Bir Kümenin Ters Görüntü Kümesi

X kümesinden Y kümesine eşleme yapan bir dönüşüm ekleyelim. X kümesine tanım kümesi dendiğini biliyoruz. Bu X kümesi ve eşleme yaptığım küme, Y kümesi, değer kümesidir. T dönüşümü altında, X'ten bir elemanın Y'den bir elemanla eşleştirildiğini biliyoruz. Y'de bir elemana eşleme yapıyorsunuz. Dönüşüm veya fonksiyon bunu yapar. Şimdi T'nin bir altkümesini alıp A olarak belirtelim. A'yı şöyle çizeyim. Bu notasyon altküme demek, T'nin altkümesi. A'nın T altındaki görüntüsünü tanımlamıştık. Bunu altkümemizdeki elemanların dönüşümlerinin kümesi olarak tanımlamıştık. Ve tabii ki bu da Y'nin bir altkümesi olacak. Yani A'daki her elemanı alıyoruz. Bu da bu elemanlardan biri. Dönüşümünü buluyoruz. Şu nokta. A'dan bir eleman daha alıyoruz. Buranın tamamı A kümesi. A'dan bir eleman daha alın. Dönüşümünü bulun. Belki şu noktadır. Bunu yapmaya devam edin. Bunun dönüşümünü bulun. Belki bu nokta. Ve bu dönüşümlerin tamamının oluşturduğu kümeye, belki şu küme, A'nın T altındaki görüntüsü diyoruz. Peki, sorunun tam tersini düşünmek istersek ne yaparız? Y kümesiyle başlarız, Y kümesinin bir altkümesi verilmiş, bu altkümeye S diyelim. Yani S değer kümesinin bir altkümesi. X'in hangi altkümesinin S ile eşleştiğini merak ediyorum. Bu kümeyi merak ediyorum. Tanım kümesinin hangi elemanlarının dönüşümlerinin S kümesinde yer aldığını bulmak istiyorum. Şöyle diyorum. Tanım kümesine baktığımda, öyle bir altküme olmalı ki, bu altkümeden hangi elemanı alırsam, bu kümedeki bir elemanla eşleşecektir. Tanımladığım şey, bu. Bu, buna eşit. Şunu soruyorum, S ile eşleşen X elemanları hangileridir? Burada çok önemli bir nüansı göstermek istiyorum. S'deki her eleman eşleşmek zorunda değil. Belki burada bir S elemanı var, o elemanla X'ten hiçbir eleman eşleşmiyor. Bunda sorun yok. Tek söylediğim, bu kümedeki her elemanın S'nin içinde bir elemanla eşleştiği. Bu kümeyi belirtmek için, T ters S notasyonunu kullanıyoruz ve S'nin T altındaki ters görüntü kümesi olarak adlandırıyoruz. Yani bu S, bu da S'nin T altındaki ters görüntüsü. Bu gayet mantıklı. Görüntü için, tanım kümesinin altkümesinden değer kümesinin altkümesine gidiyoruz. anım kümesinin altkümesinden değer kümesinin altkümesine Ters görüntü için ise, değer kümesinin altkümesinden hareket edip, bu değer kümesi altkümesi hangi tanım kümesi altkümesiyle eşleşir diye düşünüyoruz. Şimdi size bir soru sorayım, bu soruyu bilen ekstra puanı alır. Ters görüntü kümesinin görüntüsü nedir? Yani bu arkadaş şu arkadaşın görüntüsü, öyle değil mi? Burası S'nın ters görüntüsü. Bunun görüntüsünü alırsak, buradaki her vektör hangi vektörlerle eşleşir, diye soruyoruz. Hepsi S'nin içinde olacak, S'nin tamamı olmayabilir. Yani bu, S'nin bir altkümesi olacak. Bu, orijinal S kümesinin bir altkümesi olacak. S'ye eşit olmak zorunda değil, ama S'nin altkümesi. İşte bu nedenle bu notasyonu kullanıyoruz. S'nin bir altkümesini oluşturmak için S'nin ters görüntüsünün görüntüsünü alabiliriz. Görüntü ve ters görüntünün birbirini götürdüğünü düşünebiliriz, ters fonksiyon notasyonunun kullanılma nedeni de muhtemelen budur. Şu ana kadar yaptıklarımız hep soyuttu. Bir sonraki videoda, değer kümesinin bir altkümesinin ters görüntüsünü hesaplayacağım.