Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Determinant ve Paralelkenarın Alanı

2x2 matrisin determinantının, matrisin sütun vektörleri tarafından tanımlanan paralelkenarın alanına eşit olduğunu biliyor muydunuz? Sal Khan tarafından hazırlanmıştır. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

bu elimde ikiye iki bir matris var terimlerinin ağabey ece ve dedeye eşit olduğunu düşünelim matris gördüğünüz gibi iki tane sütün rektöründen oluşur bunu daha önce görmüştük bu sütuna ve bir buna da ve iki adını verelim bunları buraya da yazayım ve bir abc yv2 dbv dedeye eşit bunların ikisi dere karenin elemanı ve gözümüzün önüne getirebilmek adına isterseniz çizebiliriz de önce eksenleri çizim düşecek sen bu da yatay ekseni miz olsun ve bir buna benzeyen bir vektör olabilirim dediğin ve bir yatay bileşeni nabe düşey koordinatı da c olacak isterseniz bunun bir konum vektörü olduğunu da düşünebilirsiniz ve ikide mesela buna benzeyen bebekler olsun evet aynı olmalarını istemiyorum ve ikide bu şekilde çizdim yatay koordinatı b 3'ü şey koordinatı da de ye eşit bu videoda bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarı inceleyeceğiz ne demek istediğimi biraz daha iyi açıklayabilmek adına bu ikisinin paralelkenar üzerinde iki nokta belirleyen ya da tanımlayan konum vektörler olduklarını düşünelim orjinden paralelkenar üzerindeki noktalardan bir diğeri olsun bu durumda paralelkenar üzerindeki son nokta acaba hangisi dur bir bakalım paralelkenarın kenarları birbirine paralel dediğimi şöyle çizdiğim bu çizime göre çizdiğim kenar ve bir bekle önüne paralel olacak ve diğer kenarı ise ve ikiye evet ve bir ve ve 2'nin oluşturduğu paralelkenar işte odur bu videoda ve bir bebeğe 2'nin oluşturduğu paralelkenarın alanını bulmaya çalışacağız iyi ama nasıl şimdi elimizde herhangi bir paralelkenar ki bunda bu biraz eğik bir paralelkenar ama buraya da bir tane paralelkenar biz çizelim bunun alanı taban çarpı yüksekliğe eşittir öyle değil mi tabanı küçükbey burada kullandığımız için büyük böyle gösterelim evet taban çarpı yükseklik bir paralelkenarın alanı bu şekilde hesaplanır peki şimdi buraya bakarsak bana buradaki taban ve yüksekliğine olduğunu evet bunu söyleyebilir misiniz hemen not ediyorum paralelkenarın alanı taban çarpı yükseklikte değil peki buradaki taban nedir taban ve bir vektörünün büyüklüğüdür buraya yazıyorum ve bir vektörünün büyüklük ya yükseklik buradan bir dikme inersek budur da bu dikmen'in uzunluğunda yükseklik olur öyle değil ve birine eşit olduğunu biliyoruz başka bir değişle tabanı bulmamız çok kolay ama yüksekliği nasıl bulacağız şöyle bir bakalım eğer bunun ne ne olduğunu bulabilirsek evet pisagor teoremini kullanabiliriz neden çünkü bu vektörün büyüklüğünü karesi artı aşın karesi ve 2'nin büyüklüğünün karesine eşittir şimdi bunun neye eşit olduğunu bulmayı deneyelim evet bunun hakkında ne düşünüyoruz şöyle anlatayım elimizde v1 in verdiği birle doğrusu olduğunu düşünelim bu v1 in katlarını aldığınızda elde edeceğiniz tüm konuların ya da noktaların l doğrusu üzerinde olduğu yan ile doğrusunu oluşturan nokta kümesini oluşturması anlamına gelir evet v1 in tüm katlarını alırsak l doğrusu elde edeceğiz anlaştık mı aynen böyle bu doğru eğer bu şekilde tanımlanmış sa görebiliyor musunuz emin değilim ama doğrunun ve bir doğrultusunda uzandığında hemen söylemek isterim şimdi şimdi yeşil de oraya geri dönerim yeşil doğru neyinle üzerindeki yansımasıdır var burada bir dikme olduğunu düşünün buradan da ışık yansıtır sak tam olarak gözünüzün önüne geliyor mu bilmiyorum ama bunu yapınca ve 2'nin l üzerine yansıyan gölgesini elenir söylediğim evet bu yeşil doğru ve iki vektörün l doğrusu üzerine yansımasına eşittir aşı bulmak istersek pisagor teoremini yazıyorum aşı bir vektör olarak değil de doğrudan bir uzunluk olarak alacağım aşın karesi yani bu dikmen'in uzunluğu artı bu vektörün büyüklüğünü karesi ki bunun az önce ve 2'nin l üzerindeki yansıması olduğunu söyledik farklı bir renkle yazıyım ve için ile üzerindeki yansımasının karesi ve 2'nin büyüklüğün karesine eşittir bunun pisagor teoreminin den başka bir şey olmadığını görüyorsunuz değil mi bunun karesiyle bunun karesinin toplamı hipo bu karesine eşit olacak eşittir beyin büyüklüğü kalesi evet bu sadece pisagor teoremi yani öyle farklı ve havalı bir şey yaptığını düşünmeye bunu daha basit bir şekilde ifade edebiliriz buna bakalım aşın neye eşit olduk istiyoruz öyle değil mi aslına bakarsanız şimdilik aşın kalesi'nin neye eşit olduğunu çünkü bunun işlerimizi bir miktar kolaylaştırabilecek mi düşünüyorum aşın karesi eşittir ve 2'nin büyüklüğün ya da uzunluğunun karesi evet eksi yansımanın karesi eksi bunu da morla yazayım ve 2'nin l üzerindeki yansımasının büyüklüğünün karısı evet buna eşit ve bu uyguladığımızda pisagor teoreminin den başka bir şey değil şimdi bakalım bunu sadece eleştirip daha anlaşılır bir hale getirip getiremeyeceğini zambak bir vektörün büyüklüğünü karesi yani bu ve 2'nin kendisiyle nokta çarpımına eşittir öyle değil bir vektörün kendi bu çarpımını alırsınız o gördüm bulmuş olursunuz anlaştık mı bunu bundan önceki videolardan da hatırlıyor olmalısınız peki ya bu buraya yazacağım ve 2'nin l üzerindeki yansımasının karesi v2 ile gelen vektör yani ve birim nokta çarpımı bölümü v1 in kendisi ile nokta çarpımına eşittir bunu da bundan önce yansımaları öğrendiğimiz videolarda görmüştük buradan bir sayı elde edeceğiz ve bunu gelen vektörün kendisiyle yani ve bir ile çarpacağız yansımanın tanımı budur şimdi buraya geri dönerim bundan yansımanın büyüklüğünün karesini çıkarmamız lazım belki yansımanın büyüklüğünün karesini anlama gelir aynı mantıkla bunun kendisiyle nokta çarpımı hemen yazıyorum ama adım adım ilerleyeceğim böylelikle kafanızda karıştırma mış olurum meksi önce yansımayı yazıyor da karmaşık olmaya başladı ama bazı sadeleştirmeler yapabileceğimiz oluyorum v2 ile ve biri nokta çarpımı bölümü v1 in kendisi ile nokta çarpımının renk değiştirip buradan evet çarpıcı ve bir vecteur buradan bir sayı gelecek nokta çarpımı aldığımızda sonucun sayı olacağını hatırlıyorsunuz değil mi evet çarpı ve bir rektörü bunun büyüklüğün karesini alıyoruz evet toplama şık karesine eşit ve bu sadece pisagor teoremi bunun ve bunun karesi hipotenüsün karesine eşitse aşkın kareside bunun bunun karesinin farkına eşittir bu ifade göze karmaşık gelse de bunun ve 2'nin l üzerindeki yansıması olduğunda bir kere daha tekrarlamak istiyorum şimdi bakalım daha basit bir hale getirebilecek miyiz doğrusal cebir uygulamamız gerekecek kendisiyle nokta çarpımına eşit öyle değilim herhangi bir vektörün büyüklüğünü karesinin rektörün kendisiyle ne olduğunu eşit olduğunu biliyoruz o halde bunu da kendisiyle nokta çarpımı olarak yazabiliriz hepsini baştan yazalım aşın karesi eşittir ve içinin v2 ile nokta çarpımı eksi bunun kendisiyle nokta çarpımı yani eksi ve 2'nin ve bir ile nokta çarpımı bölümü ve birim kendisi ile nokta çarpımı çarpıcı ve birine ve 2'nin w1l nokta çarpımı bölümü v1 in kendisi ile nokta çarpımı çarptı ve bir ile nokta çarpımı yeşil olan kısımda bir sayı elde edeceğimizi bir kere daha söyleyeyim peki bu neye eşittir şu sadeleştirmeye deneyelim bunlar skaler değerler ve nokta çarpımı xcolor değerler söz konusu olduğunda birleşme özelliği olduğunu biliyoruz o halde bunların sırasını değiştirerek skaler derin kendisi ile çarpımı baş alabilir yazıyor ve ikide ve bir o da çarpımı payı kendisiyle çarpıyorum evet ve 2'nin w1l nokta çarpıp bölümü v1 in kendisiyle nokta çarpımı ile ve bir kendisiyle nokta çarpımı bu iki terimin birbiriyle çarpımı aldı başka bir de işte terimlerin sırasını değiştirdim ayrıca siz kalemlerin bu şekilde dışarı alınabildiğini de biliyoruz çarpı bu ikisinin birbiriyle nokta çarpımı yani ve bir ile ve birim nokta çarpımı bunun sonucunda bunu elde ediyoruz ve artık bunun da bir sayı olacağını biliyoruz burada iki tane vektör vardı ama bunların nokta çarpımlarını aldığımız için sonuç olarak bir sayı elde edeceğiz ve bu sayıda bunun aynısı olduğuna göre biraz sade değiştirebiliriz bununla bu birbirini götürecek ve geriye yüksekliğinin karesine eşittir bunun kendisi ile çarpımı ya da bir saniye önce bunu yazmam lazım ve 2'nin v2 ile nokta çarpı eksi bununla bunun çarpımı ya 12'nin w1l nokta çarpımının karesi bölümü ve birim kendisi ile nokta çarpımı demek yüksekliğin karesi buna eşit ve yüksekliğine yaşıt olduğunu bulmak için de bunun karekökünü almamız yeterli ama işin matematiğini basit tutmak için alanın taban çarpı yüksekliği eşit olduğunu biliyoruz isterseniz alanın karesinin ne eşit olduğunu bulalım ki burada bulduğumuz yüksekliğin karesinin karekökünü almak zorunda kalmayalım alan taban çarpı yükseklikte bu durumda alanın kareside tabanın karesi çarpı yüksekliğinin karesine eşit olur peki tabanın karesi nedir şöyle yapayım tabanın karesi yazıyorum tabanın ve bir vektörün büyüklüğünü olduğunu biliyoruz peki ya karesi ve bir vektörün büyüklüğünü karesi yani v1 in kendisi ile nokta çarpımı yüksekliğinin karesine ise burada bulmuştuk işte burada o hadi gel bu alanın karesinin ney eşit olduğunu yazalım alanın karesi buradan devam edeyim ki daha çok yerimiz olsun evet alanın karısı tabanın karesi yani ve birim kendisiyle nokta çarpımı çarpı yüksekliğinin karesine çarpıp yanlış rengi almışım çarptı bunu yazmam lazım v2 nin kendisi ile nokta çarpı eksi ve 2'nin w1l nokta çarpın karesi bölü ve bir kendisi ile nokta çarpan şimdi bunu daha basit bir şekilde ifade edebilir miyiz bunların hepsi color değerler öyle değil o halde bu parantezi açarsam bununla bunun çarpımından ve birim kendisiyle nokta çarpımı farklı renkler kullanacağım çarpı v2 nin kendisi ile nokta çarpımı ve bunu bununla çarpınca da pay ve payda da ki v1 in kendisiyle nokta çarpımları birbirini götürecek ve geriye exiw 12'nin w1l nokta çarpımının karesi kalacak isterseniz şimdi de bunların ne ifade ettikleri hakkında biraz düşünür ve bira cv2 ise bd olarak tanımlanmıştır bunları buradan o dediğin ve bir ağce vektörüne ve 2db ve dev rektörüne eşittir bu durumda v1 in kendisiyle nokta çarpımından elde ederiz dersiniz anına ile nokta çarpımı açardı a yani anın karesine eşittir tabi bir dc nin karesi var buna eşit peki ya ve 2'nin v2l nokta çarpımı çarpı ve 2'nin ve ikide nokta çarpımı evet bunun yerine dedee nin karesi artı denim karesini yazabilirim değil mi meksi ve 2'nin w1l nokta çarpımının kareside çarp ağartıcı çarpı de yazıyorum ama a çarpı b artı c çarpı den inkar evet şimdi bakalım buradan ne elde edeceğiz umarım basit bir şeylerle karşılaşırız renk değiştirdim alanın karesi yani bunun bunun açardım hemen yazıyorum anın karesi çarpıp beğenin karesi artı akar çarpı de kare artı c kara çarpıp bekar artı c k çarpı de kare eksi bunun karesi yani akaret çarpı b kare artı bunların çarpımı iki katı yani iki çarpı ağaçardı de çarpı c c d ve b artı c kare çarpı de kare bu parantezin açılımı anlaştık mı sonra bunları bir de -1 ile çarpıp bu parantezi açalım hepsini başlangıcı akaret çarpı b kare artı akar çarptı de kare artı jack araç artı b kare artık jack acıktı de kare eksi akare çarpıp ve kare eksi o a b c d eksi cekar et çarpı ne kart bu parantezinde açınca hemen bazı sadeleştirmeler i görüyoruz değil mi bu arada bu alanın karesine eşittir burada a karede kare buradaysa eksi akare de kar var eksi c karede kare artıcı karede kare bunlar da birbirini götürecek bu durumda paralelkenarın alanını karesi a karede kare -2 a b c d artı c kharabak arıyı eşit olacak oldukça garip görünen bir ifade aslında değil mi bakın şimdi şöyle düşünelim ağa çarpı de yerine ilk sc çarpı b yerini de ye diyelim bunu o zaman x kare eksi iki x artı y kare olarak da yazabiliriz öyle değil mi bunun da hepimize bir yerlerden tanıdık geliyor olması lazım evet doğru ilk x 2'ye nin karesi günü bunlarıda yerlerine koyalım bu yer değiştirmelerde biraz daha anlaşılır bir ifade edildi ama şimdi içmeyenin yerine bunları tekrar koyabiliriz yazıyorum alanın karesine eşittir ağa çarpı b eksi cebe ya da de çarpı cenin karısı bunun tam olarak ne olduğunu anlamadıysanız xd yeğenin yerine bunları geri koydu bir kere daha tekrar edip bunun bu birbirine eşit anlaştık mı ve eğer isterseniz bu paranteze açmayı deneyip sonuç olarak bunu elde edemeyeceğimizi de kontrol edebilirsiniz belki bu ne eşit bu de terminal söylediğim evet orijinal matrisin determinantı bakın işte buradan bunu ama adresi deyip ayı bir de alan için kullanmışım kafanız karışmasın diye buraya açık açık bunun alanın karesi olduğunu yazıyor evet alan kare eşittir abi de eksi b c nin karesi bunların hepsi alanı bu sandığıma yani ama adresi değil anlaştık mı her neyse ne diyordum bu matrisin determinantı dır evet bu sorunun başında size verdiğim a matrisinin de terme inandı öyle değil ama adresini a b c d olarak tanımlamıştı ve bunun de teminatının da ağa çarpı de eksi be çarpıcı olduğunu biliyoruz ve çok ama çok önemli bir sonuç elde etmek üzereyiz paralelkenarın alanının karesi paralelkenarı oluşturan sütün vektörleri ne sahip matrisinde terminan tınının karesine eşittir iki tarafın karekökünü alırsak alanın anın de termin atına eşit olduğunuz o kadar işlemden ve uğraşı dan sonra bu kadar net bir sonuç elde etmiş olmak gerçekten mutluluk verici şimdi de çizime geri döneceğim şu an taradığım paralelkenarın alanını bulmak için bir matrisin iki sütun vektörü ile tanımlanmış paralelkenar bu bulmak için iyiyim bu maddesinde termin altını bulmamız gerekir evet bu alan yeter mi inandın mutlak değerine eşittir bu mutlak değeri kullanmamız gerekiyor çünkü bunun sonucu negatif olabilir yani mesela bu satırların yerini değiştirirsek bu negatif olur ama alan negatif olaması söylediğim hanım değişmez yani ve 1lb ilkinin yerini değiştirirsek yine aynı para kenara geliriz ama detay inandım negatifini elde ediyor olabiliriz bunu yine de harika bir sonuç olduğunu düşünüyorum de terminal ilk gördüğünüzde ikiye iki bir matrisin tersini aldığımızda paylarda bunu elde etmiş ve deterjan olarak adlandırılmış tık ama buradaki farklı biliyorum evet matrisin sütün vektörleri tarafından tanımlanmış paralel kenarın alanı