If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

2x2 Ters Matris İçin Formül Bulma

2x2 matrisi için formül bulma. Determinant tanımı. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

bu ekranda ikiye iki bir matris görmek üzeresiniz Evet a matrisi a b c ve d ye eşit ol Çok genel ifadeler kullanacağım Evet bu aklınıza gelebilecek ikiye iki matrisler den herhangi bir Bu videoda matrisin tersini bulma yöntemi mizi kullanarak ikiye iki bir matrisin tersini bulmak için bir formül elde etmeye çalışacağım Evet bulmak istediğim şey anın tersi ve bunu da bu matrisi uygun bir formülle yapmak istiyorum Peki bunu nasıl yapabilirim bunun için bir yöntemimiz var öyle değilim genişletilmiş bir matris kuruyor hadi hemen yapalım a b c d matrisini ve karedeki biri matrisle yani 1001 ile genişleteceğiz şimdi yapmamız gereken sol tarafı indirgenmiş eşelon formuna getirmek için bir dizi satır işlemi uygulamak Sağ taraf ise şöyle söyle ve sol taraftaki indirgenmiş eş olan formu birim matris e dönüştürür sake sağ tarafta da bunun tersini elde ederiz isterseniz şimdi bu söylediğimi buradaki genel matrise uygulayalım Onun için yapmak istediğim şeylerden ilki bunun yerinde 10 elde etmek Bunu ve bunu sıfır yaparsak Bu ikisini de bir yapmak kolay bunu sıfır yapmanın en iyi yolu ufak bir dönüşümden geçiyor bu dönüşümü sütunlara uygularsak Bunlar sütunların elemanları bu birinci sütun Bu ikincisi bu üçüncüsü ve bu da dördüncüsü bu sütunlara uygulayacağım dönüşüm ki bunun bir satır işlem olduğunu da biliyoruz bunu sıfır yapmak için birinci satırı olduğu gibi tutacağım Evet Cebir yazıyorum ikinci satırın yerine DC çarpı birinci satır yazacağım Neden bunu yaptığımı merak ediyorsanız Ağa çarpıcı eksi C çarp ağası Ben de ondan Evet bu satın işlemi uygulayacağız bu şekilde yapmamın bir diğer sebebi de nerede ne yaptığının hesabını tutabilmek çünkü işler birazdan Gerçekten de çok karışacak Hadi bunu yapalım Evet eğer bu işlemi bu matrise uygularsak ne olur birinci satır olduğu gibi kalacak Biraz daha karışık olduğu için belki de ikinci satırla başlamalıyım c yerine Ağa çarpıcı eksi C çarp Aa yazacağım burada Ace var ve buraya sıfır gelecek Sonra da de yerine a çarpı de eksi C çarpıcı bir Yani beş öyle yazayım Ağa çarpı da eksi be çarpıcı genişletilmiş matris işaretini de koyayım sonra bu A çarpı sıfır olacak çünkü bu C2 eksi C çarpıcı bir exagere yazdım ve son olarak da buradaki Ağa çarpı bir eksi C çarpı sıfır yani a olacak bir ne yazmak kolay olacak çünkü bu dönüşümde birinci satırı olduğu gibi bırakacağız Öyle değil mi mahbe 1 ve 0 ne yapıyor mu Tam olarak anlamanız için bir kere daha tekrar edin bu dönüşümü bu sütün vektörüne uyguluyoruz ve bu sütün vektörünü elde ediyoruz Aynı dönüşümü bu sütün vektör uyguladığımızda ise bunu işlemleri biraz olsun basitleştirmek adına sütün vektörlerinin ikinci elemanlarını aynı anda yaptım ve bunu nice anlaşıldığından emin olmak istiyorum bu şekilde devam edelim ve bunu indir gelmiş eşelon formuna getirmeye çalışalım sırada ikinci bir dönüşüm var Buna Yani birinci dönüşüme T1 adını verelim mi bir dönüşüm daha tanımlayalım bunun adıda T2 olsun Bu da farklı bir satır işlemi dizisi olacak yine C1 C2 sütün vektörü ile başladığımızı düşünelim Şimdi de bu satırı olduğu gibi tutup bunu sıfır yapmak istiyorum Hadi bakalım ikinci satır olduğu gibi kalacak dedi göre değil mi o halde C2 yerine 12 yazalım Ama bunu sıfır yapmak için bununla birinci satırı çarpıp bundan bu çarpı ikinci satırı çıkarabilirim hemen yazayım Ağa çarpı de eksibe çarpıcı çarpı 1. elma yani Cebir eksi be çarpı 2 eleman yani C2 Bunu yapmamın sebebi bunun yerinde 0 elde edebilmek şimdi bu işlemi buradaki maddesi uygulayalım bir satırla başlayalım birincinin yerine a de eksi b c çarpa gelecek yazıyorum ama de eksi b c çarpı a eksi be çarpıcı iki yani 00 edeceği için bu ikinci Terim sıfır olacak Onu yazmıyorum Peki ya bu yazalım a de eksi b c çarpı B eksi be çarpı ikinci sütün vektörün de ki C2 yani a de eksi bcc bunların birbirini götür ve böylelikle bunun yerinde 0 elde edeceğimizi fark etmiş olmalısınız bunu genişleteceğiz Umarım yerim yetecek bununla adet eksi b c i çarpacağız pembeyle yazayım a de eksi b c çarpı bir sonuç buna eşit olacağı için çarpı biri yazmayalım eksibe çarpıcı iki yani eksi C Bu da artı b c der bir çarpı adı eksi b c eksi be çarpı eksi gedende artı b c gelir bunlar da birbirini götürecek ve geriye a çarpı de kalacak Onun için 0 çarpı a çarpı eksi be çarpıcı yani sıfır eksi p çarpı abi yani eksi AB ikinci satırın olduğu gibi kalacağını söylemiştik zaten sıfıra de eksi b c eksi c&a işte böyle şu matrisi temize çekelim şuraya turuncuya da sarıyla yazayım Evet ve sade eksi b c çarpı A bu sıfır oldu bu da sıfır Burası da a de eksi bcc genişletilmiş kısımda da a de eksi AB eksi CV Ağalar şimdi sol tarafın indirgenmiş eşelon formuna gelmesi için bu ikisinin bir olmaları lazım O halde Şimdi de bunu elde etmemizi sağlayacak bir dönüşüm tanımlayalım bu T2 diyeni dönüşümün adıda T3 Olsun buna da C1 C2 sütun mektubunu vereceğiz bu dönüşüm sütün vektörleri ölçekten Diren bir dönüşüm olacak Bir bakalım İlk elemanı buna böleceğiz ve böylelikle burada bir elde edeceğiz bunu bir bölü Ağrı eksi b c çarpı aile çarpınca Şimdilik Cebir olarak not edelim ikincisi içinde buna böleceğiz bir dönüşümde var yani skaler bölme yapıyoruz hemen yazıyorum bir bölü a de eksi b c çarpı c2n Evet elemanları bu ikiz kalemde çarpıyoruz cümle bu dönüşüm adresi uygulayalım sonuç olarak bir matris elde edeceğiz bunu ABD eksi b c çarpı aya böleceğiz kendisine böldüğümüz için sonuç bir olacak sonra sıfır da buna bölmemiz lazım ama sıfırı ne bölersek bölelim sonuç sıfır olacağı için buraya sıfır yazıyorum sırada genişletilmiş kısım var ağabeyi buna böleceğiz yani a de bölü adı eksi b c çarpı ağlar birbirini götürecek Burası eksi AB bölü ağ de eksi b c çarpı a olacak ve ağlar yine birbirini götürecek sütün vektörlerinin ikinci elemanları 0 bölü bu 0 Ha bu arada bunun bölme yapabileceğimiz bir değer olduğunu da varsayıyoruz ki bundan Az sonra daha ayrıntılı bir şekilde bahsedeceğim buna bölünce de bir elde ederiz eksi J iade eksi bcg böleceğiz şimdi ve son olarak ayı daha ayı da a de eksi b c ye bölünce Evet bitmiş olacak işte bu kadar genişletilmiş matrisin sol tarafını indir gelmiş eşelon formuna getirmeyi başardı O halde bu da ters matris olur biraz daha temiz yazayım elimizde bir matris vardı bunu Mora yazıyorum A matrisi Ah be cvd Evet bunlardan oluşuyordu yönteminizi kullanarak anın tersinin buna eşit olduğunu bulduk Biraz da sadeleştirilir sen ya da bir saniye olduğu gibi bırakayım ki birşey atmadığımız da Emin olalım de bölü a de eksi b c bunların ikisi birbirini bu eksibe bölü ad eksi b c Bunlar da birbirini götürecek eksi C bölü ağ de eksi b c ve a bölü a de eksi b c işte ters matris bu noktada ters matrisin bütün elemanlarında paydada aynı ifadenin olduğunu fark etmiş olmalısınız Bu yüzden ters metresi Belki de bir bölü a de eksi b c çarpı de eksibe eksi c&a Evet matrisi olarak yazabiliriz ve bu da ikiye iki bir matrisin tersini bulmak için kullanabileceğimiz bir formülden başka bir şey değil bana buradaki reel sayıların ne olduğunu söylerseniz size ters matrisin ne olacağını hemen söyleyebilirim Bu kadar basit bu noktada tüm ikiye iki matrislerin ters çevrilebilir olmadığını düşünüyor olabilirsiniz ve bu yüzden de bu tüm ikiye bugün sizler için geçerli olmayacaktır Ben de size hemen bir soru sorayım bunun tanımsız olması gibi bir durum olabilir mi yaptığım işlemlerin hepsini tüm reel sayılarda yapabilirim Ve bu da tüm reel sayılara uygulanabilir ama tanımsız olması şöyle değil Bunu Eğer sıfıra bölersek bu tanımsız Olur öyle değil mi Belki ne zaman sıfıra bölmüş olurum sıfır Atım sayıları ekleyebilir sıfırdan tüm sayıları çıkarabilir ve sıfırla tüm sayıları çarpa bilirsiniz ama hiçbir sayıyı sıfıra bölemezsiniz sıfıra böldüğümüzde Ne oldu durumunu şu ana kadar tanımlanmadı o halde not ediyorum bu A de eksi b c Sıfıra eşit olduğunda tanımsızdır Evet bu ilgi çekici bir nokta abi eksi bc06 eşit olmadığı sürece ikiye iki bir matrisin tersini bulabiliriz ters çevrilebilir dik için tüm bu havalı şeyler yaptık indir gelmiş eşelon formuna geldik ki o örten ve birebir olmaktan önceydi ama ikiye 21 matress için her şeyin çok da kolay olduğunu görüyorsunuz değil mi Evet ağ de eksi B C 0 olmadığı sürece bu formülü kullanarak anın ters çevrilebilir olduğunu söyleyebiliriz Bu arada bu ifade iki yönlü bir ifadedir bunun da ilgi çekici bir sayı olduğunu ve bunun özel bir ismi olması gerektiğini düşünüyor olabilirsiniz ne kadarda şanslıyız onun gerçekten de bir ismi var de terminat pembe ile yazayım Evet bunun adı de Termin andır anın de Termin antı bunun etrafına iki tane düz çizgi koyarak da yazabiliriz Evet a a a b c d bazıları hem parantez hem de düz çizgileri koymanın gereksiz olduğunu düşünürler onun içinde sadece bu şekilde yazarlar Evet iki düz çizgi arasında a b c ve d ya da iki tarafta parantez olduğunda elimizdekinin bir matrisi olduğunu aklınızdan çıkarmayın düz çizgiler olduğunda da bir de terminat Tan bahsediyor oluruz anlaştık bunun ikiye iki bir matris için ağ de eksi b c olarak tanımlı olduğunu da eklemek istiyorum defter Mina'nın tanımı İşte budur Eğer elimizde a b c d matrisi varsa anın tersini bir bölü bu yani anın de Termin antı çarpı bunu da aklımızda tutmak için ağ bedenin yerlerini değiştirip Evet de yerine Aaa yerine de gelecek bunlarda oldukları gibi kalacaklar ama önlerine eksi işareti koyacağız be ve cenin önüne eksik koyacağız ikiye iki bir Matrisin tersi nin genel formülü budur isterseniz hemen birkaç tane örnek verelim Hadi bir 1234 matrisin determinantı bulalım bu be matrisi olsun ve beğenin de Termin antı bu şekilde gösteriyorum bir çarpı dört eksi üç çarpı iki Bu da dört eksi altıdan -2 ye eşittir de terminent -2 eşit olduğuna göre yani sıfır olmadığına göre bu matrisin tersini alabiliriz Evet ters çevrilebilir olduğunu bilmenin yanı sına artık tersini bulmayı da biliyoruz hemen formülü uygulayalım beğenin tersi Evet bu renkle yazayım bir bölü -2 çarpı Benim de terminat mıydı be matrisi Bunun aynısı ama etrafında parantez Olmalı 1 2 3 4 evet beğenin tersi bir bölü beğenin de terminal hı Yani -2 bir bölü -2 çarpı bu ikisinin bu işlerin C4 buraya bir de buraya gelecek bu ikisinin de ters işaretlisi ne alacağız -2 ve -3 bu Çarpmayı yapınca da eksi 1 bölü iki çarpı dört -2 eder eksi 1 bölü iki çarpı eksi 21 eder eksi 1 bölü iki çarpı -3 3/2 ve eksi 1 bölü iki çarpı bir de eksi 1 bölü iki eşte Bu da beğenin Tersim şimdi gelin Bir de Cem adresini değerlendirelim cm Adresi de 1 2 3 ve 6 ya eşit olsun soru ceninde terminal adı nedir şöyle yazayım 12361 çarpı altı -3 çarpı 26 -6 dansı Fred böyle değil mi de Thurman Sıfıra eşit olduğu için bu bu ters çevrilebilir bir matris ildir tersini bulamayız Çünkü bu formülü uyguladığımızda 1/0 elde ederiz bu formülü bunu indir gelmiş eş olan formuna getirmeye çalışırken elde ettik Ve bunu yaparken de son adımda her şeyi bu terimlere böldü ve az önce kurduğumuz matrisin bu terimleri Sıfıra eşit Bu arada bu örneği de sütunları birbirlerinin doğrusal kombinasyonları olduklarını bildiğim için seçtim Bir V3 ün ikisini de iki ile çarparsanız iki ve altı elde edersiniz Öyle değil mi Evet ben bunların doğrusal bağımsız tütünler olmadıklarını biliyor kısacası ben bunun ters çevrilebilir bir maddesi olmadığını biliyordum ama bunun doğru olduğunu de Termin Altını hesaplayarak da bulmuş olduk