If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Doğrusal Dönüşümlerin Toplamları ve Nokta Çarpanları

Doğrusal Dönüşümlerin Toplam ve Skalerle Çarpımları. Matris toplam ve skalerle çarpım tanımları. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

İki transformasyonum var diyelim. S transformasyonu, R n'den R m'ye bir transformasyon olsun, T de aynı şekilde R n'den R m'ye olsun. Şimdi iki transformasyonun toplamını tanımlayacağım. Bu bir tanım. Tanım olarak yazayım.İki transformasyonun toplamını tanımlayacağım. x'e uygulanan iki transformasyonun toplamı, x'in birinci transformasyon sonrası görüntüsü artı x'in ikinci transformasyon sonrası görüntüsüdür. Bu sonuç R m'de bir vektör olacak, yani bunun tamamı da bir R m vektörü olacak. Tanımsal olarak, S artı T de bir transformasyon, çünkü R n'de bir vektör için tanımlı. R n'den R m'ye bir transformasyon. Şimdi bir başka tanım yazalım. Bu transformasyonun skalerle çarpımını tanımlayacağım. c herhangi bir reel sayı olsun. x vektörünün c çarpı S transformasyonu eşittir c çarpı, x'in S transformasyonu. x'in transformasyonu R m'nin elemanı olacak. R m'deki bir vektörü bir skalerle çarparsak, yine R m'de bir vektör elde ederiz degil mi Şimdi de bu yeni transformasyonu elde etmiş olduk, c çarpı S transformasyonu yine R n'den R m'ye bir eşlemedir. Bu bir R m vektörü şu da R n vektörü. Peki.Bu transformasyonların matrislerine bakalım. Önceki bir videoda her lineer transformasyonun matris vektör çarpımı olarak ifade edilebildiğini görmüştük. S x denktir A matrisi çarpı x vektörüdür, diyelim. Ve T x de B matrisi çarpı x vektörüne denktir diyebiliriz. Bunların ikisi de R n'den R m'ye eşleme olduğu için, bu iki matris m n matrisi olacak. Bunların ikisi de m n matrisi. Şimdi bu iki tanıma geri dönelim. S artı T x nedir? Şöyle yazıyorum. S artı T x eşittir S x artı T x S x eşittir A x. Şuradaki. Ve, T x eşittir B matrisi çarpı x. Peki, bunlar nedir? Bu iki matrisi tanıdığınız bir şekilde yazalım. A matrisini sütun vektörleri olarak yazalım: a 1, a 2, a n'ye kadar. B matrisini de sütun vektörleri olarak yazalım. b 1, b 2, b n'ye kadar. Bu sütun vektörlerinin her biri m bileşenli. Her satır için bir bileşen var. Bunlardan n adet bulunuyor, çünkü matrislerde n adet sütun var. x vektörü de şöyle olacak. x 1, x 2, x n'ye kadar. Bunu birçok kere gösterdik. Matris vektör çarpımının çok faydalı bir tanımı. Bu çarpımın, x'in elemanları çarpı A'nın o konumdaki sütun vektörü olduğunu biliyoruz. Bunu uyguladığım beşinci video sanıyorum. Yani bunu şöyle yazabiliriz: x 1 çarpı a 1 artı x 2 çarpı a 2, x n çarpı a n'ye kadar. A x sütun vektörlerinin ağırlıklı toplamı olarak yazılabilir. Ağırlıklar, x'in elemanlarıdır. Bunu B x'le toplamam gerekiyor.B x eşittir x 1 çarpı b 1 artı x 2 çarpı b 2, x n çarpı b n'ye kadar.Peki, bu neye eşit? Vektörün skalerle çarpımının dağılma özelliği olduğunu biliyoruz. Buna göre, şu ikisini toplayıp, x 1'i dışarı alabiliriz.Peki ne cıkar. Bu eşittir şu diyorum, yani bu terim artı şu terim eşittir, x 1 çarpı a 1 artı b 1, artı x 2 çarpı a 2 - şu iki terimi topluyorum- x 2 çarpı a 2 artı b 2, x n çarpı a n artı b n'ye kadar. Peki, bu neye eşit? Yeni bir matrise eşit. Bu yeni matrisi tanımlayalım. Yeni bir matris carpı x vektörü x 1 x 2, x n'e kadar. Bu yeni matris ne olacak? Bu çarpım, skaler terimler çarpı bu matrisin sütun vektörleri olacak.l Yani buradakiler yeni matrisin sütunları. Bu matristeki ilk sütun, a 1 artı b 1. Yani bu iki matrisin sütunlarını toplamış oluyoruz. İkinci sütun da - şuraya bir çizgi çizeyim evet farklı ifadeler olduğunu anlayalım boylece İkinci sütun a 2 artı b 2 olur. Böyle devam eder, son sütun a n artı b n olacak. İki transformasyonu topladığımda, matrislerini kullanmış oluyorum. Bu iki transformasyonun toplamı, vektörümü çarptığım yeni bir matris, yani yeni bir transformasyon oluşturdu. Bu yeni matriste iki orijinal transformasyon matrisinin sütun vektörlerinin toplamı bulunuyor, öyle değil mi? Matris toplamını henüz tanımlamadım. Buraya kadar vektör toplamıyla geldik. Bu matrisi A ve B'nin karşılıklı vektörlerini toplayarak oluşturduk. Peki, bütün bunları neden buldum? Burada her şeyi birleştiren bir tanım yapabilirim.Mesela Bu matrisi A artı B olarak tanımlıyorum. Boyutları aynı olan iki matrisin karşılıklı sütunlarını topladığımda oluşan matrise A artı B diyoruz. a 1 artı b 1, son sütun olan a n artı b n'ye kadar Cebir dersinde bunu görmüşsünüzdür, ama kullanımını göstermek için burada tekrar değinmek istedim. İki transformasyon toplamı, S artı T x eşittir S x - bu bir vektördür- S x artı T x. Bu da eşittir A çarpı x artı B çarpı x. Buna da artık yeni bir matris diyebiliriz degil mi, A artı B, çarpı x diyebiliriz, Videonun ilk kısmındaki transformasyon tanımlarını kullandım. Sonra da bu çarpımları sütun vektörlerinin ağırlıklı toplamları olarak yazdık ve bu yeni matrisi elde ettik. Bu yeni matrise A artı B dedik. Böyle dedik, çünkü şimdi iki lineer transformasyonun toplamının, matris toplamı olarak ifade edilen bir transformasyon matrisini bulmuş oluyoruz. Aynı şeyi skalerle çarpım için yapabiliriz. c çarpı x'in transformasyonu. c çarpı bu R m vektörü. S x'in A x olarak yazılabildiğini biliyoruz, yani bu, c çarpı A çarpı x. A x eşittir x 1 çarpı A'nın birinci sütun vektörü, yani a 1, artı x 2 çarpı a 2, x n çarpı a n'ye kadar. Peki, bu neye eşit? Bu sadece skalerle çarpım. c'yi dağıtabiliriz. Ne elde ederiz? Çarpımın birleşme özelliğini kullanalım. c skaler, x 1 de skaler, o zaman bunların sırasını değiştirebiliriz. Skalerle çarpımın dağılma özelliğini de biliyoruz. Yani bunu x 1 çarpı c a 1 artı x 2 çarpı c a 2, x n çarpı c a n'ye kadar yazabiliriz. Peki, bu neye eşit? Yeni bir matris çarpı x'e eşit. Yeni bir matris çarpı x 1, x 2, x n'ye kadar. Bu yeni matris nedir? Yeni matrisin sütunları neler? c a 1, c a 2, c a n'ye kadar. Peki, bu işlemleri neden yaptım? Bir skalerle çarpılmış vektörün transformasyonunun, transformasyonun skalerle çarpımı olduğunu bilmek iyi olmaz mı? Ve, tabii ki, bu eşittir c çarpı A x. Bunu da yeni bir matris çarpı x vektörü olarak tanımlamak bence süper olurdu degil mi? Çünkü bu da bir lineer transformasyon.Bu yeni matrisi tanımlayayım. Bu da bir tanım. Yeni matris eşittir c çarpı A. Bu yeni tanıma göre, c çarpı A eşittir c çarpı sütun vektörlerinin her biri. Bu da eşittir c çarpı a 1, c çarpı a 2, c çarpı a n'ye kadar. Peki bu ne anlama geliyor? c çarpı bir vektörün, vektörün tüm elemanlarının c ile çarpılması anlamına geldiğini biliyoruz. Yani bu işlem, matrisin her elemanının c ile çarpılması anlamına geliyor. Belki siz ben bunları zaten biliyordum, cebir dersinde iki matrisi toplamayı ve matrisi skalerle çarpmayı öğrenmiştim, Taminen icinizden bunları diyorsunuz. Neden transformasyon toplamı ve matris toplamını tanımlamak icin bu kadar ugrastıgımı merak ediyor olabilirsiniz. Sebep su size matrislerin böyle tanımlanmasını zorunlu kılan hiçbir doğal bir sebebin olmadığını göstermek istedim. Matris toplamı, matrisin skalerle çarpımı veya iki transformasyonun toplamı.Matematik dünyası denilen sey zaten böyle yaratıldı, çünkü bu tanımların faydalı özellikleri var. Bu videoda bu özelliklerini gostermek istedim. Bir sonraki videoda, skalerle çarpım ve matris toplamı soruları yaparım. Böylece cebir dersinde öğrendiklerinizi hatırlamış olursunuz. Ve işlemlerin oldukça kolay olduğunu göreceksiniz.