Satır Çarpımlarında Determinant

Bir A matrisimiz var, diyelim, n'ye n matrisi. Buna daha önce gördünüz, a 1 1, a 1 2, a 1 n'ye kadar. Bir sonraki satır ise, a 2 1'den a 2 n'ye kadar gidiyor. Şurada bir satır alalım ve i satırı diyelim, a i 1'den a i n'ye kadar. Bir satır daha alalım, ona da j satırı diyelim. a j 1'den a j n'ye kadar. Ve matris n'inci satıra kadar gidiyor, a n 1, a n 2, a n n'ye kadar. Bu bir n'ye n matrisi, yalnızca i ve j satırlarını ayrı yazdım. İşleri basit tutmak için kısa bir tanım vereceğim. r i diye bir terim tanımlayalım, i satırı diyoruz, eşittir a i 1, a i 2, a i n'ye kadar. İsterseniz bunu bir satır vektörü olarak da yazabilirsiniz. Satır vektörleri üzerinde henüz işlem tanımlamadık, ama anlayacağınızı sanıyorum. Şimdi bu arkadaş yerine r 1, şu arkadaş yerine r 2 yazabilirim. Aşağıya kadar böyle yaparım. Böyle yapalım ve bu notasyonu önümüzdeki birkaç videoda kullanalım, çünkü sanıyorum, anlamanızı kolaylaştıracak. Şimdi bu A matrisini r i olarak yazabilirim. Aslında bu vektöre benziyor, satır vektörü. Şöyle vektör olarak yazayım. Burada biraz fazla rahat davranıyorum. Aslında tüm vektörleri sütun vektörü olarak tanımlamıştık, ama neyse anlıyorsunuz. O zaman buna r 1 diyelim, bir sonraki satır r 2, ta aşağıya kadar. Aşağı doğru giderken, r i'ye rastlarsınız. Bu satır, r i. Sonra da r j'yi görürsünüz ve en sonunda n'inci satıra ulaşırsınız. Bu arkadaşların her birinin n adet terimi olacak, çünkü n adet sütununuz var. Bu, bu n'ye n matrisini yazmanın farklı bir yolu. Şimdi yeni bir matris yaratıyorum, i ve j'nin değiş tokuş matrisi. Şu iki satırı, i ve j'yi değiş tokuş edeceğim.Yerlerini değiştireceğim. Peki yeni matris neye benzeyecek?Diğer terimler aynı kalacak. Birinci satır - eğer i veya j satırlarından biri değilse ki olabilir- İkinci satır. Şimdi burada i satırı yerine j satırı ve şurada j satırı yerine i satırı olacak. Ve r n'ye kadar aşağı ineceğiz. Peki ne yapmış olduk? Şu iki arkadaşı değiş tokuş ettik.Yerlerini değiştirdik. Değiş tokuş matrisi bu demek. Sanıyorum bir önceki videoda veya birkaç video önce , n'ye n matrisinin iki satırını değiş tokuş ettiğinizde ortaya çıkan matrisin determinantının orijinal determinantın eksilisi olduğunu öğrenmiştik. Yani S matrisinin determinantını A'nın determinantının eksilisi olarak buluyoruz. Peki şimdi size ilginç bir soru sorayım. Peki, bu iki satır aynı olursa, ne olur? r i, r j'ye eşit olursa? Bu satır, şu satıra eşit olursa ne olacak? Bu demektir ki, bu satırlardaki her sütunun elemanları birbirine eşit olacaklar. İki satırın birbirlerine eşit olması bu demek. Bu iki satır birbirine eşit ise, değiş tokuşa rağmen bu matris şu matrise eşit olur. Birbirinin aynı olan iki şeyi değiş tokuş ederseniz, hiç bir değişiklik yapmış olmazsınız değil mi? Yani eğer i satırı j satırına eşitse, S matrisi, yani değiş tokuş matrisi, A matrisine eşit olur. Bu iki matris, birbirinin eşidir. Aynı olan iki satırı değiş tokuş etmiş oldunuz.Yerlerini değiştirdiniz. Buna göre, değiş tokuş matrisinin determinantı A'nın determinantına eşittir. Ama ne demiştik? Değiş tokuş matrisinin determinantı, A'nın determinantının eksilisi olacak, demiştik. Yani, bu, A'nın determinantının eksilisine de eşit olmak zorunda. Buna göre nasıl bir sonuca varabiliriz? A'nın iki satırı birbirine eşit ise, bu iki satırı değiş tokuş ettiğinizde, determinantın eksilisini almanız lazım, A'nın iki satırı birbirine eşit ise, ama matrisiniz de değişmiş olmuyor. Yani A'nın iki satırı eşit ise - i satırı, j satırına eşit ise- A'nın determinantı, A'nın determinantının eksilisine eşit olmak zorunda. Bunu biliyoruz, çünkü A, değiş tokuş matrisiyle aynı matris, , ama aynı zamanda değiş tokuş matrisinin determinantı A'nın determinantının eksilisine eşit. Yani bu ikisi birbirine eşit olmalı. Peki..şimdi, hangi sayı aynı zamanda kendisinin eksilisine eşittir? Soru bu Size x eşittir eksi x desem, x kaç olmak zorundadır? x'in alabileceği tek bir değer var. x 0'a eşit olmak zorunda. Yani buradan çıkarımımız şöyle. İki satırı - veya 3, 4 satırı- aynı olan matrisin determinantı 0'dır. Bu sürpriz olmamıştır herhalde. Tekrarlanan satırlar hakkında daha önce neler öğrendiğimizi hatırlayalım. Bir matrisin tersinin olabilmesi için, satır indirgenmiş basamak matrisinin birim matris olması gerekir.Bunu öğrenmiştik. Birbirinin aynı iki satır varsa, bu iki arkadaşın aynı olduğunu varsayalım. Bir satır işlemiyle bu arkadaşın yerine bu arkadaş eksi şu arkadaşı yazarım ve içinde sadece 0 olan bir satır elde ederim. İçinde sırf 0 olan bir satırın bulunduğu bir matris birim matrise çevrilemez. Böylece iki satırı aynı olan bir matrisin satır indirgenmiş basamak matrisinin matrisinin birim matris olamayacağını biliyoruz. Veya iki satırı aynı olan bir matrisin tersi yoktur da diyebiliriz. Ayrıca, bir matrisin tersi yoksa ancak ve ancak determinantının 0'a eşit olduğunu da öğrenmiştik. Aynı sonucu iki değişik yoldan bulduk. Birinci olarak, öğrendiğimiz bilgilerin bazılarını kullandık. Satırları değiş tokuş ettiğimizde, determinantın eksilisini almalıyız. ama değiş tokuş ettiğimiz satırlar birbirinin aynıysa, matris değişmez. Yani matrisin determinantı aynı kalmalı. Buna göre, aynı satır varsa, determinant 0'dır Aslında bunu kullanmasak da olurdu, beş altı video öncesine, matrisin tersini alabilme koşullarına da bakabilirdik. Ama yinede ben size bunu göstermek istedim. İki satırın veya iki sütunun, sütun durumu üzerinde biraz düşünün, aynı olması durumunda veya bir satır başka satırların lineer birleşimiyse, determinant 0 olacaktır.