Ters Çevrilebilme Özelliği İçin Sadeleştirme

Son videoların amacı, R n'den R m'ye bir T dönüşümünün tersinin olup olmadığını anlamaktı. Birkaç video önce bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için iki koşulun gerektiğini göstermiştik. Dönüşüm de aslında bir fonksiyondur.Tersi alınabilir. İki koşul gerekiyor.Örten olmalı veya değer kümesinin tümü eşleşmeli.... Ayrıca bire bir olmalı.. Bire bir demenin bir başka yolu da değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinden en fazla bir elemanla eşleşmesidir. Daha önce yaptığımız birkaç videoda bir lineer dönüşümü bir m'ye n matrisiyle, A matrisiyle tanımlamıştık Bu koşul, ancak A'nın rankı dönüşüm matrisinin satır sayısına, m'ye eşit olursa, karşılanır, demiştik. Bir önceki videoda bunun doğru olmasının tek yolunun sütun vektörlerinin bağımsız olması veya bunların sütun uzayının doğuray vektörleri olması veya matrisin rankının n olması olduğunu gördük. Dönüşümün tersinin olması için, bunların ikisi de doğru olmalı. A'nın rankı m'ye eşit olmalı ve A'nın rankı n'ye eşit olmalı. Tersi olması için birkaç koşul gerekiyor. Dönüşümün tersi olması için, dönüşümün matrisinin rankı m'ye eşit olmalı ve bu da n'ye eşit olmalı. Yani m n'ye eşit olmalı. Yani burada ilginç bir durum var. Kare matrisiniz olmalı.Matris n'ye n matrisi olacak Bunların ikisi de doğruysa, m n'ye eşit olmalı ve matrisiniz kare olmalı. Ayrıca sütunları lineer bağımsız olan bir kare matrisiniz var. A matrisi böyle...a 1, a 2, a n'ye kadar. A'nın rankı n'ye eşit olduğu için, bu, n'ye n matrisidir. Böyle olması gerektiği söyledik, çünkü rankı satır sayısı olan m'ye eşit olmalı... ...ve rankı aynı zamanda sütun sayısı olan n'ye de eşit olmalı. Yani satır sayısı ve sütun sayısı aynı olmalı. Rankın sütun sayısına eşit olması, sütun vektörlerinin sütun uzayının doğurayı olması demektir. Peki bunu satır indirgenmiş basamak matris haline çevirirsek ne elde ederiz? Bu arkadaşların hepsi doğuray vektörü yani bunlar pivot vektörleriyle bağlantılı olacak veya pivot sütunlarıyla bağlantılı olacak. Yani bu 1, 0, birkaç 0 ve 0, 1, yine birkaç 0 Satır indirgenmiş basamak matris haline çevirdiğimizde bu sütunlar pivot sütunlara denk gelecek. Yani bunlar pivot sütunlar. n'ye n matrisi. peki her sütunu pivot sütun olan n'ye n matrisi nasıl olur? Bunu yazayım. A'nın satır indirgenmiş basamak matris hali her sütunun lineer bağımsız bir pivot sütun olduğu bir n'ye n matrisidir. Satır indirgenmiş basamak matriste, eğer her sütun lineer bağımsız pivot sütunsa, aynı pivot sütun iki kere olamaz. Belki biraz tekrar olacak, ama kavramı genel olarak anladınız. Peki her sütunu lineer bağımsız pivot sütun olan n'ye n matrisi nasıl olur? Köşegen boyunca 1, diğer her yerde 0 olan bir matristir. Bu matrisi daha önce gördünüz, n'ye n birim matrisi veya R n'deki birim matris. Bu matrisi R n'nin herhangi bir elemanıyla çarpınca, yine aynı elemanı elde edersiniz.Ama burası ilginç. Şimdi dönüşümün tersinin olması için çok kullanışlı bir koşulumuz var. T dönüşümünün R n'den - aynı boyuttaki uzayla eşleşmeli -R n'den R n'ye bir dönüşüm olduğunu söyleyelim. Bu, bir n'ye n matrisine eşit olmalı, çarpı tanım kümesindeki vektörler. Ve bunun tersi olması için, dönüşüm matrisinin satır indirgenmiş basamak matrisinin n'ye n birim matrisi olması gerekir. Buraya m de yazabilirdim ve bunun m'ye n matrisi olduğunu söyleyebilirdim,, ama bunun doğru olmasının tek yolu, bunun da n olması ve şunun da m olması. Belki bunları böyle bırakabilirim. m'leri bırakayım, çünkü can alıcı nokta bununla ilgili. Dönüşüm matrisinin tersinin olması için, dönüşüm matrisinin satır indirgenmiş basamak matris halinin n'ye n birim matrisi olması gerekir. Birim matris her zaman n'ye n matrisi olacak. Bu, çok önemli bir sonuç.Çünkü İleride bu bilgiyi dönüşüm ve dönüşüm tersi bulmak için kullanacağız.