Bir Dönüşümün Örten Olup Olmadığını Belirleme

bu elimizde R üzeri enden R üzeri Eme eşleştirme yapan doğrusal bir dönüşüm olduğunu düşünelim bu doğrusal dönüşümü bir matris çarpımı olarak ifade edebileceğimizi biliyoruz Evet TX yani te dönüşümü yer kalması için biraz daha yukarıya yazıyım 1x vektörüne uygulanan te dönüşümü bir matris leixen çarpımına eşit olarak ifade edilebilir ve bu Eğer R üzerinden R üzeri emme eşleştirme yapıyorsa bu matriste birem çarpı enm adresidir girdilerin her birinin R üzerinin elemanı olan en tane bileşeni olacağından bu matris vektör çarpımının tanımının doğru olması adına matrisin en tane sütün olmalıdır bundan önceki videolarda istediklerimize değinecek olur isek mesela fonksiyonların ters çevrilebilir olmalarından bahsetmiştik ve bu fikri bu dönüşüme de kolaylıkla uygulayabiliriz neden diyecek olursanız dönüşümlü bu fonksiyon dur da ondan vektör uzayları ya da vektör kümeleri arasındaki eşleştirmelerden bahsettiğimiz için dönüşüm kavramını kullanmaya başladık Ama aslına bakarsanız Bunlar birbirinin aynısı bundan önceki iki videoda yaptığımız şeyler de genel şeylerdir yani tanım ve görüntü kümelerinin neyden yapıldıklarını söylemiştim Şu anda da söz konusu olan şeyler vektörler ve bu yüzden de aynı fikirleri Burada da kullanabiliriz Evet TR üzerinden R üzerime ye bir eşleştirme yapıyor demiştik buradan 1x vektörü alır isek de dönüşümü bunu R üzeri hem de ki bir başka vektörle eşleştirir webudaa iksir matris vektör çarpımını buraya alalım Bu da te dönüşümü ve şimdi de fonksiyonlarla ilgili sorduğumuz genel soruyu te içinde sormayı deneyeceğiz te acaba ters çevrilebilir midir hatırlarsanız ters çevrilebilir olmak için iki koşul olduğunu Ben Canon örten yada Diğer adıyla sürecekti olması gerekiyor dedi ters çevrilebilir olmanın koşullarından biri buydu Tenin Bir de birebir olması gerektiğini görmüştük birebir olmanın da havalı ismi injektif Tea Evet bu videoda birinci koşul üzerinde duracağız demek istediğim Tenin ters çevrilebilir olup olmadığını ispatlamaya cam ancak Tenin örten ya da sürecek tif olup olmadığını görme şansımız olacak küçük bir hatırlatma olması amacıyla bana örten ya da sürekli olmanın ne anlama geldiğini söyleyebilir misiniz Bu R üzeri emden yani görüntü kümesinden aldığınız herhangi bir elemanın Evet bana görüntü kümesinden vereceğiniz herhangi bir elemanın bu elemana da B diyelim Bu bir vektör olacak değer örten ya da sürecektir ise görüntü kümesinden seçeceğiniz herhangi bir b için tanım kümesinde her zaman en azından bir ne olacak demektir ve Eğer buna bu dönüşüm uygularsak beyi elde edeceğiz Anlaştık mı bunu dönüşümün görüntüsünün R üzeri Emin hepsi olması olarak da yorumlayabiliriz Evet bunların hepsine ulaşabiliriz isterseniz Bunun ne anlama geldiği üzerine biraz daha düşünelim dönüşümü naix olduğunu biliyoruz bir ama adresi baştan yazayım x uyguladığımız te dönüşümü bir ama Tracy a matrisinin en çarpı en olduğunu da biliyoruz çarpı ilk sektörüne eşit şimdi teur örten seai X'in Yani bu matris ve 4 çarpımının görüntü kümesindeki herhangi bir elemana eşit olması yani görüntü kümesindeki herhangi bir elemana a matrisi ilek sektörünün çarpımı ile Ulaşılması mümkündür Peki bunu farklı bir şekilde düşünebilir miyiz örten demek R üzeri Emin elemanı olan herhangi bir bebek Töreye bu Mehmet buradaki herhangi bir b için a Çarpı x eşittir b şeklinde en az bir çözüm vardır demektir buradaki içsin yanix vektörünün der ve üzeri enin bir eleman olduğunu biliyoruz Böylece videonun başında söylediğim ve farklı bir şekilde daha söylemiş oldum Bana bu kümeden Herhangi bir b verdiğinizde Eğer telini Norton olduğunu varsayıyoruz s k i x eşittir b için en az bir çözüm olması gerekir demek istediğim burada Ayla çarptığım da be elde edeceğim en az bir tane x olması lazım Bu arada bu Herhangi nin yerine her Evet her yazarsam daha iyi olacak aynı kapıya çıkıyor Amare üzere hem de ki her B için bunu doğru yapan bir x bulabiliriz Bu ne anlama geliyor olabilir bu ağa çarpık XR üzeri enine o olan XL ait çarptığınızda R üzeri Emin herhangi bir elemanını elde edebileceğimiz anlamına geliyor peki bu nedir ekstra üzerinden rastgele bir eleman sa şöyle yazayım a matrisinin buna benzeyen bir matris olacağını biliyoruz bir sürü sütün vektörün den oluşuyor olacak a1 a2 ve en tane sütünü olacağından ağa işte böyle ama adresini bu şekilde ifade edebiliriz bu çarpımı aldığımızda Rey üzeri Emin herhangi bir elemanını elde edebileceğimizi söylüyor ve bu çarpımı ikisi Buraya yazmak yerine ve X1 X2 ve bu şekilde x ne kadar devam edecek şekilde de yazabilirim Böylece çarpım x bir çarpanın birinci suçum ek türü artı iki çarpı anın ikincisi Tüh ilmek türü artı nokta nokta nokta ilk sen çarpı anın en önce sütün vektörü olarak yazılabilir ev iki tarafında bunu elde ederiz ve tenin örten olması için bu kombinasyonun R üzeri hem de ki Herhangi bir bektöre eşit olması gerekiyor Peki bu ne anlama gelir bunlar anın sütün vektörlerinin doğrusal dönüşümleri Öyle değil mi Bu yüzden de che'nin örten ya da sürecek tif olduğunu anın sütün vektörlerinin görüntü kümesini yani R üzerine iyi kapsaması olarak da ifade edebiliriz Evet burayı kaplamaları gerekir bunların doğrusal dönüşümleriyle buradaki herhangi bir vektörü elde edebilmemiz gerekir doğru değil doğrusal dönüşüm ve ağırlıklar reel sayıların rastgele elemanlarıyla kuruldu demek istediğim Mesela bu ve 4 birden fazla rast gelir el sayıdan oluşur Tenin örten olması için a1 a2 böyle böyle anneye kadar tüm bu kapsamın R üzerime ye yani görüntü kümesine eşit olması gerekir Buda bu kümesindeki Herhangi bir bektöre bunun sütün vektörlerinin doğrusal dönüşümleriyle ulaşabiliriz demektir de ki bir matrisin sütün vektörlerinin kapsamı ne demektir diye soracak olursam bana ne cevap verirsiniz tanıma bağlı olarak bu matrisin sütün uzayı ile aynı şeydir Böylece bunların kapsamının R üzerime ya da anın sütün uzayının R üzerime ye eşit olması gerektiği sonucuna ulaşırız belki bir vektörün sütün uzayın R üzerine eşit olduğunu nasıl anlarız bu noktada aex eşittir Bey'e çözüm bulamadığımız durumlar hakkında düşünmenin faydalı olacağına inanıyor böyle bir denklemle karşılaştığımızda ne yaparız buna benzeyen genişletilmiş bir matris kurabiliriz evet ayı bu tarafa beyine bu tarafa koyarız ve sonra da bir dizi satır işlemi yaparak ikisinin de bütün satırlarından bahsediyorum Elbette iki tarafında bu bunu Evet daha önce gördüğümüz hatırlıyorsunuz değil mi buradaki amacımız neydi sol tarafı indir gelmiş eş olan formuna getirmek ve sonuç olarak genişletilmiş matris buna benzer sol taraf bir sahne Bir saniye önce renin anın indirgenmiş eş olan forma olduğunu Evet not edip Bununla ilgili videolar da yapmıştık bunun pilotlarını düşündüğümüzde pivotun da bu sütündaki sıfırdan farklı tek bir de olduğunu hemen ettiğim belki serbest ya da pivot olmayan bir sütun gelir Burada da bir kaç tane sıfır olacak Bunun Belki bir tane pilotu vardır bunların da sıfır olması lazım işte böyle sonraki pivotta burada olacak Evet bunların da sıfır olmaları gerekiyor ne yapmak istediğimi Anladınız değil pivotu olmayan sütunlar olabilir ama bir pivot geldiğinde de bunun sütundaki sıfırdan farklı tek girdi olması gerekir indirgenmiş eşelon formu bundan ibarettir indirgenmiş eşofman formunu elde etmek için de bir dizi bu işlemi yaparız bunu yaparken aynı işlemleri sağ tarafta da yapıyor olmamız gerekecek bu genişletilmiş maddesinin tüm satırlarda değerlendirmemiz gerekiyor Bu durumda buradaki bebek Tüh ya da herhangi bir ve 4 Sonuç olarak Birce vektörüne eşit olur yani Mesela Eğer bu 1 2 3 S bir dizi satır işlemi ile bunu 3 2 1 e ya da buna benzeyen bir şeye dönüştürebilirim belki bunun ne zaman bir çözümü olmaz daha önce görmüştük hatırlıyor musunuz bunun çözümünün olmadığı durum 3 durumlar birinde bir sürü çözüm olur evet bir sürü çözüm oluyordu ki bu serbest değişkenlerin olduğu durumdur sadece tek bir çözüm olabiliyordu ve son olarak bir de çözümün olmaması durumu vardı Peki ne zaman çözüm olmuyordu evet çocuğum olması için ne olması gerekiyor çocuğum olmaması için bu satırı işlem O da matrisin buna benzeyen bir matris haline gelmesi gerekir Buradakilerin ne olacağı hakkında bir fikrim yok Belki birkaç tane bir vardır buradada bir ve 10 Ama eğer sadece sıfırdan oluşan bir satır elde edersek Evet bunların hepsi sıfır olacak buradan a sıfırdan farklı bir şey olacak evet çözümün olmaması Ancak bu şekilde mümkün mü isterseniz tüm bunlardan Neden bahsettiğimiz hemen hatırlayalım ve konunun çok da olmadığından Emin olur dönüşüm örterse sütün vektörleri ya da sütünüz ayı r150 hem yani sütün vektörlerinin R üzerine iki kap suyu olması gerekir Burada da bunun R üzerine iyi nasıl kapsayacağı araştırıyoruz Anlaştık mı Pre üzeri Emir kapsaması için bana vereceğiniz herhangi bir beğenin Evet ve üzeri Emin elemanı olan bireylerden herhangi birini verdiğimiz de bir çözüm bulmam gerekiyor ve biz de kendimize O zaman çözüm olmayacağı sorusunu sorduk u satırda bir sürü sıfır ve burada sıfırdan farklı bir şey olduğunda çözüm Buna ek olarak bir de burada bir sürü sıfır var Evet Buna ek olarak bir de sadece belirli Beyler için geçerli olan bazı çözümler olması durumu söz konusu olabilir Bir de şu şekilde göstereyim şöyle yapacağım Ama adresim var bars Sonra B1 B2 böyle BM ye kadar buraya üzeri Emin bir eleman mıydı bu genişletilmiş matrisle indirgenmiş eş olan formunu elde etmiştik ve bu sayede Ada indirgenmiş eşofman formuna gelmiş oluyor ve bu indirgenmiş eşelon formunun sonunda sıfırdan oluşan bir satırı olduğunu düşünelim Evet sıfır lardan oluşan bir satır buradaki diğer girdiler standart olarak karşımıza çıkabilecek birler birler ve sıfırlar Ama son satırda sadece sıfır olacak anlaştık bu işlemlerini ve üzeri Emin genelleştirilmiş bu elemanına uyguladığımızda bu son satırda bir fonksiyon var mesela 21 artı 3 B2 şu an özel bir durumdan bahsediyorum bu her zaman böyle olmayacak ve eksi B3 başka bir değişle bu tüm Beylerin bir fonksiyonu olacak Tamam hemen not edeyim buraya özel bir durum yazdım Belki de yazma malıydı bu B1 Ben BM ye kadar tüm değerlerin bir fonksiyon olacak bu Eğer sıfırdan farklıysa çözüm olmayacaktır ve eğer Beylerin Bazıları için çözüm yoksa bire üzeri emi Cup sayamayız not edeceğim benim bazı durumlar için çözüm yoksa R üzeri emi Cup sayamayız çok açık bir şeyi çok mu vurguladım bilmiyorum ama Bunu anladığınızdan emin olmak istiyorum aix eşittir b denklemi çözmek istediğinizde bunun seçtiğimiz her be için doğru olmasını sağlamalıyız bu durumda genişletilmiş maddesi bu şey abone olmanız ve a indirgenmiş eşelon formuna gelene kadar satır işlemi uygularız bunu yaparken sağ tarafta da beynin fonksiyonlarını elde ederiz bir satır Örneğin B1 eksi B2 artı B4 olabilir sonraki satır da mesela bunun gibi bir şey buna dair bazı örnekler görmüştük ve eğer indirgenmiş eşofman formunu elde ettiğiniz de elinizde sıfırla dolu bir satır varsa çözümün olmasının tek yolu buradaki fonksiyonun Sıfıra eşit olmasını sağlayan girdi Diğerlerine sahip olan bir bebek türüdür ve bu da bunun sadece bazı Beyler için doğru olduğu anlamına gelir Bunu sıfır yapan değerler için çözüm olması R üzeri Emin kapsayan Mamak'tır bunu göstermem de ister misiniz buraya üzeri emosun ve eğer bu sadece bazı Beyler için Sıfıra eşit s a ile çarptığımızda R üzeri emden Bir elemana Sadece bu beylerle ulaşabiliriz O başka bir değişle dr150 emek kapsama mış oluruz R üzere emi Cup sayabilmek için bunu indirgenmiş eşelon formuna getirdiğimizde her zaman çözüm bulabilmemiz gerekir ve her zaman çözüm olması için de sadece sıfır lardan oluşan bir satır elde etmemiz Evet sıfırla dolu bir satır olduğunda sağ tarafında sıfır olması gerektiği koşulu değerlendirdiğimiz unutmayın Peki sondaki satırın sıfır lardan oluşmadığı indirgenmiş eş olan formu hangisidir indirgenmiş ashurov formunda tüm satırların ya sıfır lardan ya da people girdileri olan satırlardan oluşması gerektiğini biliyoruz hemen yazayım Ç örtendir ancak lı anca dönüşüm vektörünün sütü uzayı R üzeri emme eşitse sütün vektörlerinin R üzerimi kapsama sından bahsediyor ve bu da anın indirgenmiş eşelon formunun her satırında bir pil bu olması ile mümkündür Peki kaç tane Satırlar bunun bir en çarptı en matrisi olduğunu biliyoruz en tane satırı ve en tane sütunu var Her satırda da 1 pilotu Bu da en tane pil anlamına gelir öyle değil Belki bunu farklı bir şekilde daha düşünebilirsiniz bundan birkaç video önce bu arada belki biraz Kafanız karışacak ama sütün uzayının tabanı nasıl bulabileceğimiz dende bahsetmiştik bu not edeyim bir matrisin sütün uzaylının tabanı Şimdi yapacaklarım tekrar olacak ama bunun bir zararı olacağını düşünüyorum matrisi alıyoruz indirgenmiş eş olan formuna getiriyoruz ve biraz farklı çizeceğim Ne diyordum indirgenmiş eşelon formuna getiriyoruz bunun da indir gelmiş Eşref formu olduğunu düşünelim hangi satırlarda pivot olduğuna bakıyor ve orjinal matriste buna karşılık gelen sütunlar sütün uzaylının tabanını oluşturacak Anlaştık mı Hem devam ediyorum yine özel bir durum helal elimizde a1 a2 böyle böyle AE ne kadar satır vektörleri olduğunu varsayalım Evet abi olsun bunu indirgenmiş eşelon formuna getirdiğimizde Bu sütunda bir pivot olduğunu Evet burada bir pilot olacak Bunu da olmasın bu iki olsun bu arada özel sayılar seçtiğimizde söyleyeyim burada da 13 olsun Evet bunların hiçbiri pivot olmayacak ama sonda Yani en ucuz sütünde bir pivot olsun bir kaç tane sıfır ve bir tane de bir buna bağlı olarak sütün uzaylının taban vektörleri nasıl belirleriz bütün uzayı bunların kapsadıkları Her şey olacağı için aynı kapsamı elde etmek için gerekli minimum küme hangisidir hangisinin pivot birisi ya da pivot sütunları olduğuna bakalım söylediğim burada ve burada birer tane pil o suç unumuz ve o halde sütün uzayın tabanı orijinal matristeki bu ve bu sütün olmalıdır sonra bir de sütümüz ayının boyutlarının tanımlanması var bunun içinde taban için gerekli vektörleri Say mamız lazım ve buna da anın derecesi adı verilir pek şu ana kadar küçük bir tekrar yapmış olduk anın derecesi anın sütün uzayın boyutuna O da sütün uzayın taban rektörlerinin sayısına eşittir unu belirlemenin yolu İşte budur kaç tane Pipo tütünü olduğunu belirliyorsunuz kaç tane pivot sütünüz varsa o kadar taban rektörümüz oluyor Ve bu da anın derecesini veriyor şimdi tüm bunlardan bahsettim Çünkü te dönüşümünün örten olmasının sadece ve sadece sütü uzaylının R üzerine eşit olması yani indirgenmiş eşofman formunun her satırında bir pivot bulunması durumunda gerçek olacağını söyledi kent ne olduğuna göre en tane pivot girdisi olması gerekir her satırda bir pilot olacak ve bu pivot ların her birine bir pivot sütununa karşılık gelecek en tane pivot girdiğimiz varsa en tane de pio süt unumuz olur Ve bu da eğer bunu buraya uygulayacak olursak şutun uzayı için en tane taban vektörü elde edeceğimiz ya da derecen inmeye eşit olacağı anlamına gelir bu video Canon örten olduğunu anlatmanın Çok da uzun bir yolu oldu bunu bir de şimdi bunun tanım kümesi olduğunu düşünelim buraya ve üzeri en yazıyorum Bu da görüntü kümesi yani R üzeri Emre üzeri enin her bir elemanı R üzeri Emin her bir elemanı Nate aracılığı ile ulaşabiliyor bu Buradaki her bir elemanın için R üzeri and eteği uygulayabileceğimiz en az bir eleman vardır demek birden fazlası da olabilir Ne de olsa bile bir olmaktan henüz de gitmedik a dönüşüm maddesinin derecesine ye eşit ST örtendir Evet aslına bakarsanız bu videodan çıkartmamız gereken Sonuçta bu Dur şimdi hadi hemen bir örnek yapalım Çünkü örnek yaptığımız zaman Bazı şeylerin Özellikle de böyle soyut olan şeylerin anlaşılması daha kolay olur hemen bir s dönüşümü tanımlayalım s dönüşümü R kâr eden R küpe bir eşleştirme yapıyorsun ve senin 1x vektörünü uygulanması sonucu da 123456 Çarpı x vektörünü elde ediyoruz Bu üç iki bir adrestir Şimdi de senin örten olup olmadığına bakalım Az önce yaptıklarımıza dayanarak önce bunu indirgenmiş 5 olan formuna getirmemiz gerekecek Hadi bakalım bunu indir gelmiş eşofman formuna getireceğiz 123456 yazıyor birinci satırı olduğu gibi 21 ve 22 nin yerine ikinci -3 çarpı bir satırın sonucunu yazalım Hatta üç çarpı bir satır -2 satırı yazarsak daha da iyi olacak üç çarpı bir eksi 30 eder üç çarpı iki -4 de iki eder üçünün yerine de beş çarpı bir satır eksi 3. satırın sonucunu yazacağım 5 çarpı bir eksi 50 eder 5x 2 -6 da dört şimdi şurada bir elde edebilir miyiz ortadaki satılık olduğu gibi bırakacağım ya da isterseniz ortadaki satırı ikiye bölelim ya da 1/2 de çarpalım ikisi dair şey Sonuç olarak 0 V1 elde ederiz Bunlar 04 ve 12 şimdi bunları sıfır yapmaya çalışacağım ortadaki satır aynı kalsın birinci satın yerine birinci satır -2 çarpı iki satır yazacağım 1 -2 çarpsın Ne haber ve iki -2 çarpı bir de sıfır son olarak son satırın yerine de son satır -4 X2 satılık koyacağım sıfır -0 çarpı 00 eder 4 -4 x1d 00 lardan oluşan bir satır elde ettiğimizi görüyorsunuz değil mi iki tane de pilot girdiğimiz ya da içinde pivot girdisi olan iki satırı mız var İki tane de pivot şu turumuz ne 1 2 3 4 5 6 nın derecesi ikidir ve gördüğünüz gibi bu görüntü kimimize eşittir Evet bu renkli de eşittir ve küpe eşit olmadığı için de sen örten ya da sürecektir bu ters çevrilebilir liğin koşullarından biri ve buna bağlı olarak senin ters çevrilebilir olmadığı sonucuna ulaşabiliriz Umarım faydalı bir video olmuştur Bundan sonraki videoda ters çevrilebilir liğin ikinci koşullu olan bir bu olma koşulu üzerine konuşacağız o