şu iki arkadaşın çarpımı. Eksi 2 çarpı eksi 4 eşittir artı 8, eksi 8. Ve bu, 0'a eşit olmalı. 0 olmasının sebebi ise, bu matrisin aşikar olmayan bir sıfır uzayı olması. Aşikar olmayan bir sıfır uzayı olduğu için tersi alınamaz ve determinantı 0 olmak zorunda. Şimdi burada ilginç bir polinom denklemi oluştu. Bunu açalım. Bakalım ne bulacağız. Lamda kare eksi 3 lamda eksi lamda artı 3 eksi 8 eşittir 0. Bu da eşittir, lamda kare eksi 4 lamda eksi 5 eşittir 0. Eğer biraz terminoloji öğrenmek istiyorsanız, bu ifadeye karakteristik polinom diyoruz. Eğer A'nın özdeğerlerini bulmak isterseniz, sadece bunu çözmeniz yeterli. Bu temel bir ikinci dereceden denklem sorusu halini aldı. Ve çarpanlarına da ayırabiliriz. İki sayının çarpımı eksi 5 olacak ve toplamı eksi 4 olacak. Çok basit. Sayılar eksi 5 ve artı 1 olmalı yani lamda eksi 5 çarpı lamda artı 1 eşittir 0. Eksi 5 çarpı 1 eşittir eksi 5 eksi 5 lamda artı 1 lamda eşittir eksi 4 lamda. Böylece karakteristik denklemin, yani karakteristik polinom eşittir 0'ın iki çözümü, lamda eşittir 5 veya lamda eşittir eksi 1. Böylece bir önceki videoda ispatladığımız bilgiyi kullanarak A'nın iki özdeğerini lamda eşittir 5 ve lamda eşittir eksi 1 olarak bulduk. Şimdi sadece sorunun bir kısmını yaptık, öyle değil mi? Hem özdeğer hem de öz yöney arıyoruz, öyle değil mi? Bu denklemi sağlayan lamda değerlerinin 5 ve eksi 1 olduğunu biliyoruz. Özdeğerleri bulduk, ama daha öz yöneyleri bulmadık. Neyse bir sonraki videoda da öz yöneyleri bulacağız.