Doğrusal dönüşümleri görselleştirme

Dönüşüm fikri, ilk bakışta gerçekte olduğundan daha karmaşık gözükebilir; dolayısıyla $2\times 2$‍ matrislerin iki boyutlu uzayı veya $3\times 3$‍ matrislerin üç boyutlu uzayı nasıl dönüştürdüğüne geçmeden önce, düzlemsel eski sayıların (diğer adıyla $1\times 1$‍ matrisler) nasıl bir boyutlu uzayın dönüşümleri olarak düşünülebileceğini ele alalım.

Bir boyutlu uzay, basitçe sayı doğrusudur.

Doğrudaki her sayıyı belirli bir değerle örneğin iki ile çarptığınızda ne olur? Bunu göstermenin bir yolu aşağıdaki gibidir:

Referans olması için orijinal doğrunun bir kopyasını koruyoruz, sonra doğrudaki her sayıyı, o sayının iki katına kaydırıyoruz.

Benzer şekilde, ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ ile çarpma görsel olarak şöyle gösterilebilir:

Negatif sayılar kendilerini ihmal edilmiş gibi hissetmesin, eksi üç ile çarpma işlemi de burada:

Havalı terminolojiye düşkün olanlarınız için söyleyelim, bu animasyonlarda gösterilen hareketler "bir boyutlu uzayın doğrusal dönüşümleri" olarak tanımlanabilir. Dönüşüm kelimesi fonksiyon kelimesi ile aynı anlamı taşımaktadır: girdi olarak bir sayıyı alan ve başka bir sayıyı çıktı olarak veren şey, örneğin $f(x)=2x$‍ gibi. Bununla birlikte, genelde fonksiyonları grafiklerini kullanarak gösteririz, oysa dönüşüm kelimesini daha çok bir nesnenin hareket etmesini, gerilmesini, büzülmesini, vb. görselleştirmemiz gerektiğinde kullanırız. $f(x)=2x$‍ fonksiyonunun bir dönüşüm olarak görselleştirilmesi, yukarıdaki iki ile çarpma işlemi videosunda verilmiştir. Bu dönüşüm, sayı doğrusunda bir noktasını ikinin başladığı yere taşır, ikiyi dördün başladığı yere taşır, vb.

İki boyutlu uzaya geçmeden önce, aklımızda tutmamız gereken basit ancak önemli bir gerçek var. Bu dönüşümlerden birisini izlediğinizi düşünün; bunun bir sayıyla çarpma işlemi olduğunu biliyorsunuz, ancak bu sayının ne olduğunu bilmiyorsunuz:

Biri izleyerek, doğruda hangi sayının çarpıldığını kolayca bulabilirsiniz. Bu durumda, bir eksi üçün başladığı yere gitmektedir; dolayısıyla animasyonun eksi üç ile çarpma işlemini temsil ettiğini söyleyebilirsiniz.

İki boyutlu bir doğrusal dönüşüm, iki boyutlu $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektörünü girdi olarak alan ve çıktı olarak başka bir iki boyutlu vektörü veren özel bir fonksiyon türüdür. Daha önce olduğu gibi, dönüşüm kelimesinin kullanılması bir şeyleri (bu durumda iki boyutlu uzayı) dönüştürmeyi düşünmemiz gerektiğini belirtir.

Burada bazı örnekler var:

Bir dönüşümü doğrusal kılan şey, şu geometrik kuraldır: Başlangıç noktası sabit kalmalıdır ve tüm doğrular doğru olarak kalmalıdır. Buna göre yukarıdaki animasyondaki dönüşümlerin tümü doğrusal dönüşümlere örnektir, ancak aşağıdakiler böyle değildir:

Bir boyutta olduğu gibi, iki boyutlu dönüşümü dönüşümü doğrusal yapan şey, iki özelliği sağlamasıdır:

Şimdi, $\mathbf{\text{v}}$‍ ve $\mathbf{\text{w}}$‍ artık sayılar değil vektörlerdir. Bir boyutta ilk özellik işe yaramadı, bununla birlikte şimdi önemli bir rol oynamaktadır; çünkü bir anlamda bir dönüşüm sırasında iki farklı boyutun nasıl birlikte oynadığını belirlemektedir.

Örneğin aşağıdaki gibi, belirli bir dönüşümü izlediğinizi düşünün:

Aynı animasyonu seyretmeyen bir arkadaşınıza bu dönüşümü nasıl tanımlarsınız? Bunu artık sadece bir sayıyı kullanarak, bir boyutlu uzayda bir sayısını takip ettiğimiz gibi tanımlayamazsınız. Her şeyi izleyebilmemize yardımcı olması için, $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ vektörünün üstüne yeşil bir ok, $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ vektörünün üstüne kırmızı bir ok koyalım ve arka plana kareli kısmın bir kopyasını sabitleyelim.

Şimdi her şeyin nereye gittiğini izlemek çok daha kolay. Animasyonu tekrar izleyin ve $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$‍ vektörüne odaklanın. Bunun $\left[\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right]$‍ vektörüne hareket ettiğini çok daha kolay izleyebiliyoruz.

Bu gerçeği, aşağıdaki gösterimle temsil edebiliriz:

Dikkat ederseniz $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$‍ gibi yeşil okun $2$‍ katında başlayan bir vektör, dönüşümden sonra da yeşil okun $2$‍ katı olmaya devam eder. Yeşil ok $\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$‍'ye geldiğinden,

$\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\to 2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right]$‍ sonucuna varabiliriz.

Genel olarak,

Benzer şekilde, bütün $y$‍-ekseninin gideceği yer kırmızı ok $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍'in gideceği yer ile belirlenir, bu dönüşüm için bu $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$‍'dır.

Aslında, $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ ve $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍'in nereye gittiğini bildiğimizde, düzlemdeki her noktanın nereye gitmesi gerektiğini belirleyebiliriz. Örneğin, animasyonumuzda $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$‍ noktasını izleyelim:

Eksi bir çarpı yeşil ok artı iki çarpı kırmızı okta başlar, ancak aynı zamanda eksi çarpı yeşil ok artı iki çarpı kırmızı okta biter, bu dönüşümden sonra

$-1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$‍ olduğu anlamını taşır.

Bir vektörü dönüşümden hem önce hem sonra bileşenlerine ayırabilme, doğrusal dönüşümlerin özgün bir özelliğidir.

Genel olarak, her $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektörü aşağıdaki gibi ayrılabilir:

Buna göre, eğer yeşil ok $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍ herhangi bir $\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$‍ vektörünün üstüne geliyorsa ve kırmızı ok $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍ herhangi bir $\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$‍ vektörünün üstüne geliyorsa, bu durumda $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektörü şunun üstüne gelmelidir:

Bunların tümünü tanımlamanın gerçekten hoş bir yolu, verilen bir doğrusal dönüşümü aşağıdaki matrisle tanımlamaktır:

$\mathbf{\text{A}}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$‍ matrisi ile temsil etmektir,

Bu matriste, birinci sütun bize $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍'ın nereye gittiğini ve ikinci sütun $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍'in nereye gittiğini anlatır. Şimdi herhangi bir $\mathbf{\text{v}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$‍ vektörünün nereye gittiğini

$\mathbf{\text{Av}}=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$‍.

İşin aslı, bir matris-vektör çarpımı tanımının geldiği yer, tam olarak budur.

Bir boyutlu doğrusal dönüşümler bir sayıyla çarpım, yani birin geleceği sayı şeklinde tanımlanabileceği gibi, iki boyutlu doğrusal dönüşümler bir $2\times 2$‍ matrisiyle, aslında birinci sütunu $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$‍'ın geldiği yeri ve ikinci sütunu $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$‍'in geldiği yeri belirttiği matrisle tanımlanabilir.