Üst Üçgensel Determinant

Köşegenin altındaki tüm elemanları 0 olan bir matrisim var, diyelim. Hemen bir 2'ye 2 matrisiyle başlayalım. Değerler a, b 0, d olsun. c yerine 0 koydum köşegenin altındaki eleman 0. Peki, bunun determinantı ne olacak? Buna A matrisi diyelim. A'nin determinantı eşittir a, d eksi b çarpı 0. Burası 0, yani yazmanıza gerek yok. Demek ki determinant eşittir a çarpı d. Bir matrisimiz daha olsun. Adını da B koyalım. 3'e 3 matrisi olsun. Elemanları da a, b, c... Burada bir 0 var. Sonra d e ve bir 0 daha, bir 0 daha ve f. Yine köşegenin altındaki elemanlar 0. Peki bu arkadaşın determinantı nedir? Birkaç video önce, determinant bulurken içinde en fazla 0 bulunan satırı seçmeyi konuşmuştuk. Bu, işlemleri basitleştirir. Bu sütun boyunca determinant bulalım. B'nin determinantı eşittir a çarpı a'nın satır ve sütununu kapattığım zaman çıkan altmatrisin determinantı. a çarpı d, e 0 f'nin determinantı eksi 0 çarpı onun altmatrisi. Bunu sadeleştirebiliriz veya çarpı onun altmatrisinin determinantı. b, c, 0, f. Ve artı 0 çarpı bu satır ve bu sütunu kapatırsak 0 çarpı b, c, d, e. Bu ikisi 0 olacak. Bu 2'ye 2 matrislerinin determinantlarını bulmama gerek yok. Bu terimlerin ikisi de 0 olacak, çünkü sıfırla çarptık. Sonuçta a çarpı bunun determinantı kalır. Bunun determinantı da kolayca bulunur. a çarpı bunun determinantı yani d f eksi 0 çarpı e. Yani sadece d f olacak. B'nin determinantı eşittir a d f. Dikkat ederseniz, A'nın determinantı sadece a d idi. Bir örüntü gözlemlemiş olabilirsiniz. Bir şablon, bir benzerlik gözlemlemiş olabilirsiniz. İki durumda da köşegenin altında 0'lar vardı, öyle değil mi? Köşegen bu. Matrisin determinantı köşegen boyunca elemanların çarpımı olacak. Bu, genel bir akım mı, genel bir trend mi diye sorarsanız, cevabım evet. Genel olarak da gösterebiliriz. Diyelim ki, bir A matrisimiz var ve elemanları da a 1 1, a 2 2. Burada 0 olacak. a n n'ye kadar gideceğiz. Bu satırda son sütun dışında her eleman 0 olacak. Bunlar hep 0. Yani buradaki gibi, köşegenin altındaki tüm elemanlar 0 ama burada n'ye n matrisi için göstermekteyiz. Köşegenin üstü 0 olmak zorunda değil. a 1 2, a 1 n'ye kadar. Bu a 2 n. Aşağıya doğru devam edelim. Köşegen veya köşegenin üstündeki elemanlar 0'a eşit olmak zorunda değil. A'nın determinantını bulmak için, buradakiyle aynı işlemi yaparız. İlk satır boyunca hesaplayabiliriz. A matrisinin determinantı eşittir a 1 1 çarpı altmatrisin determinantı. Bu da a 2 2 olacak. a 2 n'ye kadar devam eder. Sonra a 3 3 a n n'ye kadar devam eder. Ve buradakilerin hepsi 0. Yine köşegen altındaki tüm elemanların 0 olduğu bir durum karşımıza çıktı. Peki, bu arkadaşın determinantı nedir? Satırın geri kalanını merak edebilirsiniz. Satırın geri kalanında sıfırlar var, burada olduğu gibi. 0 çarpı altmatris determinantı sonra bu eksi ve artı olur. Şuradaki terime dikkat etmemiz gerekiyor. Aynı fikri burada da kullanabiliriz. Bu determinantı bulmak için bu satır boyunca gideriz. Bunun determinantı eşittir a 1 1'i unutmayalım a 2 2 çarpı altmatrisin determinantı. Bu satır ve sütunu kapatınca, a 3 3'ten a n n'ye kadar elemanlar kalıyor. Buradaki elemanlar sıfır değil yani a 3 n. Köşegenin altı yine tamamen 0. Ve bunun adına üst üçgensel matris diyoruz. Bunu yazayım. Köşegenin altındaki elemanların 0 olduğu matris sınıfına üst üçgensel matrisler diyoruz. Şimdi süreci tekrar tekrar uygularsak veya örüntüyü izlersek a 3 3 çarpı altmatrisinin determinantını bulmamız gerekir. Her seferinde altmatris küçülüyor. En sonunda a 1 1 çarpı a 2 2 a n eksi 2 çarpı 2'ye 2 matrisine ulaşacağız. Bu da a n eksi 1 n eksi 1, a n eksi 1 n olacak. Şurada 0 olacak. Orijinal matrisin sağ alt köşesindeki elemanlar. Peki, bunun determinantı nedir? Bu iki ifadenin çarpımıdır. Bu arkadaş çarpı şu arkadaş eksi şu arkadaş çarpı burada ki arkadaş ama bu 0. Yani A'nın determinantı eşittir a 1 1 çarpı a 2 2 a n n'ye kadar. Veya köşegen elemanlarının çarpımı. Bu, çok önemli bir özellik, çünkü büyük matrislerin determinantlarının bulunmasını çok kolaylaştırıyor. 100'e 100 matrisi olduğunu düşünün. Artık sadece köşegen elemanlarını çarpmak yeterli. Şimdi anladığınızdan emin olmak için, bir örnek yapalım. Diyelim ki, bu matrisin determinantını bulmak istiyoruz 7, 3 4, 2. Burada 0'lar var. Eksi 2, 1, 3 0. Düzeltiyorum, burada 0 istemiyoruz. Burada 0'a ihtiyacımız yok. 6, 7 burada 0 olabilir ama 0 olması şart değil. Bu bir üst üçgensel matris. Determinantını bulmak isterseniz bu elemanları çarparsınız. Determinant eşittir 7 çarpı eksi 2 çarpı 1 çarpı 3. Yani 7 çarpı eksi 6, bu da eşittir eksi 42. Bu kadar kolay.