Doğrusal (Lineer) Dönüşüm olarak Matris Vektör Çarpımı

Sanıyorum, matris vektör çarpımı fikrine alıştınız. Bu videoda size, matris vektör çarpımının dönüşüme denk olduğunu göstermek istiyorum. Aslında, lineer bir dönüşüme denk olur. A matrisinin sütunları, sütun vektörleri şeklinde v1, v2 , vn'ye kadar olsun v n 'ye kadar olsun. Bu matrisin yani n adet n adet sütunu var. Diyelim ki, m adette, m adette satırı var. Yani bir mn, m n matrisi. Şimdi bir dönüşüm tanımlayalım. Dönüşüm de R n'den R m'ye gitsin. Bu, tanım kümesi. R n'deki herhangi bir vektörü R m'de başka bir vektöre dönüştürecek. Dönüşümü tanımlıyorum. x, R n'de bir vektör olmak üzere, T x eşittir A. A bu arada koyu yazılmalı. A çarpı x. Bu dönüşümün şimdiye kadar gördüğümüz dönüşümlere veya fonksiyonlara benzemediğini düşünebilirsiniz. Öncelikle, bunun bir dönüşüm olduğu fikrine alışmamız lazım. Burada ne yapıyoruz? R n'de bir şeyi alıyoruz. A x ne veriyor? A x'i şöyle yazalım. x şöyle olacak. x 1, x 2. n adet terimi olacak, çünkü R n'de bir vektör. Bu, x 1 çarpı v 1 artı x 2 çarpı v 2, x n çarpı v n'ye kadar yazılabilir. Yani, bu sütun vektörlerinin toplamını alacağız. Matrisin m adet satırı olduğu için bu sütun vektörlerinin her birinin m tane, m tane elemanı olacak. Yani, bu vektörler R m'de. Bu vektörlerin lineer bileşimini alırsak, bir başka R m elemanı elde ederiz. Yani, bu, R m'de bir başka vektör olacak. Buna göre x vektörünü A ile çarparak R n'den R m'ye eşleme yapıyoruz. Çok genel konuşuyorum. Belki n 3, m 5. Kim bilir? Eğer, bu, R n'nin bir elemanı ise dönüşümümüz şuradakine gönderecek. Ve bu R m'nin bir elemanı olacak. Ona A x diyebiliriz. Veya A x eşittir b dersek bu vektöre b adını verebiliriz. Neyse. Bu dönüşüm eşlememiz. Bu fonksiyon veya dönüşümün bir kümeden başka bir kümeye eşleme yapması ile ilgili tanımımıza uyuyor ama yine de daha önce gördüklerimiz şu şekilde olduğu için, ikna olmamış olabilirsiniz. Daha önce dönüşümleri x 1, x 2 ve x n eşittir, diye yazıyordum. Virgüllerle ayrılmış m terim yazıyordum. Peki bununla onun arasındaki bağlantı nedir? Bu bağlantıyı göstermek için bir örnek yapalım. Bir matrisimiz var diyelim. Gayet basit bir B matrisi. 2, eksi 1, 3 ve 4. Ve bir dönüşüm tanımlamış oluyorum. T dönüşümü. R 2'den R 2'ye bir dönüşüm. T'yi şöyle tanımlıyorum. x vektörünün T'si eşittir B matrisi çarpı x vektörü. Peki, bu neye eşit olur? Matris burada. 2, eksi 1, 3 ve 4 çarpı x. x 1, x 2. Peki, bu neye eşit? Başka bir vektöre. R 2 değer kümesinde bir vektöre eşit. Bu vektör şöyle bulunur: Birinci terim, 2 çarpı x 1. Matris vektör çarpımının tanımını uyguluyorum. 2 çarpı x 1 artı eksi 1 çarpı x 2, veya sadece eksi x 2. Bu satır çarpı vektörümüz. Sonra da ikinci satır çarpı vektörü buluyorum. 3 çarpı x 1. Artı 4 çarpı x 2. Bu bize daha tanıdık gelebilir. Bu dönüşümü baştan yazabilirim. T x 1, x 2 eşittir 2 x 1 eksi x 2 virgül 3 x 1 artı 4 x 2. Buradaki ifade, şu dönüşümün farklı bir şekilde yazılışıdır. Şimdi şöyle bir soru sorabilirsiniz, aslında cevabını videonun başında vermiştim Bir matrisle çarpınca, her zaman lineer bir dönüşüm mü elde ederiz? Lineer dönüşümün iki koşulu nelerdir? İki vektörün toplamının, yani a artı b'nin, dönüşümünün, dönüşümlerin toplamına eşit olması gerektiğini biliyoruz. a'nin dönüşümü artı b'nin dönüşümü. Diğer koşul ise, bir vektörün skalerle çarpımının dönüşümünün, dönüşümün skaler çarpımına eşit olması. Lineer dönüşüm için iki koşulumuz bunlar. Bakalım, matris çarpımı bu koşulları karşılıyor mu. Daha önce, bu konuya değinmiştim. Hatta, ispatlamanız gerektiğini size söylemiştim. Bildiğinizi varsayıyorum, ama yine de sizin için bir ispatlıcam. Matris çarpımı. A matrisi çarpımı x vektöründe şöyle yazayım. Bir m n matris alalım. Her matrisi, sütun vektörleri halinde ifade edebiliriz. Bu matrisin n adet, n adet sütun vektörü var. v 1, v 2, v n'e kadar sütun vektörü. Bu vektörlerin de her birinin m bileşeni var. Çarpı x 1, x 2, x n'ye kadar. Bunu daha önce birçok defa gördük. Matris vektör çarpımı tanımına göre, bu, eşittir x 1 çarpı v 1. Bu çarpı şu. Artı x 2 çarpı v 2, artı x n çarpı v n'ye kadar, v n'ye kadar. Bu, matris vektör çarpımının tanımıydı Bu vektör, R m'nin elemanı olacak. m adet, m adet bileşeni olacak. Peki, iki vektörün toplamını a artı b'yi, bir m n matrisi mn matrisi olan A ile çarparsam ne olur? Şuradaki gibi yazabilirim. A matrisi çarpı, a artı b birinci terim a 1 artı b 1 olacak. İkinci terim, a 2 artı b 2 a n artı b n'ye kadar. Bu, şununla aynı. Şuraya bir nokta koyarsam, çarpma yaptığım da belli olur. Notasyona dikkat etmeliyim. Matris vektör çarpımı yapıyorum. İç çarpım almıyorum. Bu, şuradaki çarpımla aynı şey. Daha önce size defalarca gösterdiğim gibi, bu a 1 artı b 1 çarpı A'nın birinci sütunu, yani şu vektör. Bu A ile şu A aynı. Çarpı v 1. Artı a 2 artı b2 çarpı v 2 a n artı b n çarpı v n'ye kadar. Burada x i terimi yerine a i artı b i terimi koyuyoruz. Yani, buradaki x1 yerine a 1 artı b 1 geliyor. Bu ikisi birbirine eş. Vektör skaler çarpımının dağılma özelliğine göre şöyle diyebiliriz Bu eşittir, a 1 çarpı v 1 Şunu yazayım a 1 çarpı v 1 artı b 1 çarpı v 1 artı a 2 çarpı v 2 artı b 2 çarpı v 2 a n çarpı v n artı b n, b n çarpı v n'ye kadar. a'ları gruplarsam, şöyle bir şey elde ederim. a 1 çarpı v 1 artı a 2 çarpı v 2, a n çarpı v n'ye kadar. Şimdi a'lı terimleri aldım. Bu, artı b'li terimler. Artı b1 çarpı v 1 artı b 2 çarpı v 2, b n çarpı v n'ye kadar. Bu ifade, şuradaki ifadeyle aynı. Terimleri gruplandırdım. Peki, bu neye eşit? Bu sütunlar, A matrisinin sütun vektörleriydi. Yani, bu eşittir A matrisi çarpı a 1, a 2 a n'ye kadar, a vektörümüz. Peki, bu neye eşit? Bunlar A matrisinin sütunları, yani A matrisi çarpı b vektörüne eşit. b 1 , b 2, b n'ye kadar. b vektörü. İki vektörü, a ve b'yi toplayıp matrisle çarparsak, vektörlerin matrisle çarpımının toplamıyla aynı sonucu elde ederiz. Birinci koşulu sağladık. İkinci koşul için ne diyebiliriz? Bunu anlamak daha da kolay. A matrisi çarpı c çarpı a. Önce, vektörü skalerle çarpıyorum. A matrisinin sütunlarını işaretlemiştim. v 1, v 2, v n'ye kadar. A matrisi. Peki c a nedir? a'nın terimlerini c skaleriyle çarpıyoruz. c a 1, c a 2, c a n'ye kadar. Peki, bu neye eşit? Bunu defalarca gördük daha önce. Bu eşittir, c a 1 çarpı bu sütun vektörü, çarpı v 1. Artı c a 2 çarpı v 2, c a n çarpı v n'ye kadar. c'yi dışarı alırsak, skaler çarpımın dağılma özelliğini kullanmış oluruz. Sanıyorum, bu konuda bir video yapmıştım, zaten ispatı son derece kolay. Bu eşittir, c çarpı, a 1 v 1 artı a 2 v 2 artı a n v n'ye kadar. Peki, bu, neye eşit? A matrisi çarpı vektörümüz. Galiba a harfini biraz fazla kullandım. Büyük A matrisi çarpı, küçük a vektörü. Küçük a, şuradaki a 1, a 2, falan filan. Şu yukarıdaki ifadeyle, bu, aynı şey. Matrisi, önceden skalerle çarpılmış bir vektörle çarptığımda, önce matris sonra skalerle çarpmakla aynı sonucu elde ettiğimi size göstermiş oldum. Matris vektör çarpımının bu ve şu lineer dönüşüm koşullarını sağladığını gösterdik. İki lineer dönüşüm koşulunuda sağlıyor. Burada öğrendiğimiz önemli bir bilgi. Matris vektör çarpımı, her zaman, bir lineer dönüşümdür. Son bir not olarak. Bir sonraki videoda, her lineer dönüşümün bir matris çarpımı olarak ifade edilebileceğini göstereceğim. Yani, bir vektöre uygulanacak her türlü dönüşüm vektörün bir matrisle çarpımı olarak düşünülebilir. Bu kavramın çok önemli etkileri var. Hatta gündelik hayatla da bağlantısını kurabiliriz. Xbox ve Sony Playstation'da koşmanızı, ateş etmenizi sağlayan 3 boyutlu grafik programları var. Eşyaları değişik açıdan görmenizi sağlayan, örneğin Line: 182 (Silen=76,53) (EMedp=1,072) bir küpü çevirmenizi, yukarı aşağıya almanızı sağlayan şey, dönüşüm matrisleridir. Bunlara daha detaylı bakacağız. Bunların tamamı, vektör dönüşümleri veya vektör konumlarıyla ilgili ve bu da, matris çarpımından ibaret. Yani, Xbox yada Playstation'ınızda oynadığınız 3 boyutlu oyunlardaki hareketlerinizin hepsi, matris çarpımı. Ve bunu size bir sonraki videoda ispatlayacağım. Grafik kartları ve grafik motorları matris çarpımı yüklenmiş aletler. Eğer genel bir işlemcim varsa, matris çarpımının yazılımını eklemem gerekir. Ama, bir Xbox üretiyorsam ve Xbox'ın yapmasını istediğim şeyin yüzde 99'u zaten nesneleri döndürmek ve dönüşümlü hallerini göstermek ise, matris çarpımını yapan bir donanıma, bir çipe, ihtiyacım olacaktır. Ve bu grafik işlemcileri bundan ibarettir.