İspat: Ters Çevrilebilme Özelliği f(x)=y'ye Bir Çözüm Sunuyor

bu elimizde x kümesi niye kümesiyle eşleştiren bire fonksiyonu var bu fonksiyonun ters çevrilebilir olduğunu var sayacağız şimdi bunun buradaki eşitlik Yani ev Fix eşittir ye için ne anlama geleceğini den bahsetmek istiyorum bunun değer kümesinde bulunan tüm yerler için ne anlama geldiğini bilmek istiyor Hemen not edeyim değer kümesi elemanı olan her ye için tanım kümesi elemanı olan tek bir x var mıdır öyleki efex eşittir ye olsun İsterseniz bu söylediklerimi Bir de çizim olarak görelim Bu ilk sevmemiz olsun yani tanım kümesi ve bu da değer kümesi olan ye ye şimdi bu kümenin elemanı olan bir değer mesela ama olsun ayı alıp en fonksiyonunu uyguladığımızda bunu ye eden bir ele bu eşleştiriyor bu eleman da Eva olacak değil mi Evet Elimizde olan bilgilere göre bunu söyleyebiliriz ve ben şimdi buradaki kümeden seçeceğim herhangi bir y değeri için bu değerde mesela be olsun efix eşittir b eşitliğinin Tekbir çözümü olup olmadığını görmek istiyorum Evet tek bir çözümü var mı yok buna bakalım Öncelikle bir çözüm olup olmadığını düşünmemiz lazım demek istediğim ev dönüşümünü uyguladığımızda bizi buraya getiren herhangi bir x değeri olup olmadığını ve sonra da bunun tek olup olmadığını öğrenmek istiyorum Anlaştık Mesela bu Eğer bu şekilde ise bu çözüm tek bir çözümdür Ama eğer burada Yani ilk kümesinde dönüşümü uyguladığımızda bizi yine bu noktaya getiren bir başka değer varsa bu çözüm çözüm olamaz Evet o zaman tek değil öğrenmek ve matematiksel olarak ifade etmeme isterseniz ters çevrilebilme özelliğinin değer kümesindeki herhangi bir ye için tek bir çözüm sunmakla alakalı olup olmadığını Evet Bunu öğrenmek istiyorum Bunun için isterseniz işe ters çevrilebilme tanımıyla başlayalım ve buradan bir yere varıp arayacağımız ı görelim Elif'in ters çevrilebilir olması tanım gereği Bu arada kullandığım bu Sembol en az bir anlamına gelir not ediyorum eğer efim tersi olarak adlandırdığımız bir fonksiyon Varsa bunun yeden X1 eşleştirme yapacağını da hemen ekleyelim öyleki Elif'in tersi bileşke ev xd ki birime eşit olacak Tüm bu yazdıklarım yüksek 21 elemanı önce Efe'yi sonra fenin Percy uyguladığımda bu noktaya yani başladığım noktaya geri dönmem yani x Birim fonksiyon uygulamak anlamına geliyor sonuç bu girdi değer olarak verdiğimiz değeri elde ediyoruz Anlaştık mı ve bu da evin tersini nefile bileşkesinin birim fonksiyona eşit olması olarak ifade edilir devam edelim öyleki fonksiyon bileşke fonksiyonun tersi de yerdeki Birim fonksiyon eşit olacak yerde başlıyoruz önce ters Bonus yonu sonra da fonksiyonu uyguluyoruz ve yedeki aynı noktaya geri dönüyoruz ve bu da Birim fonksiyon uygulamakla aynı şeydir Evet bundan önceki videoda ters çevrilebilme özelliği Ne bu şekilde tanımlamıştı ama şimdi Önemli olan buradaki fonksiyon pembe ile bir kere daha yazayım efex eşittir ye ve büyük ye kümesindeki her bir küçük ye için tek bir ilk çözümü olup olmadığını bulmak istiyoruz evin ters çevrilebilir olduğunu biliyoruz evin ters çevrilebilir olması bu terse fonksiyonun oldu ters ev fonksiyonu bu yazımızda da yeden X1 eşleştirme elde edeceğimiz anlamına geliyor Kısacası bunu ye de ki Herhangi bir elemana uygulayabiliriz mesela buradaki yeyi ele alalım efin tersini buna uyguladığımızda buraya gideceğiz veye epikse eşit olacak Haydi evin tersini bunu uygulayalım bu eşitliğin iki tarafına evin tersini uygularsak eşitliğin iki tarafında da aynı şey olduğunu Yani bunların ikisinin de yerdeki bir eleman olduklarını biliyoruz ve buna ters eşleştirme uyguladığımızda bizi istekli Bir elemana götürmesi lazım değil mi Hadi yapalım Evet iki tarafında ters fonksiyonunu alırsam mesela buradaki bir ye elemanına ters fonksiyon uyguladığımızda 2'deki Bir elemana varırız ve bu neye eşit olur sağ tarafa efin tersi yazıyorum ve bu buradaki herhangi bir elemanı eşit olacak peki ya sol taraf hakkında ne düşünüyorsunuz bu ters fonksiyonun tanımına bakarsak efile bileşkesini aldığımızda birim fonksiyonu elde ettiğimizi görebiliriz demek istediğim şu şekilde yazayım Bu evin tersi ile Elif'in bileşkesine ve bu da 2x Birim fonksiyon uygulanmasına eşit Peki x Birim fonksiyon uygulandığından elde ederiz Tabii ki de Exo O halde eşitliğin sol tarafına eksi yazabiliriz işe evin ters çevrilebilir olduğu fikriyle başladı ters çevrilebilir liğin tanımını kullanarak bir ters ev fonksiyonu olduğunu söyledi Bu eşitliğin iki tarafına bahsettiğimiz ters fonksiyonu uyguladık ve sonuç olarak büyüklüğe kümesindeki herhangi bir küçük ye için tek bir x olduğunu bulduk bu exe bu eşitliği sağlayan teksir Bunun tek olduğunu nereden bildiğimi hatırlıyor musunuz olası tek ters fonksiyon bu olduğu için evet olası tek ters fonksiyon İşte buradaki ve bunun sadece bu ters fonk bu doğru olduğunu bundan önceki videolarda ispatlamış tık ev Eğer ters çevrilebilir bir fonksiyon sadece bir tane ters fonksiyonu vardır hatırlarsanız iki tane ters fonksiyon olabilir mi diye düşünmüş ama Bunların birbirine eşit olduklarını görmüştük sadece bir tane ters fonksiyon olduğuna ve büyük diye kümesindeki tüm elemanları uygulanabildiği ne göre bir çözüm olduğunu biliyoruz demektir tek bir fonksiyon olduğuna ve bu fonksiyonunda bizi sadece tek bir elemana götüreceğini bildiğimize göre de elde ettiğimiz çözümün tek çözüm olduğunu söyleyebiliriz Evet bunu da not edelim turuncuyla yazalım Elif'in ters çevrilebilir olduğunu biliyoruz hemen yazıyorum Eğer ters çevrilebilir sen hep ics ye ye eşittir ve bu tüm yerler için geçerlidir Evet büyük ters a harfi görünen bu Sembol her Veya tüm anlamına gelir Evet yere kümesinin elemanı olan tüm yerlerin tek bir çözümü var bu ve bu tek çözüm yere uygulanan ters fonksiyondan başka da bir şey değildir Bu her ne kadar çok kolay bir şey gibi görünsede ulaşmak istediğimiz yere varana kadar Elimizden geldiği kadar kesin konuşmamız gerekir isterseniz bir de bunun tersinin doğru olup olmadığına bakalım Evet şimdi de y kümesinin elemanı olan tüm yerler içine Fix eşittir yeğenin Tekbir çözümü olduğu varsayımından yola çıkacağız ve bunun tersinin doğru olup olmadığına bakacağız kısaca bu doğruysa ters çevrilebilir mide ispatlayabiliriz biraz düşünelim herhangi bir yere için demiştik kümeleri bir kere daha çizmek istiyorum Evet bu x kümesi ve ve bu da ye kümesin şimdi buradan seçeceğimiz herhangi bir eleman için eşitliğin tek bir çözüm olduğu varsayımından başlayacağız demiştik Bu tek çözüme herhangi bir isim verebiliriz ama gelin biz x diyelim Ben buradan seçeceğimiz herhangi bir ye için size efex eşittir ye eşitliğini sağlayan bir x bulabilirim demeye çalışıyorum bu arada bulabilirim diyorum ama bulduğumu çözüm Aynı zamanda da bulacağım tek çözüm Buna dayanarak yeni bir fonksiyon tanımlayalım mesela adı Es olsun Evet Eski fonksiyonu eski fonksiyonu 7nx eşleştirme yapıyor ve Es ye Bu arada küçük ye büyüklüğe kümesinin bir elemanı Evet ne diyordu mes y x kümesindeki efix eşittir yeğenin tek çözümüne eşit biraz karmaşık görünsede bunun geçerli bir fonksiyon tanımı olduğunu söyleyebiliriz Evet burada herhangi bir yere değeriyle başlıyoruz bu kümenin bir elemanı olacak ve bu eşitliğe tek bir çözüm bulacağız bu buradaki herhangi bir elemanın tek bir çözümle eşleştir ile bileceği ve bahsi geçen tek çözümün de bu eşitliğin tek çözümü olduğu anlamına gelir O halde tüm yerleri ev 11Y eşitliğini sağlayan tek çözümleriyle eşleştiren bir fonksiyon tanımlayabiliriz Öyle değil mi Bu fonksiyonu da işte bu şekilde tanımladık ve bize yedeni x geçerli bir eşleştirme veriyor ayrıca bunun geçerli tek bir değeri olduğunu da biliyoruz Çünkü bu kümedeki Herhangi bir küçük diye değeri efix eşittir ye 3'ün tek bir çözüme sahip Evet bu sadece tek bir değere eşit olabilir o halde bu da tutarlı bir tanımdır şimdi buradan bir eleman seçme bu mesela be Olsun be büyük yeğenin elemanı şimdi buradaki yeni fonksiyonu kullanarak bir eşleştirme yapalım bunu alacağız ve X'in bir elemanı olan ESP ile eşleşti RC iz tanıma göre Es beğenin çözüm olduğunu biliyoruz Tüm bu söylediklerimi sürekli tekrar ediyor muşum gibi hissediyor olabilirsiniz ama aslında tekrar yapmıyorum yazıyorum Es beni nefix Eşittir Ben bu çözümü olduğunu biliyoruz Ve eğer bu doğruysa ki bu arada bunu fonksiyonu uygulayarak elde ettik fonksiyonun herhangi bir yeri bu eşitliğin tek çözümün eleştirdiğini söylemiştik her yeğenin tek bir çözümü vardır öyle değilmi şimdi eğer bu doğruysa esbey Ee fonksiyonunu uygulasam ne olur dersiniz Bunun tek çözümü olduğunu söylemiştim demek istediğim bu fonksiyona girdi olarak bunu verirsek ne elde ederiz Tabii ki de Bey bunu efile senin bileşkesinin be uygulanmasının Bey'e eşit olacağı şeklinde de ifade edebiliriz ev file senin bileşkesini almak BYS uygulamak ve sonra da buradan elde ettiğimiz sonu cafeyi uygulamakla aynı şeydir Çünkü Sonuç olarak değil elde ederiz burada olan şey budur Anlaştık mı ve bu da yedeki birim fonksiyonun Bey'e uygulanmasından başka bir şey değil ve buna bağlı olarak bu fonksiyonun var olduğunu ya da böyle bir fonksiyon kurabileceğimiz i söyleyebiliriz demek istediğim bunun var olduğunu zaten biliyoruz Bu fonksiyonu her ne kadar ben kurmuş olsam da Umarım geçerli bir tanem olduğu konusunda Sizlerde ikna edebilmiş indir ve bunun herhangi bir yere için ise sadece tek bir çözüm olduğu varsayımına dayanarak bunu geçerli bir şekilde tanımlayabiliriz var olması yanında evin Az önce kurduğum fonksiyonla bileşkesini aldığımızda yedeki birim fonksiyonu elde ediyoruz şimdi küçük bir deney daha yapalım kümeleri bir kere daha çizeceğim books kümes ilk sen bir eleman alalım bunu alarak adlandır alım ve bu da ye kümesi aya fonksiyon uyguladığımızda yeğenin bir elemanını elde edeceğiz bunu da Eva olarak yazıyorum sihirli fonksiyonunu burada uyguladığımda yerden herhangi bir eleman için size bu birliktelik çözümünü vereceğim yapalım mı Evet Haydi şey bunu uygulayalım sey Eğer bunu uygularsak tek çözüm elde edeceğim Öyle değil mi Hemen not ediyorum seyi buna uygular Sam Belki de belki de şu şekilde Çizmeli dedim Yani bunun henüz bununla içeceğini söylemedik Evet buna eski uyguladığımızda burada nereye varırız bu Esin bu noktaya Yani ev ayak uygulanmasıdır Öyle değil mi ve bunun tek çözümü olduğunu biliyoruz hemen yazayım bu efix eşittir ye eşitliğinin tek çözümünü eşit bahsettiğimiz y değeri Eva Es fonksiyonun bizi epiks fonksiyonunun eşit olduğu a noktasına götürdüğünü aklınızdan çıkarmayın O halde bu yani e Sefa'ya da bu noktada diyelim efix çeşitleri yeğenim bu elemanı eşitliğin tek çözüm yeğenin bu elemanına da Efa demiştik yine Belki biraz karmaşık olacak ama lineer c bu görmeden size elimde enfeksi eşittir Eva eşitliği olduğunu söyleseydin bana bu eşitliğin tek çözümün ne olduğunu söyleyebilir miydiniz Evet içine eşittir Ve tabii ki de Ala ve bu da efix eşittir Efa eşitliğinin tek çözümünün Ah olduğu anlamına gelir başlangıçta yaptığımız varsayımlara dayanarak Bunun tek bir çözüm olduğunu da biliyoruz Evet bu ayır hemen yazıyorum Eğer içinde ev içinde Ah eşittir a ya da Es bileşke fina ya uygulanması aya eşittir ve bu da Es bileşke phinx kümesindeki Birim fonksiyon olduğu anlamına gelir bu ix1 eşleştirme olduğuna göre Es bileşke film xd ki Birim fonksiyon olduğunu yazabiliriz Belki şu ana kadar neler yaptı büyük diye kümesinden seçeceğimiz herhangi bir yere değeri için bunu yani efix eşittir diye iyi doğru klan tekbir bu çözümü elde etti başlangıçta yaptığımız varsayımlardan biri Buydu hatırlıyorsunuz değil mi ve buradaki herhangi bir elemanı bu eşitliğin tek çözümüyle eşleştir Enes fonksiyonunu kurduk bunun var olduğunu gördük ve var olmasının yanı sına kurduğumuz fonksiyonu nefile bileşkesinin yerdeki Birim fonksiyon eşit olduğunu da gördü ek olarak Esin f ile bileşkesinin x ki Birim fonksiyon eşit olduğunu da Görür Bunu da yazayım Evet bunun yanında ev bileşkesinin yerdeki Birim fonksiyon ay eşit olduğunu gördü kesin Var olduğunu da birincisi Ben tanımadığım için İkincisi de buradaki her ye için bunun bir çözümü olduğundan dolayı biliyoruz buna bağlı olarak ev fonksiyonu muz için bu ikisini doğru kılan bir fonksiyon bulmayı başardık Evet böyle diyebiliriz tanım gereği ters çevrilebilir olmak demek de budur Evet bu evin ters çevrilebilir olduğu anlamına geliyor anlaştık bu İsmail Efe'nin ters çevrilebilir olması için şöyle ifade edeyim eefc sen yy1 eşleştirme yapıyor ters çevrilebilir olmak demek yeden x eşleştirme yapan bir ters fonksiyon olmalı ve ters fonksiyonun fonksiyonla bileşkesini aldığımızda da ilk Seki birim fonksiyonu elde etmemiz gerek demektir Buna ek olarak fonksiyonun tersi ile bileşkesini aldığımızda da yerdeki bir in fonksiyonu elde etmeliyiz ve biz böyle bir fonksiyon bulduk bu eski fonksiyonu Bu ikisi doğru olduğuna göre Esin fenin tersine eşit olduğunu da artık yazabiliriz bu durumda evde ters çevrilebilir bir fonksiyon olur evet umarım sizin için de faydalı bir video olmuştur yaptığım ispat sürekli ilk süreyi arasında gidip geldiğim için biraz karmaşık gibi görünüyor ama videonun başında ev Eğer ters çevrilebilir bir O her ye için epik çeşit Türkiye'nin tek bir çözümü vardır demiştik videonun ikinci kısmında da bunun tersinin de doğru olduğunu gördük yani büyük yeğenin elemanı olan tüm yerleri için Efes eşittir yeğenin tek bir çözümü varsa ev ters çevirebilir bir fonksiyondur dedi bu varsayımların ikiside birbirini ima ettiğine göre hemen videonun son cümlesini de yazalım x y y bir eşleştirme yapan ev fonksiyonunun ters çevrilebilir bir fonksiyon olması büyük yeğenin elemanı olan her ye içine Fix eşittir yeğenin Tekbir çözümü olmasıyla mümkündür Evet araya koydum bu iki yönlü Ok bu iki ifadenin birbirini imalat diye anlamına geliyor bu videodan çıkarmamız gereken derste zaten bu bir fonksiyonun ters çevrilebilir olması değer kümesindeki her değer için tek bir o olması anlamına gelir Anlaştık mı canım