Öz Vektörlerin ve Öz Uzayların Bulunması

Bu bir önceki derste 221 matris olana matrisi vardı anneye eşittim 12433 lambada anın Öz değeridir Ancak ve ancak alanda çarpı birim matris bu örnekte birim matris ikiye iki birim matris eksi anın de Termin antı sıfıra eşittir buradan bir karakteristik polinom elde etmiştik bunu çözdüğümüz de anın Öz değerlerini şöyle bulmuştuk lan da eşittir 5 velanda -1 Bir önceki derste bunları istemiştik bir ama adresi ile bir özvektör ün çarpımı lan da çarpı Oğuz vektörü eşitse bu eşitliği sağlayan iki adet lamda değerinin 5 ve eksi bir olduğunu görmüştük de bir Özbek körlerin sıfırdan farklı olduğunu da kabul ediyoruz özdeğerleri bulduk ama henüz Yolu yarıladık bile bizim aslında Hem özdeğerleri hem de özvektörleri bulmamız gerekiyor bakalım ve bu eşitlikle biraz oynaya bilirsek önceki videolarda oynadığımız olmuştu ve sonunda da burada yazılı ifade ulaşmış tık biliyorsunuz bunun şöyle de yazabilirim sıfır vektörü eşittir lavanta çarpı özvektör eksi a çarpı Özbekler üstteki eşitliğin her iki yanından ama çarpı özvektör ifadesini çıkarınca bunu elde eder İslam Dayı bir Özbek taurine çarpmak demek lan da çarpı birim matris çarpımı özvektör demektir bunu biliyoruz altını çizdiğim bölümü böyle yazıyorum Aslında Bunlar birbirine eşittir birim adresi bir Özbek Thor ile çarparsanız Hatta hangi vektör ile çarparsanız Çarpın o vektörü elde edersiniz yani Bu ikisi birbirine eşittir nexi açar pwe Evet bu ifade de sıfır vektörüne eşit şu ana kadar yaptığım şeyler üste yazılan bu eşi bu oynamaktan başka bir şey değil aslında yukarıda yazılı bu ifadeye de zaten böyle ulaşmış tık Şimdi de bu ifadeyi ve parantezine alacağım Çünkü matris ile vektörler arasındaki çarpma işleminin dağılma özelliği var burası neye eşit olur lan da çarpı birim matris eksi a çarpı Özbek dur bu ifade Sıfıra eşit olmak zorunda bunu şöyle de yazabiliriz herhangi bir öz değer lan ta için olandan ın özvektörleri ne lamdanın öz uzayı adı verirler Mehmet yeni bir kavram Öz uzay Öz uzay bir Özdeğer lamdanın tüm özvektörleri demektir verilen bir Özde erinöz uzayı bu gösterdiğim eşitliği sağlayan tüm vektörlerin oluşturduğu kümedir bu eşitliği sağlayan tüm vektörlerin oluşturduğu küme işaretlediğim bu ifadenin sıfır uzayıp eşittir işaretlediğim Bu matrisin sıfır uzay lan da çarpı bu kris eksi anın sıfır uzaylı şu ana kadar hep genel çerçeveyi anlattım şimdi gelin bunları yukarıda yazılı bu ama adresine uygulayalım Öz değerinin 5 olduğunu biliyoruz lan da eşittir 55 inöz uzaylı eşittir neyin sıfır uzayıdır birim matris i5 ile çarparsak sonuç ne olur birim matris ikiye 21 maddesi olacak beş çarpı birim adresi işleminin sonucu 50051 değil mi meksi A oda 1243 eşittir Bu işlemin sonucu olan matrisin sıfır uzayı 5 eksi 14 eder sıfır -2 -2 10 -4 eksi 445 eksi 2/3 bu matrisin sıfır uzayı bum adres burada altı çizili olan matrisin sayısal gösterimi Aslında oğlum adresin sıfır uzayı bu ifadeyi sağlayan tüm vektörlerin oluşturduğu kümedir veya bu Öz ve tüm Özbek Körler idirme ya beş Öz değerinin Öz uzayı tüm bunlar birbirine denk önermeler O halde bum adresini sıfır uzayına bulmalıyız Ayrıca bu madde sür eşitliği sağlanmalı 4 -2 -4 iki çarpı bir özvektör eşittir sıfır mektuptur bir matrisin sıfır uzayı o matrisin indirgenmiş satır basamaklı biçiminin sıfır uzaklığına eşittir de ki bu arkadaşın gündür gelmiş satır basamaklı biçimi nedir pekâlâ İlk satırı Aynen yazıyorum 4 -2 ikinci satır yerine de ikinci satır ile ilk satırın toplamını yazacağım -4 artı 40 eksik artı 20 bile ilk satırı dörde böleceğim sonuç ne olurdu Bir eksi 1 bölü 200 peki bunun sıfır uzayı nedir bunun Özbek torunu yazalım O da V1 V2 bu ve Özbek türünü böyle yazabiliriz eşittir sıfır vektörü yani 00 bu işlemi yapalım bir çarpı bir artı eksi 1 bölü iki çarpı b 2 eşittir buradaki sıfır yani ve bir eşittir bir bölü iki V2 bu eşitliği sağlayan tüm özvektörleri yazmak istersem Şöyle yaparım lamdanın yani özderin beş eşit olduğu Öz uzay eşittir hangi kümeye eşit olmalı tüm V1 V2 vektörleri eşittir burada bir çarpan olmalı Örneğin te diyebiliriz eşittir T çarpı ne olmalı ve 2 tl'ye eşit sw2 T çarpı bir demektir benzer şekilde ve bir de 1/2 çarpı t y eşittir işte böyle te Gerçek sayılar kümesinde en herhangi bir sayıp ilerlersek bunun herhangi bir katını da alabiliriz İstediğiniz bir gerçek sayı ile çarpa bilirsiniz bu ile çarparsanız Burası bir olur Burası da iki en iyisi yapalım da görelim açık olsun esnek hissederek Yok vazgeçtim Özdeğer 5 için öz uzay eşittir 1/2 bir vektörünü geren vektörler dir yani yanıt rekare uzayında bir doğrudur Bu sorunun yanıtı olan vektörler bu eşitliği sağlayıp Öz değeri 5 olan vektörler Tepeyi özleyerek sibir olduğunda ne olur Ne Hadi gelin onu da bulalım anlamda -1 eşit oldu anlamda -1 için öz uzay eşittir birşeyin sıfır uzayı neye sıfır mızı yılan da çarpı biri matress bu ne ya eşittir eksi 100 -1 eşittir Öyle değil mi meksi birinde 1001 maddesini çarptık yani Buralar -1 olacak eksi a yani eksi 1243 eşittir sıfır uzay 3 2 1 -1 eşittir eksi 20 -2 eşittir eksi yy0 -4 eşittir eksi 4 -1 tax3 eşittir -4 Bu da eşittir Bu matrisin indirgenmiş satır basamaklı biçiminin sıfır uzayıdır bazı satır işlemleri yapacağız indirgenmiş satır basamaklı biçim olarak yazıyorum ikinci satırı birinci satırın -2 katıyla toplayıp sonucu ikinci satır olarak yazacağım eksi doğar tartı 4 eşittir sıfır olacak Ve yine eksi 4 artı 4 eşittir sıfır bir satırda -2 bölersem altını Çizdiğim bu matrisin indirgenmiş satır basamaklı biçimi şuna eşit olur 1100 Özdeğer -1 için öz uzay eşittir Bu matrescence sıfır uzayıp yani şu eşitliği sağlayan vektörlerin kümesidir 1100 en çarpıcı ve 1 ve 2 eşittir Sıfır ve bir artı bunlar artık bekliyor değil vektör işaretini koyamayız bunlar artık prens ayıp ve bir artı ve 2 eşittir sıfır tabi sıfır vektörüne şu matrisi eşittir 001 çarpı ve bir artı bir çarpı ve 2 eşittir buradaki sık yani ve bir eşittir eksi ve iki şöyle yazabiliriz ve 2 eşittir TV bir eşittir eksi de Ayrıca şöyle yazabiliriz Özdeğer 5 için öz uzay eşittir şu koşulu sağlayan tüm ve bir mm2 vektör nedir peki koşulu muz ne ve 1 ve 2 eşittir bir tek katsayısı çarpı ve bir yerine eksik TV2 yerine de artı de şuna da eşittir eksi bir bir vektörünü gören vektörler yaptığımız işlemleri al ve temiz için gelin bunun grafiğini çizmeye çalışalım iki Özdeğer bulmuştuk neydi onlar 5 ve eksi bir her bir öz değerini özvektörleri nin kümesini de bulmuştuk şimdi onların grafiklerini çizelim R karedeki grafiklerini çizeceğiz eksenleri çizelim bu düşecek Sen bu da yatay Eksen lamda eşittir 5 için söz konusu olan tüm vektörler 1/2 bir doğrusu üzerinde yer alıyor önce eksenlerde birileri işaretleyelim 1/2 ye bir noktası da burası vektör ümüz de bu bu rektörün geldi tüm vektörler bu vektörün tüm katları geçerli bir Özbek kördür çizdiğimiz bu doğru üzerinde kalan tüm vektörler geçerli bir Özbek dördü ve bu Özbek körlerin Öz değerinde beştir Örneğin bana şu arkadaşı verirsiniz dönüşüm uygularsanız yanıt Bu arkadaşın 5 katıdır diyelim ki bu x olarak şu arkadaşı verdiniz T çarpı eksi Bu arkadaşın 5 katıdır bu doğru üzerinde bulunan hangi vektör verirseniz verin onun dönüşümü dönüşüm derken a matrisi ile çarpımını kastediyorum Tabii neredeydi bu a matrisinin Evet işte burada a matrisi bu arkadaşı her iki doğrultuda da 5 ile çarpıyor sunuz Candan'ın beş eşit olduğu zaman geçer begil anda -1 eşit olduğunda yanıt şimdi göstereceğim vektörü gelen vektörler olacak vektör gösterelim -1 bir evet vektör ümüz İşte budur Tabi biz bu vektörü gelen vektörlerle ilgileniyoruz Yani bu ve görün standart gösterimini çizdiğimiz de bu doğru üzerinde kalan tüm vektörler Özdeğer Hepsi Bir için bunlar birer Özbek dönüş zamanda eşittir eksi bir yere nötr olarak bu gösterdiğim mektubu alırsak ve vektör dönüş ne yapsak rektörümüzün eksik bir katını elde ederiz diyelim ki bu v4x sektörü olsun bunun dönüşümü bu gösterdiğim vektör uzunluğu aynı ama tam Percy doğrultudaki bir vektör vektör ümüz bu arkadasa ve buna dönüşüm uygularsak aynı doğru üzerinde bulunan bu vektörü elde ederiz Belki bize verilen maddesi neydi 1243 matrisinin iki öz değeri 5 ve eksi bir matrisin sonsuz sayıda Özbek türü vardır Bu Özbek Körler iki ayrı Öz uzay oluşturur bu uzaylılardan her biri söz ettiğim Öz değerlerle ilişkilidir bu gösterdiğim doğrular İşte bu Öz uzayları temsil ediyor bu doğrular üzerinde bulunan tüm vektörler a matrisinin Özbek türüdür bu vektörlerin dönüşüm vektörlerinin üzerinde bulundukları doğru bakacaksın diyebiliriz bu doğru üzerinde bulunan bir vektörün dönüşüm sektörü kendisinin Yok aşkım bu doğru üzerinde bulunan bir Özbek dönüşüm bekliyor ve kendisinin -1 katıdır Özdemir Özbek gör ve öz Uzay ne demek artık biliyoruz duası bunları nasıl Bulacağımı da öğrendin mi