Örnek: Birimdik Doğuraylı Alt Uzayların İzdüşümünü Bulma

Bir önceki videoda ortonormal bir doğuray için bir V altuzayı ve R n'de bir x vektörünün V üzerine izdüşümünü bulmak istiyorsak dönüşüm matrisinin A çarpı A'nın devriği çarpı x olarak ifade edildiğini gördük. Burada A, sütunları doğuray vektörler olan matristir. Doğuray vektörler, v 1 v 2, v k'ye kadar. Ortonormal doğurayı belki böyle yazabilirim. V'nin ortonormal doğuray vektörleri. Bunu bir önceki videoda görmüştük ortonormal doğuraylar bu sebeple faydalıdır. Bunu somut bir örneğe uygulayalım. V'nin şu iki vektörün germesi olduğunu varsayalım. 1 bölü 3 2 bölü 3 2 bölü 3. Ve 2 bölü 3 1 bölü 3 eksi 2 bölü 3 vektörü. Şimdi bu iki arkadaşın lineer bağımsız ve uzunluklarının 1 olduğunu önceden görmüştük. Ayrıca birbirlerine dikler. Buna B matrisi diyelim v 1 ve v 2 V'nin ortonormal bir doğurayıdır. Şimdi bu sonucu kullanarak R 3'teki herhangi bir vektörün V üzerindeki izdüşümünü bulmak istiyoruz. Altuzay R3'te bir düzlem olacak. Nasıl buluruz? Bu arkadaşların sütun vektörü olduğu bir A matrisi oluşturmamız gerekiyor. 1 bölü 3, 2 bölü 3, 2 bölü 3 ve 2 bölü 3, 1 bölü 3 ve eksi 2 bölü 3. A'yı böyle oluşturursak, x'in V üzerine izdüşümü A çarpı A'nın devriği çarpı x olarak gösterilebilir. Dönüşüm matrisini bulmak için, bu arkadaşı devriğiyle çarpmamız gerekiyor. Evet, hadi bunu yapalım. Bunu kesip yapıştırayım. Bu, A. A'yı devriğiyle çarpmam gerekiyor. A'nın devriği şöyle olacak 1 bölü 3, 2 bölü 3, 2 bölü 3 1 bölü 3 ve sonra 2 bölü 3, eksi 2 bölü 3. Bu, A'nın devriği. Peki bu neye eşit olacak? 3'e 2 matrisini 2'ye 3 matrisiyle çarpıyoruz, yani sonuç 3'e 3 matrisi olacak. Bu mantıklı, çünkü buradaki matris R 3'ten R3'e eşleme olacak. Öyle değil mi? Bana R3'ün bir elemanını verirseniz size V altuzayında x'in izdüşümü olan bir başka R 3 vektörünü bulurum. Bu, aynı zamanda, V'nin x'e en yakın elemanı olur. Peki, bu matrisi nasıl buluruz? 3'e 3 matrisi olacak. Bir 3'e 3 matrisi. Birinci terim için, bu arkadaşın şu arkadaşla iç çarpımını alacağız. Yani 1 bölü 3 çarpı 1 bölü 3 yani 1 bölü 9 artı 2 bölü 3 çarpı 2 bölü 3. 1 bölü 9 artı 4 bölü 9 olacakmış. Sanıyorum bu elemanların çoğunda payda 9. Onun için bunun tamamı bölü 9, diyeyim. 1 bölü 9 artı 4 bölü 9 eşittir 5 bölü 9. Ama ben yalnızca 5 yazıyorum. Sonunda 9'a böleceğimi biliyorum. Bu, bu arkadaşla şu arkadaşın iç çarpımı. Şimdi de bu arkadaşla şu arkadaşın iç çarpımını alalım. 2 bölü 9 artı 2 bölü 9, öyle değil mi? 4 bölü 9. Şimdi de bu arkadaşın şurada ki arkadaşla iç çarpımını alalım. 2 bölü 9 eksi 4 bölü 9 eşittir eksi 2 bölü 9. Şimdi de ikinci satırdayız. 2 bölü 9 artı 2 bölü 9 eşittir 4 bölü 9. Buraya 4 yazalım. Sonra 2 bölü 9 artı 1 bölü 9 eşittir 3 bölü 9. Şimdi kontrol edelim. Düzeltiyorum 2 bölü 3 çarpı 2 bölü 3 eşittir 4 bölü 9 artı 1 bölü 9 eşittir 5 bölü 9. Ve 4 bölü 9 eksi 2 bölü 9'da eşittir 2 bölü 9. Şimdi de şu sonuncuyu bulalım. Neredeyse bitti. Umarım bunun diğer yöntemden daha kolay olduğunu farketmişsinizdir. Sadece A çarpı A'nın devriğini buluyoruz. Yani 2 bölü 3 çarpı 1 bölü 3 eşittir 2 bölü 9 eksi 4 bölü 9 bu da eşittir eksi 2 bölü 9. Ve 4 bölü 9 eksi 2 bölü 9 eşittir 2 bölü 9. Sonra da 4 bölü 9 artı 4 bölü 9 eşittir 8 bölü 9. Bu şekilde R 3'teki herhangi bir vektörün V altuzayındaki izdüşümünü veren dönüşüm matrisini bulmuş olduk. Bu yöntem önceki öğrendiğimiz yöntemlerden çok daha kolay görünüyor.