Doğrusal Dönüşüm Örneklerleri: R2'de Dönmeler

İyi bakalım bir tepe açısı etrafında bir dönme dönüşümü için doğrusal bir dönüşüm oluşturabilecek miyiz bu rekare de ki Herhangi bir vektörü alıp aynı vektörün dönme dönüşümü uygulanmış haliyle eşleştiriyor uygulayacağımız dönmeyi isterseniz şöyle tanımlayalım 1x vektörünün [ __ ] eşittir X'in TED alıp bir açıyla saat yönünün tersine dönmesine Evet yeni doğrusal dönüşüm araçlarımızla oluşturmak istediğimiz şey bunu yapabileceğimiz den emin olmak için elimizde gerçek doğrusal bir dönüşüm olduğundan da emin olmalıyız emin olmak için ise görselleştirme Ye çalışacağım elimizde matematiksel bir tanımda olmadığına göre elimden geldiğince doğru bir çizim yapsam iyi olacak hızlıca Eksen lerimizi çizelim Evet bundan daha iyisini yapabilirim değil mi bu dik Evet bu da yatay ekseni miz ve buna X1 Buna da X2 adını verelim Bir önceki videoda X ve Y eksenleri demiştik ama bunun vektör lerimizin birinci bunun da ikinci bileşeni olduğunu Aklımızdan çıkarmayalım Şimdi de elimizde bir x vektörü olduğunu düşünelim bunun saat yönünün tersinde dönmesiyle buna benzeyen bir vektör elde edeceğimizi biliyoruz dönmeleri mavi ile göstereyim Evet buna benzeyen bir şey olacak Buradaki açıyı da teta olarak belirleyelim İşte bu ilk sektörünün katılıp açıyla dönmesin burada vektörden bahsettiğimi de bir kere daha tekrar edeyim peki bunun doğrusal bir dönüşüm olduğundan emin olmak için ne gerekiyor Öncelikle iki vektörün toplamının Cat alıp bir açıyla dönmesinin her birinin t bu dönmesinin toplamına eşit olduğunu göstermemiz lazım Hemen not ediyor exe vektörünün [ __ ] artı ye rektörünün [ __ ] size bunu görsel olarak göstereceğim bu ilk sektörü ytüye rektörünün de buna benzeyen bir şey olduğunu düşünelim orjinal vektörleri sarıyla çizeceğim Evet bu da ye vektörü olsun peki x artı y nedir bunun başlangıcını ixion bitişine getirelim ya Niye buraya taşıyacağım standart pozisyonunda olmayacak ama bunu yapınca ise artı yeğenin buna benzeyeceğini söyleyebiliriz yine düzgün çizemedim bir daha deneyeceğim Evet x artı y yi bu şekilde çizebilirsen Hemen not ediyorum 2x artı ye peki bunun Cat alıp bir acıyla dönmesiyle ne elde ederiz bunu theta bir açı ile döndürsem göz kararı çiziyorum Ama yaklaşık olarak buna benzeyen bir vektörel de ederiz Evet bu da ise artı yeğenin chat alıp bir açıyla döndürülmesi sonucu elde edeceğimiz ve kdar şimdi de bunun X ve Y y önce döndürüp sonra topladığımızda elde edeceğimizi dedektörle aynı olup olmadığına bakacağız yeyit et alıp ve açıyla döndürürsek her şey göz kararı Yani aslında bir cetvel ve açı ölçer kullanmamız gerekirdi ama önemli olan işin mantığını anlamanız Evet işte böyle bunun da yeğenin dönmüş hali olduğunu not edelim Burası da t-tyt şunu farklı bir renkle gösterirsem daha iyi olacak X'in dönmüş hali de buradaydı ikisinin dönmüş haline yeğenin dönmüş halini eklersek çizimler çok da net değil ama dediğim gibi önem Ne yapmaya çalıştığını anlamanız bu ilksin dönmüş hali ile yeğenin dönmüş halinin toplamına eşit ve ilkse artı yeğenin dönmesiyle aynı vektörü elde ettiğimizi sizde farkettiniz diyeyim görsel oldu belki ama kabul edilebilir olduğunu düşünüyor Mehmet Böylece birinci koşulu sağladık bunun doğrusal bir dönüşüm olması için sağlamamız gereken ikinci koşul ölçeklendirilmiş bir vektörün teta lık bir açı ile döndürülmesi nin döndürülmüş vektörün ölçeklendirilmiş haline eşit olması gerektiği koşulunu da yine görsel olarak ispatlamaya çalışan dikey eksem Bu da yatay Eksen ve bu daha bizim x görünmez olsun Şimdi de bunun ölçeklendirilmiş bir versiyonunu çizeceğim bunun ölçeklendirilmiş halinin Bu şekilde olduğunu düşünelim WC Çarpı x bu not ederim Bunu test alıp bir açıyla döndüreceğim izi söylemiştim bunu yaparsa yaklaşık olarak böyle bir Vector elde ederiz saat yönünün tersine döndürüyor duk Evet bu C çarpık X'in saat yönünün tersinde TED alıp bir açıyla döndürülmesi sonucu elde ettiğimiz vektör dür Peki ikisi önce döndürüp sonra ölçeklendirilir sekne olur Hadi bir de bunu demiyorum döndürdüğümüzde bunu elde ederiz Öyle değil mi bu ixion TED alıp bir açıyla döndürülmüş halidir bunu bir de ölçeklendir dediğimizde bunu ölçeklendir dediğimizde bunu elde ediyorsak bunu ölçeklendir dediğimizde de bunu elde edeceğimizi görüyorsunuz değil o halde görsel olarak ikinci koşulu sağladığımız da gördük ve dolayısıyla dönmenin doğrusal bir dönüşüm olduğunu artık söyleyebiliriz ve matematiksel bir tanım yapmak için de ve hazırız isterseniz dönüşümü yapacak bir matris oluşturup ve kareden R kareye olan dönme dönüşümün ikiye mm matrisle tanımlanabilecek sini yazıyorum matrisin ikiye iki olmasının sebebi eşleştirmenin R kareden rekare olması çarpık herhangi bir x vektörü bunu yapabileceğimi söylüyorum Çünkü az önce dönme dönüşüm doğrusal bir dönüşüm olduğunu gördük ki Ay nasıl bulabiliriz bu R kareden R Kariye bir eşleştirme olduğundan işe R karedeki birim matris de başlayacağız bu 1001 bunun sütunları rekabetin taban vektörleri de öyle değil mi bu sütün vektörün Ee bir Buna da e 2 diyebiliriz aynı bulmak için dönüşümü bu sütunlara uygulamamız gerekiyor hemen yazıyor var ama adresinin birinci sütünü dönme dönüşümün bir sütuna uygulanması ikinci sütunu dönme dönüşümü çarpı ikinci sütün vektörüne eşit olacak sıfır w1h ve tam adresini bu şekilde bulabiliriz ama bunları nasıl bulabiliriz dersiniz burada rakamlar elde etmek istiyorum ama bu şekilde biraz zor Evet Sizce bunu nasıl yapabiliriz Eksen lerimizi yeniden çizelim farklı bir renk mesela gri pek bu dikey Bu da yatay ekseni miz Olsun bu da X1 Buna da X2 adını veriyorum bu taban vektörünü nasıl çizilir x11 x2d sıfır olduğuna göre e biri bu şekilde çizebiliriz biraz daha canlı bir renk Evet bu daha iyi oldu ehe bir şimdi bir 12'ye bakalım sarıyla çizeceğim Evet işte böyle 40 vx2 yönünde bir şimdi E biriket alıp bir açıyla döndürürsek ne elde ederiz şuraya yapayım uzunluk hala bir ama yönü bu şekilde değişecek öyle değil her detayı da yazıyım Tamam E bir intet alıp bir açık ile döndürülmüş Al işte bu bunların hepsinin vektör olduğunu da belirtelim Peki bunların ne Evet bu yeni vektörü nasıl tanımlayabiliriz işin içine Biraz trigonometrik atmanın zamanı geldi Yeni vektörün X1 koordinatı ya da girdisi buradaki uzunluğa eşit olacak şuraya dik bir üçgen çizersen bu tetaya komşu olan kenar Olur öyle değil hipotenüsün uzunluğunun bir olduğunu da bildiğimize göre bu o kadar uzunluğu nasıl bulabiliriz komşu bölümü Hipo temsil şuraya yazayım komşu bölümü hipotenüs Yani bir Cosinüs tetaya eşittir bunun doğrudan trigonometrik tanımlardan geldiğini hatırlıyorsunuz değil kosinüs komşu bir Hipotermi üstüne ve komşu bölümü hipotenüs kocing detaya komşu olan kenar yeni X1 koordinatı mız olacak Burada a bölü bir var biri görmezden gelebiliriz ve böylece komşu kenarının yani anın kosinüs tetaya eşit olduğunu bulmuş olduk o halde döndürülmüş ve dönüm buradaki uzunluğu ya da yatay bileşeni diyelim Ne eşitmiş evet Cosinüs tekrar Peki ya dikey birleşin ya da koordinatı dikey bileşenleri buradaki uzunluğa eşit olacak öyle diyeyim bu uzunluk tatum bu açısındaki kenar oldu ben bu kez sinüste tayı kullanacağız hemen yazıyorum eşittir sinüste karşı böyle hipotenüs yani bir sinüs tetaya eşitse bir yine görmezden geleceğiz sinüste ta karşı kenara eşit olacak buna bağlı olarak dönme sonucu elde ettiğimizi bekliyorum yatay bileşeni Cosinüs teta dikey bileşeni desin tetaya eşit oldu Evet işte size taban vektörünün döndürülmüş halpek ya E içi Yine benzer bir mantık kullanacağız döndürdüğümüzde ve ve buna benzeyen bir vektörel de ederiz giyim bu açıda tekrar buraya da bir dik üçgen çiziyorum şimdi şimdi bu yeni vektörün x bileşenini bulmamız lazım Evet aradı mı z2'nin TED alıp bir açıyla döndürülmüş halinin bileşenleri 12'nin dönmüş hali de işte bu eşittir de koyalım vektörün ilk birisi ya da belirlediği ilk nokta bu uzunluk olacak bu uzunlukla bu uzunluğu birbirine eşit olduklarını görüyorsunuz öyle değil Bu arada aradığımız şey koordinat olduğundan uzunluğun negatifini almamız gerektiğini de unutmayalım Ne de olsa x ekseninde negatif yöne doğru ilerliyoruz burada bir açı var ve bu bir dik üçgen aradığımız kenar açının karşısında olduğundan karşı kenar bölü hipotenüs yani Birko sinüste dadır hemen yazıyorum aradığımız x koordinat Bir saniye bir saniye çok özür dilerim Yanlış söyledim değil mi bu kenar karşı kenar komşu kenar değil kosinüs komşu böyle hipotenüs dur Ama biz karşı böyle hipotenüs aradığımız için burada seni su kullanmamış Bu sinüste da karşı böyle hipotenüse eşit olacak Evet bunlar standart taban vektörler oldukları için hipotenüs leri bir Bu yüzden de bu kenar sinüste taya eşit oluyor şimdi evet bu uzaklık sinüste eşit ama negatif yönde ilerlediğimizde unutmamamız gerekiyordu Bu yüzden buraya eksi sinüste da yazıyorum yeniye bileşeni de ekinin döndürülmüş halinin ile bileşeninden bahsediyoruz tabip buradaki uzunluğu bulmamız lazım ve fark ettiyseniz bu uzunluk açımıza yani tetaya komşu olan kenar Peki komşu böyle hipotenüs yani bir neydi Cosinüs tedavi Evet vektörün yeniye bileşeninde Cosinüs tetaya eşitmiş tavan vektörlerin e-dönüşümü uyguladığımızda A eşittir e1e uygulanan dönüşüm sonucu elde bu etmekte zor yani Cosinüs teta sinüste ta vee ikiye uyguladığımız dönüşüm sonucu elde ettiğimiz ve dar ya mi eksi siniz tedaâ kosinüs TP bu çok önemli bir sorun Çünkü dönme dönüşümünü bir matris kullanarak tanımladık hemen bunu da not edelim dönme dönüşmüş bu ve kareden R karıya bir dönüşümü herhangi bir x vektörünün Cat alıp bir açıyla döndürülmesi sonuç kol sinüste tasinir tetta eksi sinüste Tako sinüste tam matrisi çarpık X1 X2 elde ediyoruz bu noktada bu kadar şeyi bulduk çok güzel ama Tüm bunları nasıl kullanacağım ki diye düşünüyor olabilirsiniz Elimde bir sürü kosinüs ve sinüs teta var bunlarla ne yapacağım dediğinizi Duyar gibi o dönme açısını belirleyip bunların değerlerini hesapladığımız da içinde Gerçek sayılar olan bir matris elde edersiniz demek istediğim isterseniz dönme açısını 45 derece olarak belirleyelim Evet diyelim ki bir vektörü 45 derecelik açıyla döndürmek istiyoruz bana bunun neye eşit olduğunu söyleyebilir misiniz bunların her birini 45° değerlendirdiğimizde mesela kosinüs 45° karekök içinde 2/2 dir sinüs 45 derece de öyle karekök içinde 2/2 bir sinüs 45 derece Daha Ama bu defa önünde eksi işareti var Bu da eksi karekök içinde iki böyle içme bir karekök içinde 2/2 daha bunu bir değil x vektörü ile çarpacağız bum adresi içmek görüyle Çar daha fazla Evet elimizde bazı bugün atlar olduğunu düşüneceğiz şimdi burada bir kare oluşturan bazı vektör lerimiz olduğunu varsayalım Bakalım yapabilecek mi çizimler konusunda pek de başarılı değilim isterseniz bir üçgen çizelim Bu daha kolay olacak Hah Yok yok Kara dedik kare olsun Evet Hanım küme mizde bir kare bak burası rekar bununla taban rektörlerini birer birer çarptığımızda buradaki kare oluşturan vektörlerden bahsediyorum bunun 45° döndürülmüş bir versiyonunu elde ederiz öyle değil şuraya bana rehberlik yapması için 45 derecelik bir açı çizim Evet bu dönüşümün bu kareyi Şu an çizmekte olduğum görüntüsüne eşleştirmesini istiyorum Ve bu çok da net bir sor eğer içinde pullar ya da [ __ ] olan bir bilgisayar oyunu kodlamayı denediyseniz elinizdeki şeylerin nasıl döndüre bileceğiniz bilmek sonra bu hastalığıdır ileride farklı dönüşümlerden de bahsedeceğiz ama bu son derece kolaydır İlk bilgisayar programı yazdığımda buna benzeyen bir şey kendi kendime hesapla Mıştım Ama buna benzeyen bir yardımcımız olduğu sürece bu matrisi dönme açısıyla değerlendirip pozisyon vektörler ile çarpmak Evet çok daha kolaydır Bunlar pozisyon vektörleri ama aynı şeyi köşe koordinatlarını kullanarak da yapabilir ve sonra da noktaları birleştirebilirsiniz Böylelikle de döndürülmüş görüntüye kavuşmuş olursunuz Bu arada bunların bu ve Ölüler tarafından belirlenen noktalar olduklarında eklemek istiyorum yani Mesela bu nokta bu şekilde çizebileceğim bir pozisyon vektörü tarafından belirleniyor buna 45 derecelik bir Dönme uyguladığımızda bu sektör buna dönüşüyor bu köşeyi belirleyen bu vektör be farklı bir renk kullanacağım Evet bunu 45° döndürdüğümüzde vee Ben bunu elde ederiz buradaki köşeyi belirleyen vektör buna dönüşmüştür ve dönüşmek ve eşleşmemekte İşte bu anlama gelir Her Neyse umarım sizin için faydalı bir video olmuştur benim için son derece net bir şey ama bunu kullanarak çoklu boyutlar Özellikle de üç boyutlu lar hakkında düşünebilecek olmamız da ayrı bir kulp Kendi kendinize yapmayı denerseniz üç boyutlu dövmeler son derece kafa karıştırıcı olabilirler ama bir sonraki videoda da bir Eksen Etrafında üç boyutlu dövmeler yapmak için bir yöntem bulmaya çalışacağız