Birim Vektörler

Vektör uzunluğu kavramını çok önce yapmıştık. ama önemli bir konuyu işlemeyi unuttuğumun farkına vardım. Dönüşüm tiplerini yaparken bu konu faydalı olacak özellikle de bir sonraki videoda işleyeceğimiz izdüşüm konusunda. Yapmayı unuttuğum konu, birim vektör kavramı. Bunun tanımı, basitçe, uzunluğu 1 olan vektör. Uzunluğu 1 dedik. Diyelim ki, u R n'de bir birim vektörü. Bunun anlamı, u şöyle görünüyor, n adet bileşeni var u 2'den u n'ye kadar. Bunun uzunluğunu biliyoruz, öyle değil mi? u'nun uzunluğu, buna u'nun normu da deniyor, norm eşittir tüm bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü. Düşünürseniz, Pisagor teoreminin bir uzantısı. u 1 kare artı u 2 kare artı u n kareye kadar. Ve bunun karekökünü alıyoruz. Bu bir birim vektör ise, u'nun uzunluğu 1 olacak. Hangi boyutta olduğumuz fark etmez. R 100 de olabilir, R 2 de. Bu uzayların herhangi birinde birim vektör olabilmek için, uzunluğun 1 olması lazım. Bir sonraki soru ise, bir birim vektörü nasıl oluşturursunuz? Diyelim ki, bir v vektörümüz var. Bu birim vektör olmasın. v 1, v 2, v n'ye kadar. Bunu aynı yönde bir u birim vektörüne dönüştürmek istiyorum. u, v ile aynı yönde olacak, ama u'nun uzunluğu 1 olacak. Böyle bir u vektörünü nasıl oluştururum? v'nin uzunluğunu alabilirim. v'nin uzunluğunu bulabilirim, bunu nasıl yapacağımızı biliyoruz. Bu vektör uzunluğu tanımını uygularız. v'nin uzunluğunu bulursam ve v vektörünü şununla çarparsam ne olur? u'yu 1 bölü v'nin uzunluğu çarpı v vektörüne eşitlersem ne olacak? Bu ifadenin uzunluğunu bulmak istersem, ne elde ederim? u'nun uzunluğu eşittir bu skaler... Bu, sadece bir sayı, öyle değil mi? v'nin sıfır dışı bir vektör olduğunu varsayarsak, bu skalere eşit. Bu skalerin değeri çarpı v. Bu skaleri formülün dışına alabileceğimizi biliyoruz. Sanıyorum bir önceki videoda c çarpı v'nin uzunluğunun v'nin uzunluğunun c katına eşit olduğunu gösterdim. Bunu yazayım. Burada esas olarak bunu varsayıyorum. Bir vektörün c katının uzunluğunu aldığımda, v'nin uzunluğunun c katına eşit oluyor. Uzunluk kavramını ilk tanıttığımızda bunu gösterdiğimizi hatırlıyorum. Bu eşittir 1 bölü v'nin uzunluğu, c olarak bunu alıyorum çarpı bu ifade çarpı v vektörünün uzunluğu. Peki, bu neye eşit olacak? 1 bölü bir ifade çarpı o ifade. Bu da 1 olacak. Zaten birim vektör bu demek. v ile aynı yönde birim vektör bulmak istediğinizde , bazen buna normalize edilmiş vektör de denir R n'de vektör uzunluğu tanımını kullanarak v'nin uzunluğunu bulursunuz. Sonra 1 bölü o uzunluk çarpı v vektörünü hesaplarsınız. Bu bir skalerdir ve böylece u vektörünü elde edersiniz. Şimdi bunu anladığınızdan emin olmak için bir örnek yapalım. R 3'te bir v vektörü alıyoruz. 1, 2 eksi 1 vektörü. v'nin uzunluğu nedir? v'nin uzunluğu eşittir karekök 1 kare artı 2'nin karesi artı eksi 1 kare. Bu eşittir karekök 1 artı 1 artı 4 karekök 6. Bu, v'nin uzunluğu. v yönünde normalize edilmiş bir u vektörü bulmak istiyorsam, u'yu şöyle tanımlarım. 1 bölü v'nin uzunluğu 1 bölü karekök 6 çarpı v. Yani çarpı 1 2, eksi 1. Bu da eşittir 1 bölü karekök 6 2 bölü karekök 6 ve eksi 1 bölü karekök 6. u'nun uzunluğunun 1'e eşit olduğunu göstermeyi size bırakıyorum. Size sıklıkla rastlayacağınız bir başka özelliği belirtmek istiyorum. Bir birim vektörü söz konusu olduğunda, vektörün üstüne bu küçük ok yerine şöyle bir şapka koyarız. Bu, vektörümüzün birim vektörü olduğunu belirtir. Vektörel analiz veya mühendislik dersi alanlarınız i, j ve k vektörlerini biliyordur. Bu şapkaların nedeni, R 3'te birim vektörü olmalarıdır. Bunlar R 3'ün elemanlarıdır ve birim vektörlerdir. Esasında bunlar R 3'ün doğuray vektörleridir. Dönüşüm videolarımı izleyenler bilirler, bunlar e 1 buna şapka koyabilirim , e 2 ve e 3'e denktir. e 2 ve e 3'e denktir. Yani R 3'ün standart doğuray vektörlerine denktir. Bu kavramı size tanıttıktan sonra, ilerideki videolarda birim vektör kavramını kullanmaya başlayabilirim.