Bir Doğruya Yapılan İzdüşümün Matris Vektör Çarpımı Olarak Gösterilmesi

Bir önceki videoda, doğrunun bir vektörün skalerle çarpımı olarak tanımını görmüştük. Skaler,bu arada herhangi bir reel sayı olacak. Bu L doğrusu üzerine izdüşümü bir transformasyon olarak tanımlamıştım. O videoda R 2'de transformasyonlar çizmiştim, ama genelde R n'den R n'ye transformasyon olabilir. x'in L üzerine izdüşümünü, x'in bu tanım vektörüyle iç çarpımı olarak tanımlamıştık. x'le bu tanım vektörünün iç çarpımı, bölü tanım vektörünün kendisiyle iç çarpımı. Çarpı doğrunun tanım vektörü.Tanımımız böyleydi. Bunu gördüğünüzde, aklınıza bazı şeyler gelmiş olabilir. Bir vektörün kendisiyle iç çarpımını aldığınızda, bu neye eşit olur? Bu vektörün kendisiyle iç çarpımı, vektörün uzunluğunun karesine eşit olur. Bunu da x iç çarpım v, bölü v'nin uzunluğunun karesi, çarpı v olarak tekrardan yazarız v'nin uzunluğu 1 olsa, çok güzel olurdu. v'nin uzunluğu 1 olsaydı, v'ye birim vektör derdik. İzdüşüm formülümüz, x iç çarpım v çarpı, bu sadece bir skaler, çarpı v olurdu.Peki, birim vektör olup olmadığını nasıl anlarız? Doğruyu şöyle çizeyim. Doğru, içindeki v vektörü cinsinden tanımlanabilir. Doğrunun içindeki herhangi bir vektörü alabiliriz. v vektörü şöyle olabilir.Diyelim ki, birisi size birim vektör olmayan bir v vektörü veriyor. v'nin uzunluğu 1'e eşit değil, diyelim. Bir doğruyu birim vektör cinsinden nasıl tanımlarsınız? v'yi normalize ederiz. Bir birim vektör olarak tanımlarız.Buna u diyelim ve u birim vektör olsun. 1 bölü v'nin uzunluğu çarpı v'ye eşit. Bunu size birim vektör videosunda göstermiştim. Bir vektörle aynı yönde bir birim vektör elde etmek için, vektörü uzunluğuna bölmek veya vektörü 1 bölü uzunluğuyla çarpmak yeterli. Genelde, doğruyu yeniden tanımlayabiliriz. v'nin tüm skaler katları, birim vektörünün de skaler katı olacak, çünkü u v'nin skaler katı. Doğrumuzu yeniden tanımlayabiliriz. Eğer L doğrusunu, birim vektörün skaler katları olarak tanımlarsak, izdüşüm tanımımız çok kolaylaşır. x'in L üzerine izdüşümü, x iç çarpım birim vektör, çarpı birim vektör olur. Bir önceki videoda doğruyu tanımlayan vektöre, 2'ye, 1 demiştik.x vektörü de 2'ye, 3'tü. Bu tanımı kullanmak istiyorsanız, bunu birim vektöre çevirmek gerekiyor. Önce vektörün uzunluğunu bulursunuz. v vektörünün uzunluğu eşittir 2 kare artı 1 karenin karekökü.Şöyle yazayım. Karekök, 2 kare artı 1 kare, yani kök 5. Birim vektör u eşittir 1 bölü bu çarpı şu. 1 bölü kök 5 çarpı 2'ye, 1. Çarpabilirsiniz veya bu şekilde bırakabilirsiniz. Sıfırdan farklı her vektör için, aynı yönde bir birim vektör bulabiliriz. Böyle herhangi bir şeyi şöyle bir şeye indirgeyebilirsiniz. v'nin birim vektör versiyonunu bulabiliriz. Bunun R n'den R n'ye bir transformasyon olduğunu söylemiştim.Ama lineer transformasyon olup olmadığından emin değiliz. Lineer transformasyonun iki koşulu var. İki vektörün L üzerine izdüşüm vektörünü alalım. a vektörü artı b vektörü.Vektörlerin toplamı. Bu, lineer transformasyon ise, izdüşümlerin toplamına eşit olmalı.Bakalım, böyle mi. Daha kolay olduğu için, birim vektör versiyonunu kullanalım. a artı b, yani x'imiz, iç çarpım u. Bunun tamamı çarpı birim vektörümüz. İç çarpımın dağılma özelliği olduğunu biliyoruz zaten. Yani bu, eşittir a iç çarpım u artı b iç çarpım u. Bunlar birim vektör. Bunun tamamı, çarpı u. Bunlar skaler sayılar.Skalerle çarpmanın da dağılma özelliği var. Bu, eşittir a iç çarpım u, çarpı u vektörü. Unutmayın, bu, skaler olacak. Artı b iç çarpım u çarpı birim vektör u. Bu, neye eşit? Bu, a'nın izdüşümüne eşit. Tanım olarak, a'nın L üzerine izdüşümüne eşit. Bu tanıma göre.Doğrunun birim vektörü tanımını kullandığımızı düşünüyoruz.Bunun tamamı da, artı b vektörünün L üzerine izdüşümü. Lineer transformasyonun birinci koşulunu sağlamış olduk. Vektör toplamının izdüşümü, izdüşümlerin toplamına eşit. İkinci koşula göre ise, skaler katın izdüşümünün, katı olması lazım. Bunu yazayım. a vektörünün skaler katının L üzerine izdüşümü nedir? c a iç çarpım u, çarpı u birim vektörü.Bu, biraz daha kolay.Bu, şimdi skaler kat. İç çarpım özelliklerinde, bunun c çarpı a iç çarpım u, çarpı u'ya eşit olduğunu görmüştük. Yani bu eşittir, c çarpı, a'nın L üzerine izdüşümü. Lineer transformasyonun iki koşulunu da sağlamış olduk. R n'de L doğrusu üzerine izdüşümün lineer transformasyon olduğunu göstermiş olduk. Buna göre, bunu matris transformasyonu olarak ifade edebiliriz. x'in L üzerine izdüşümünü yeniden yazabiliriz. x iç çarpım doğruyu tanımlayan bir birim vektör. Birim vektör olduğunu belirtmek için üzerine şimdi şöyle küçük bir şapka çizelim. Çarpı birim vektörün kendisi, sonuçta vektör elde etmemiz için.Bunu bir matris vektör çarpımı olarak nasıl yazabiliriz? Bir matris çarpı x olarak yazmak istiyorum. Matris işlemlerini kolaylaştırmak için, R 2'de çalışalım. L üzerine izdüşümün R 2'den R 2'ye bir eşleme olduğunu varsayıyorum. Bunu herhangi bir boyuta da uygulayabilirsiniz. Eğer R 2'de bir eşleme düşünüyorsak, A matrisi 2'ye 2 matrisi olacak. Birçok videoda A matrisini bulmak için, sütunları standart doğuray vektörleri olan birim matrisi kullanmıştık. 0, 1. Veya 1, 0 ve sonra 0, 1. Sonra da transformasyonu bu sütunların her birine uygulamıştık. A'nın ilk sütunu bu sütunun L üzerine izdüşümü olacak. Bunu nasıl buluruz? Bu, çarpı u. u'yu yazayım. u eşittir.u 1, u 2 diyelim. Bunun birim vektörle iç çarpımını almamız gerekiyor. İzdüşümün bu iç çarpım yani şu, çarpı bu vektör olduğunu biliyoruz.Bunu yazalım. 1, 0 iç çarpım birim vektör u, yani u 1, u 2. Çarpı birim vektörümüz.Çarpı u 1, u 2 vektörü. Transformasyon matrisinin birinci sütunu böyle olacak. İkinci sütun için de aynı şeyi yapacağım. İzdüşüm tanımına göre, bunun birim vektörümüzle iç çarpımını alıyoruz. 0, 1 iç çarpım u 1, u 2 birim vektörü. Bunun u 1, u 2 birim vektörüyle çarpımını alacağım. Bu, çok karmaşık görünüyor, ama transformasyon matrisini bulduğumuzda sadeleşecektir. Hadi bunu bulalım. Bu ikisinin iç çarpımı nedir?. Şuraya yazalım. 1 çarpı u 1 artı 0 çarpı u 2. Yani sadece u 1. Bu, u 1 olarak sadeleşir.Çarpı u 1, u 2. İlk sütunumuz böyle. İkinci sütun ise, bu ikisinin iç çarpımını alırsam, 0 çarpı u 1 artı 1 çarpı u 2. Yani, u 2 çarpı u 1, u 2. Bunu çarparsam ne olacak? Sütun olarak yazayım. u 1 çarpı u 1 eşittir u 1 kare. u 1 çarpı u 2 eşittir u 1, u 2. u 2 çarpı u 1 eşittir u 2 çarpı u 1. u 2 çarpı u 2 eşittir u 2 kare tamam. Bana herhangi bir birim vektör verirseniz, size başka bir vektörün bu birim vektörün tanımladığı doğruya izdüşümünü bu matrisle hesaplarım. Çok uzun bir ifade oldu.Daha önce yaptığıma geri döneyim. Doğru veya vektör üzerine izdüşüm alıyorum. Bir önceki videodaki örneğin aynısını yapalım. Şöyle bir v vektörüm var. v vektörü eşittir 2, 1. v vektörü böyle. v'nin tanımladığı doğru üzerine izdüşümü nasıl buluruz? Bu doğru üzerine.v'nin tanımladığı doğru üzerine. İlk olarak, v'yi birim vektöre çevirelim. Aynı yönde bir birim vektöre çevirebiliriz. u birim vektörü diyelim. Bunu şurada yapmıştık. v'yi uzunluğuna bölmüştük.v'yi uzunluğuna bölelim. Birim vektör, 1 bölü kök 5 çarpı v vektörü.1 bölü kök 5 çarpı v vektörü. Burada bir birim vektörle başlıyorsunuz. Transformasyon matrisini oluşturuyorsunuz. Bu u ise, o zaman matrisimiz neye eşit? Bu, u.Matriste u 1 kare var.u 1 kare neye eşit? u'yu tekrardan yazalım. Bu doğruyu tanımlayan u birim vektörü eşittir 2 bölü kök 5, 1 bölü kök 5. Bu skalerle çarptım.Şimdi bu matrisi oluşturmak için, u 1 kareyi alıyorum.Bunun karesi nedir? 2 kare, 4, bölü kök 5 kare, yani 5.4 bölü 5. u 1 çarpı u 2 nedir? 2 çarpı 1 bölü kök 5 çarpı kök 5.Yani 2 bölü 5. Şimdi şu ikisini çarptım. u 2 çarpı u 1 nedir? Aynı şey.Çarpmada sıra fark etmez. Bu da 2 bölü 5. u 2 kare nedir? 1 kare bölü kök 5 kare eşittir 1 bölü 5. Şurada başlangıç noktası, burada da bir x vektörü olsun. Şimdi transformasyonumuzu tanımlayabiliriz. u birim vektörünün katlarının oluşturduğu L doğrusu üzerine izdüşüm.İşte burada. Bu, L doğrusu. Herhangi bir x vektörünün L üzerine izdüşümü bu matrise eşit. 4 bölü 5, 2 bölü 5, 2 bölü 5, 1 bölü 5 çarpı x'e eşit. Bence bu çok güzel bir sonuç. Yine her şeyi matris çarpımına indirgeyebildik. x'i bu matrisle çarpınca, L doğrusu üzerine izdüşümünü elde edersiniz Şu a vektörünü bu matrisle çarpınca, doğru üzerine izdüşümünü elde ettik. Bu vektörü matrisle çarpınca, doğrunun üzerindeki şu vektörü elde edeceksiniz. Bunu çıkarınca, dik bir vektör elde edersiniz. Tanımı biliyoruz. İzdüşüm, vektörün gölgesi gibidir.