Birebir Dönüşüm İçin Matris Koşulu

Ne diyelim ki elimizde bir ama adresi var bu matrisin sıfır uzayını belirlemeye çalışıyoruz şöyle anlatayım Ağa Çarpı x eşittir sıfır vektörü denklemini kurduğumuzda bu denklemi sağlayan x değerleri anın sıfır uzayını meydana getirirler Anlaştık mı Evet bu denklemi sağlayan tüm işlerden bahsediyorum ama exe eşittir sıfır vektör bunun bir sistem olduğunu düşünmek de mümkün bu denklemi çözmek için de genişletilmiş bir matris kurmamız gerektiğini hatırlıyor olmalısınız genişletilmiş matrisle buna benzeyen bir şey olacak sağ tarafa sıfır vektörünü koyalım bazı satır işlemleri uygulayarak sol tarafı indirgenmiş eşelon formuna getirmeye çalışıyorduk işlemlerin sonucunda sol taraf indirgenmiş eşelon formuna dönüşecek Evet anın indirgenmiş eşelon form Sağ taraf sıfır olarak kalacak bu satır işlemleri uygulayacağız Ama bu işlemleri sıfır üzerinde uyguladığımızda da sonuç değişmeyecek Yani yine Sıfır vektörün Elde edeceğiz bu iki sistem eşdeğer olduğundan bu sistemi bundan yola çıkarak yeniden kurduğumuz da elde edeceğimiz çözüm kümesi buna benzeyen bir şey olacak şöyle yazayım Evet çözüm kümesi bir skaler çarpan ki serbest değişkenlerin izkal Eğer çarpanlar olduğunu da söyleyebiliriz bunu daha önce gördüğünüz için elimden geldiğince kısa ve öz bir açıklama yapmaya çalışıyorum Evet bir çarpan demiştim çarpı 1 numaralı vektör artı başka bir skaler çarpı iki numaralı vektör bu skalerler serbest değişkenler de bu şekilde C çarpı en numaralı vektöre kadar geleceğiz elimden geldiğince genel ifadeler kullanmaya özen gösteriyorum 2 ya da 3 ten fazla 4 içeren örnekler görmedik Bunlar 0ğuz ayını kapsayan mektup Bu bir denklem ya da buna benzeyen bir çözüm kümesi elde ederiz ve bu da 0ğuz ayımız olur Evet bunu daha önce defalarca yapmıştık sıfır vektörü bu vektörlerin kapsamları ya da doğrusal kombinasyonlarından meydana gelir en bir en iki diye başlayan ve E ne kadar uzanan vektörler buraya kadar yeni olan bir şey yok başka bir de işte Daha önce defalarca gördüğümüz bir şeyi yeniden görmüş olduk Tam olarak bu ifadeleri kullanmış olabilirim ama olsun belki homojen olmayan denklemi çözdüğümüz durumda ne olur dersiniz homojen olmayan denklem Evet o da buna benzer aix eşittir Bad demini çözmek için de buna çok benzeyen bir yöntem kullanırım yine genişletilmiş bir matris oluştururum ayı sol tarafa alırım beyi sağ tarafa ve yine bye bu satır işlemleri ile ayı indir gelmiş eşelon formuna getirmeye çalışırım hemen yapayım sol taraf anın indirgenmiş eşelon forma olacak Ay hangi işlemler uyguladığı ysan Bey'e de aynılarını uygulayacağım ve sonuç olarak Burada yeni bir ve dar elde etmiş olacağım isterseniz Buna da be üssü vektörü adını verelim beyazlatma olacak ama isminin de eski olmasının bir sakıncası yok genişletilmiş matristen çıkıp bunu bir sistem olarak ifade ettiğimizde ve çözdüğümüz dede çözüm kümesini elde etmiş olacağız bunu bir önceki videodan hatırlıyor olmalısınız ne Evet Bunu sağlayan çözüm kümesi Yani ilk değerleri bu vektör her ne ise biz Şimdilik be üssü olarak adlandırdı kartı una benzeyen bir şey eşit olacak evet aynen buna benzeyen bir şeyden bahsettiğim için bunu kopyalayıp buraya yapıştırayım kopya bu yapıştır Olmadı bir daha deneyelim Evet evet işte böyle tam da buna benzeyen bir şeyden bahsediyorum bundan önceki videoda da hatırlayacağınız gibi buna bağlı olarak homojen olmayan denklemin çözüm kümesinin belirli bir çözüme eşdeğer olacağını bu çözünmede XP adını verelim Evet belirli bir çözüm artı sıfır uzayının bazı elemanları başka bir değişle bu artı homojen olan bir çözüm ağabeye WC için belirli değerler seçtiğimizde 0ğuz ayını kapsayan vektörlerin çarpanlarından bahsediyorum belirli homojen bir çözüm elde ederiz son videoda ima ettiğim gibi Tam olarak ispatını yapmamıştım ama o homojen olmayan sistemin herhangi bir çözümü şöyle yazayım beyazla yazayım hem beyaz olmadı Ama olsun Neyse ait x eşittir be homojen olmayan sistemin her Bu bir çözümü exp1 buradaki çözümden bahsettiğin açık olması adına yeşille yazsam Belki daha iyi olacak indirgenmiş eş olan formunda bunun ve üstüne eşit olduğunu da biliyoruz Artık homojen bir çözüm ya da sıfır uzayının bir elemanına eşit olacağını biliyoruz Evet bundan önceki videoda böylesine bir iddiam olmuştu ispatlama Mıştım ama ima etmiştim Bu videoda ise bunun ispatı üzerine çalışacağız isterseniz Öncelikle bunun bir çözüm olup olmadığını belirlemeye çalışalım yapacağımız şey bunu orjinal denkleme koymak olacak orjinal denklem aex eşittir Bey'de bakalım olacakmı şimdi bir soru yazıyorum Bu belirli çözüm artı homojen çözüm Aa x eşittir beğenin bir çözümüdür Evet kontrol etmek için x yerine bunu yazmamız gerekecek hadi hemen deneyelim ağaç bu the XP artı homojen çözümlerden biri eşittir a çarpı XP artı a çarpı sıfır uzayının bir elemanı Peki bu neye eşit Bey'e Öyle değil mi bunun bu denklemin belirli çözümlerinden biri olduğunu söylüyoruz Evet bu Bey eşit olacak bu is0 vektörüne çünkü bu da homojen denklemin çözümlerinden biri be artı sıfır ya da ya da sadece be ağa çarpı bu vektör bey eşitmiş o halde bu bir çözüm çözümüdür Evet çözüm şimdi sıradaki soru geliyor homojen olmayan sistemin tüm ya da herhangi çözümlerinden biri bu formu alabilir mi açar pics eşittir beğenin herhangi bir çözümü ilk eşittir belirli çözümlerden biri artı sıfır uzayının bir elemanı ya da sıfır uzayının bir elemanı şeklini O da bilir mi Bunu kontrol etmek için de Ağa çarpı şöyle yazayım şöyle yazayım ixina aex eşittir beğenin herhangi bir çözümü olduğunu düşünelim Evet böyle diyerek başlayalım ve Ağa çarpık seksi belirli bir çözümün sonucunun ne olacağına bakalım paranteze açtığımızda Ağa çarpı çözümlerden biri eksi a çarpı belirli bir çözüm sonuç ne olur dersiniz bunu naix eşittir beğenin çözümlerinden biri olduğunu söylüyoruz Yani bu Bey'e eşit belirli çözüm çarpı adabey eşit olacak ve eksi bedende Sıfır vektörünü Elde edeceğiz isterseniz ilk sektörü eksi belirli çözümün a Çarpı x eşittir sıfıra bir çözüm olduğunu da düşünebilirsiniz biraz düşünün bu parantezleri alıp buraya koyarsak ve aile çarparsak Sıfır vektörünü Elde bu ve az önce de gördüğümüz gibi bunu yapınca sıfır vektör ne elde ediyoruz bunları Ayla çarpınca be elde ediyoruz ve B eksibe de 0 oluyor en yüksek si belirli çözümle bu durumda sıfır uzayının bir elemanı oluyor Doğru değil mi Neden diyecek olursanız sıfır uzayı bu denklemi sağlayan x lerden meydana gelir derim sıfır uzayının bir elemanı olduğuna göre herhangi çözümlerden biri eksi belirli çözümde sıfır uzayının bir elemanına eşit olur Bu da homojen bir çözüm olduğu anlamına gelir birden Fazlada Olabilir tabii belirli çözümü İki tarafa da eklersek çözümlerden herhangi biri bu arada ixion bunun çözümlerinden herhangi bir olduğunu biliyoruz Evet Ne diyordum çözümlerden herhangi birinin homojen çözüme ya da homojen çözümlerden biri Ne demeliyim artı belirli çözüme eşit olduğu buluruz iki şekilde de ispatladığı bunun homojen olmayan denklem için bir çözüm olduğunu ve homojen olmayan denklemin çözümünü de bu formu aldığını gördük Peki tüm bunlar neden bu kadar önemli demek istediğim homojen olmayan denkleme neden bu kadar takılı kaldık dönüşümün birebir olmasından bahsettiğimiz hatırlıyorsunuz değil mi Bir dönüşümün ters çevrilebilir olmasının iki koşulun dan biri buydu birebir olmak için hemen bir dönüşüm çizim bu 2x tanım kümesi bu da bu da değer kümesi Ya niye olsun ilk syg eşleştiren de bir dönüşümüz var Tenin birebir olması için hemen not ediyorum birebir buradan seçeceğiniz herhangi bir b için evet değer kümesinin herhangi bir elemanından bahsediyorum Ağa x için en fazla bir çöz bu bağlıdır anın dönüşüm adresi olduğunu varsayıyorum Yani te dönüşümünü bir matriste tanım kümesinden bir görün çarpımı olarak yazabiliriz Bu ilk sise budaai x olacak de de bunu bununla eşleştir edecek Evet dönüşümün birebir olması için buradan seçeceğiniz herhangi bir b için aix eşittir beğenin en fazla bir çözüm olacak bu da değer kümesindeki bu elemanlı eşleşen en fazla bir eleman olacak anlamına gelir olmayabilirdi Yani bunun çözümü de olmayabilir ama en fazla bir tane olacak Anlaştık mı o halde Az önce mavi ile yazayım Eğer bir çözüm varsa çözüm yoksa sorun yok yani yine birebir olur Ama eğer varsa bu çözüm ilk SP artı sıfır uzayının bir elemanı formunu alır bu sıfır uzayının bir elemanı Anlaştık mı Evet bu bu iyi anlıyorum Eğer çözüm varsa az önce de söylediğim gibi Yoksa da sorun değil Yine birebir olabilir ama eğer bir çözüm varsa bununla eşleşen eleman sayısı en fazla bir olabilir Ve bu da bu formu alır birebir olmak için bu Eğer tek çözümse çözüm kümesi de tek çözüm den oluşur tek bir çözüm olabilir Öyle değil mi Belki bu ne anlama gelir bu Burada sadece bir vektör olabileceği anlamına gelir sadece bir tane olmalı burada tek bir belirli çözüm var Nasıl tanımladığınız a bağlı olarak herhangi bir çözüm kümesi için belirli tek bir tane vektör olacak ama tek bir tane çözüm olması için 0 uzayının sadece sıfır vektörünü içermesi gerekir Evet sıfır uzayı En azından sıfır vektörünü içerecek Bir önceki videoda sıfır uzayının boş olması gerektiğini söylemiştim galiba Ama tanımı gereği Yani bir al uza ve bu için her zaman sıfır vektörünü içerir Ağa çarpı sıfır işlemini yapıp 0 elde edebilirsiniz nv30 uzayının bunu içermesi gerekir Ama tek bir çözüm olması için Yani bunun sıfır olması için 0 uzayın sadece sıfır vektörünü içermesi gerekir Böylece nasıl bulduğunuza bağlı olarak tek çözüm de bulduğunuz belirli çözüm Hemen not edeyim birebir olmak için dönüşüm matrisinin sıfır uzayının sadece sıfır vektörünü içermesi gerekir Bunu daha önceki videolarda da görmüştür belki sıfır uzayının sadece sıfır bekliyorum içermesine anlama geliyordu iyice anladığınızdan emin olmak istiyorum dönüşüm vektörünün buna benzeyen bir şey olduğunu düşünelim a1 a2 nokta nokta nokta AE ne kadar bunu expere X2 diye başlayıp ilk sene kadar uzanan x lerle Çar 10 Uzaylı da bu denklemi sağlayan tüm x değerlerine eşit Evet burada en tane sıfır olabilir sıfır uzayı Eğer sadece sıfır vektörünü içeriyorsa Bu arada bunun birebir olmak için bir koşul olduğunu da söylüyoruz dönüşümün Evet be matrisi tarafından belirlenen dönüşümün birebir olmasından bahsediyorum sıfır uzaya Eğer sadece sıfır vektörün içeriyorsa bu ne anlama gelir Bunu X1 çarpı a bir artı iki çarpı A2 artı nokta nokta nokta ilk sen çarpı a en eşittir sıfır olarak yazabiliriz Bunlar eşdeğer ifadelerdir bu terimlerin her birini karşılık gelen sütün vektörler ile çarpınca bunu elde ediyoruz sıfır uzayı Eğer sıfıra eşitse buradaki denklemin tek çözümünün Yani bu denklemi sağlayacak text-color lerin Bu arada bu O çok özür dilerim skalerler Pide ve döner olarak yazmışım hemen düzelteceğim Evet bu ix1 çarpı a bir artı iki çarpı A2 artı nokta nokta nokta ilk sen çarpı aem eşittir sıfır vektörüne eşit x birden x ne kadar olanlarda skalerler ev şimdi sıfır uzayı Eğer sıfırsa ix1 denk sene kadar tüm skalerler in Sıfıra eşit olması gerekir ve bu da doğrusal bağımsızlığın tanımıdır sıfır uzayının sıfır olması sütün vektörlerinin Ya da şöyle yazayım a1 a2 den başlayıp aa e ne kadar bunların hepsinin doğrusal bağımsız olması anlamına gelir bu ne demek diyecek olursanız Bunların hepsi doğrusal bağımsız sa sütün uzayının tabanı Evet neye eşit olur sütün uzaylının kapsam ol Ne yapıyorsunuz değil mi Evet anın sütün uzayıp a1 a2 den başlayıp ailene kadar bunların kapsamına eşittir Az önce birebir olmanın koşullarından birinin 0ğuz Aydın sıfır eşit olması ya da sadece sıfır vektörünü içermesi anlamına geldiğini söyledik Evet eğer sıfır uzayı sıfırsa sütunların hepsi doğrusal olarak bağımsızdır bu sütunlar sütün uzayını kapsıyorsa ve eğer doğrusal bağımsızlar sana bir taban oluştururlar Bu da a1 a2 böyle böyle AE ne kadar bunun sütun uzayı için bir taban olduğu anlamına gelir sütün vektörleri Eğer doğrusal bağımsızlar Save sütün xayını tanımları da gereği kapsıyor larsa tabanı oluştururlar Böylelikle tavanın boyutları da ya da tabanı oluşturmak için ihtiyacımız olan vektör sayısınınn ve eşit olduğunu buluruz ne tane sütün var Öyle değil mi o halde neye eşit olacak Ve bu da matrisin derecesinin deneye eşit olacağı anlamına gelir birşeyin birebir olması için gerekli koşulların ne olduğunu artık biliyoruz Evet matrisin derecesi Eğer ne ise o şey birebirdir Bu iki yönlü bir ifade Yani eğer bir şeyin bile bir olduğunu varsa yiyorsak sıfır uzayı sadece sıfır vektörünü içeriyor dur yani sadece tek bir çözüm vardır sıfır uzayında sadece 0 Mac thor'u varsa sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır yani tabanı oluştururlar ve bu da eğer en tane taban vektörü varsa derecenin de en olacağı anlamına gelir diğer yöne de gidebiliriz derece Eren ise bunların hepsi doğrusal olarak bağımsızdır lar Bunlar Eğer doğrusal olarak bağımsızlar sa0 uzayında sadece sıfır vektörü vardır sıfır uzayı 0 O da çözümün bu kısmı da Sıfıra eşit olur ve Geriye tek bir çözüm kaldığı için de birebir olma durum ortaya çıkar yani birşey Ancak ve ancak dönüşüm matrisinin Derecesi en olduğunda bir pro