Matris Çarpımlarının Birleşme Özelliği

Y'den Z'ye bir S lineer transformasyonumuz varsa ve T de X'ten Y'ye bir lineer transformasyon ise, X'ten Z'ye bir S T transformasyonu oluşturabilirim. Bunu birkaç video önce görmüştük. Lineer transformasyon veya lineer transformasyon bileşkesi tanımına göre, S'nin T ile bileşkesi, tanım kümesindeki bir x vektörü için, S T x'e eşittir. Tanımımız böyleydi. Eğer S x, bir A matrisi ile x'in çarpımı olarak ifade ediliyorsa ve T x bir B matrisi çarpı x olarak ifade ediliyorsa, o zaman bu transformasyon matrisi A B'dir. İki matrisin çarpımı da bir başka matristir. A B çarpımı, çarpı x. Bileşkedeki ilk lineer transformasyonun matrisi, yani A, çarpı ikinci matris. Şimdiye kadar tekrar yaptık.Şimdi üç lineer transformasyon alalım. H lineer transformasyonunu x vektörünü uygulamak, x vektörünü A matrisiyle çarpmakla aynı şeydir. Diyelim ki, bir G lineer transformasyonumuz var. Bunu x vektörüne uygulamak, B matrisiyle çarpmakla aynı şeydir. Bir de F lineer transformasyonu olduğunu düşünelim. Bu transformasyonu x vektörüne uygulamak vektörü C matrisiyle çarpmakla aynı şeydir. Şimdi H G bileşkesini alınca ve bunun da F ile bileşkesini alınca, aynı zamanda bunu bir x vektörüne uygulayınca ne olacağını merak ediyoruz. Bakalım ne olacak. Bunun da şunun tanım kümesinde olması gerekir. Tanım kümesini ve görüntü kümesini çizmedim, ama anladığınızı düşünüyorum. Şimdi bunu biraz inceleyelim. Bileşke tanımını uygulayalım. Bunun S, şunun da T olduğunu düşünelim. O zaman bu neye eşit? Örüntü eşlemesi yaparsak, bu S transformasyonunun F transformasyonuna uygulanması olacaktır. S eşittir H G. Yani S, H'nin G ile bileşkesidir. Ve bunu F x'e uyguluyorum. F eşittir T. Bunu F x'e uyguluyorum, hepsi bu. Peki, bu neye eşit? Şimdi bunun x olduğunu varsayalım. Örüntü eşlemesine göre, bu T, bu da S. Burada eşleme yaparsak, bu neye eşit? Bileşke tanımına göre, bu eşittir S yani H, H T T de G, G x. Ama x yerine burada F x vektörü var.Yani G F x. Bu, buna eşit. F'nin, H'nin G ile bileşkesi, bütün bunları x'e uyguladığımızda, H G F x'e eşit. Peki, bu neye eşit? H transformasyonunun, bu terim neydi? Bu nedir? G ve F'nin bileşkesinin x'e uygulanmasıdır. S yerine G, F yerine de T yazarsanız, şu çıkar. Bu, G F bileşkesinin x'e uygulanmış halidir. Sadece bu. Peki, buradaki neye eşit? Bileşkenin tanımına dönelim. Yaptıklarımızı çok açık bir şekilde belirtmek, anlatmak istiyorum. Şimdi bunun T, şunun da S olduğunu düşünürseniz, bu, S'nin T ile bileşkesinin x'e uygulanmasıdır. Şöyle yazayım.Bu da eşittir, H'nin , G'nin F ile bileşkesi, ve bunun tamamının x'e uygulanması. Peki, bunların hepsini neden yazdım? İlk olarak, bileşkenin birleşme özelliğini size göstermek istedim. Buraya kadar ve buradan geriye gittim. Sonuçta, parantezi nereye koyduğunuz fark etmez. H ve G'nin F ile bileşkesi eşittir H'nin G ve F ile bileşkesi. Bunlar birbirine eşittir ve bu ikisini tekrardan yazabilirsiniz.Parantezler gereksiz. Bunu H, G ve F'nin bileşkesinin x'e uygulanması olarak yazabilirsiniz. Bu lineer transformasyonların matris çarpımı olarak yazılabileceğini daha once söylemiştim. Peki niye böyle söyledik ? S ile T'nin bileşkesinin matris versiyonu, S'nin transformasyon matrisiyle T'nin transformasyon matrisinin çarpımıdır. Peki, bunlar neye eşit? Buradaki ifadenin matris versiyonunu yazayım. H'nin G ile bileşkesinin F ile bileşkesinin matris versiyonu, bu matrislerin çarpımıdır. Yani bu bileşkenin matrisi A çarpı B olacak. H ve G'nin matrisi A ve B. A B olacak. Sonra da bu matrisi alırız. Bunun matris gösterimi, A B idi, öyle değil mi? Bunun matrisi ise, C. Bunun tamamının matris gösterimi ise, A B çarpımının C ile çarpımı. A B ve sonra C. Buna bakarsanız bunun tamamı, çarpı x vektörü. x vektörüde burada. Şimdi de buna bakalım. H'nin G F ile bileşkesine bakarsak ve bunu bir x vektörüne uygularsak, bu, neye eşit olur? Bu bileşkenin matris versiyonu, B C çarpımı olacak. Bunu x'e uygulayacağız. Yani B C çarpımını alacağız. Bu çarpımı da bunun matris gösterimiyle, yani A'yla çarpacağım. Bunu daha önceden göstermiştik. Üç matrisle göstermemiştik, ama bu şekilde genişletebiliriz. Kavramı genişletebileceğimizi göstermiştim, tanımı uygulamaya devam edersiniz hepsi bu. Bu özelliği uygulamaya devam edersiniz, ve doğal olarak kapsamı genişler. Çünkü her seferinde iki şeyin bileşkesini alıyoruz. Her ne kadar üç şeyin bileşkesini alıyor gibi görünsek de, önce şu iki şeyin bileşkesini alıyoruz. Sonra matris gösterimini buluyoruz.Sonra da bunun diğer şeyle bileşkesini alıyoruz. Yani, bileşkenin tamamının matris gösterimi, bu matris çarpı şu matris olacak. Bunu da buraya yazdım. Burada da, önce şu iki lineer transformasyonun bileşkesini aldım ve matris gösterimi de şurada. Sonra da bunun şununla bileşkesini alıyoruz. Yani bunun tamamının matris gösterimi bunun matrisi çarpı şunun matrisi. Yani A çarpı B C. Tabii ki bunun tamamını x vektörüne uygularız. Bu videoda bu iki şeyin denk olduğunu size gösterdim. Parantezler tamamen gereksiz. Ve bunu size şurada gösterdim. İkisi de H G F x'e dönüşüyor. Yani bu ikisi denk. Yani, şu iki şeyin denk olduğunu söyleyebiliriz. Veya A B'nin C ile çarpımının A ile B C'nin çarpımına eşit olduğunu söyleyebiliriz. Veya, parantezlerin fark etmediğini, bunların ikisinin de A B C'ye eşit olduğunu söyleriz. Bu ifadeye göre matris çarpımının birleşme özelliği var. Parantezi nereye koyduğumuz fark etmez. Bazen birleşme kelimesi biraz kafamı karıştırsa da, sadece parantezin nereye konulduğunun fark etmediği anlamına geliyor. Matris çarpımının değişme özelliği yok. Bir önceki videoda bunu görmüştük. A B eşittir B A diyemeyiz. Sanıyorum bir önceki videoda. A B'nin tanımlı, ama B A'nın tanımsız olduğu durumu da görmüştük. Bazen de B A tanımlı, ama A B tanımsız olur.Yani değişme özelliği yok. Ama birleşme özelliği var. Bir sonraki videoda matris çarpımının dağılma özelliği olup olmadığına bakacağız.