Nokta Çarpım ve Çapraz Çarpımın Karşılaştırılması ve Mantığı

de bundan önceki bir kaç videoda da bahsettiğimiz gibi 0.254 ben bunlara vb vektörleri olsunlar Evet a ve B'nin nokta çarpımlarının anın büyüklüğü 3'er öbeğinin büyüklüğü çarpı aralarındaki açının koşul üstüne eşit olduğunu biliyoruz anlaşılması kolay olsun diye a ve b i çizmeye çalışan Mehmet bu ha bu da bebek örü olsun aralarındaki açı da işte bu açıp Evet açıyı bu şekilde tanımlanmış tık ve bunu bulmak istediğimizde elimizde iki rektör varken aralarındaki açının ne olduğunu bulmak istersek bunu daha önce yapmadım ama isterseniz şimdi yapabiliriz Evet Eğer isterseniz tek Hanım ne eşit olduğunu bulabiliriz aile beğenin nokta çarpımı bölümü vektörlerin büyüklüklerinin çarpımı Cosinüs tetaya eşittir Öyle değil mi Titan'ın ney eşit olduğunu bulmak içinse iki tarafın ters kosinüsün rüyada Arko sürüsünün çok az gerekir buradan date tanına ile benim nokta çarpımı bölü a ve B'nin büyüklüklerinin çarpımını narkozunun eşit olduğunu söyleyebiliriz iki boyutta çalışırken bunu kullanarak Ya da daha basit bir şekilde vektörlerin arasındaki açıyı bir açı ölçer yardımıyla da bulabilirsiniz ama a ve beğenin ikisinin de 100'er tane bileşeni olduğunda vektörler arasında kalan açı gözümüzün önüne getirmek gerçekten de Neredeyse imkansızdır fakat bunu kullanırsanız zaten gözünüzün önüne getirmeye gerek kalmadan bu iki vektör arasındaki açının neye eşit olduğunu bulabilirsiniz bu değerine eşit olduğunu bulup hesap makinenize bunu narkozun üssünün ney eşit olduğunu hesapla tır sanız acının da ne olduğunu bulursunuz ve bu da tanımı gereği vektörler arasında kalan açıdır bundan yola çıkarak da diklik yada buna benzer kavramları da inceleyebilirsiniz her neyse şu ana kadar ufak bir tek Ne diyelim bunun diğer sonucu ise ki bundan önceki videoda son derece karmaşık bir ispat yapmıştık iki vektörün çapraz çarpımının büyüklüğünün buna çok benzeyen bir ifadeye yani vektörlerin büyüklüklerinin çarpı çarpı aralarındaki açının sinüsünü eşit olduğunu gördük Evet çarptı bu defa açının sinüsünü ama açı aynı açık Bu videoda bu iki Fikri kullanarak Bu arada bu Ufak bir eğlenceli çünkü daha önce Tan'ın ne eşit olduğunu nasıl bulabileceğimizi size göstermediğini fark ettim ama Bu videoda bu ifadeyi ve bu ifadeyi alıp En azından renkler neden diyecek olursanız iki vektörün çapraz çarpımı sadece rakipte tanımlıdır da ondan Evet Ne diyordum bu iki Fikri küpe taşıyıp işin mantığını anlayıp anlayamayacağımız görelim fizik bölümünde de çapraz çarpımda nokta çarpımın karşılaştırılması ile ilgili bir video var sanırım Evet vektörleri yeniden çizildi O anın büyüklüğü demiştik ayı çiziyorum Evet bu da be olsun ama bundan daha büyük olmasını istiyorum Evet bu bebek törü Bu da anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı açının kosinüsün neye eşit açıyla çizim Evet bu da bahsi geçen açık bu vektörleri çizince anın büyüklüğü ya da uzunluğuna eşit olur öyle değil mi vektörün çizimine göre İşte bu uzunluktan bahsediyor not dediğim bu anın büyüklüğü ya da uzunluğudur bu renk iple bir çizim olduğu için anın büyüklüğü bu uzunluğa eşittir beğenin büyüklüğü ise bu uzunluğa işte beğenin büyüklüğü de bu şimdi bu ifadeyi beğenin büyüklüğü çarpı Bu arada bu bir nokta çarpımı olmadığı için nokta-i sildiğim çarpıp anın büyüklüğü çarpık o sinüste turbunu sıralarını değiştirerek bu yazdığım ve bunun da aile benim nokta çarpımına eşit olduğunu biliyoruz Peki Ağa çarpık o sinüste taneye eşit temel trigonometri özdeşlikler imiz den yola çıkarsak Hemen not ediyorum daha önce konuşmuştuk Scott Coco ve takako Cosinüs burada kosinüs teta komşu bölümü i hipotenüse eşittir diğim burada dik bir üçgen oluşturur Sam çizimi monotonluğundan kurtarmak için de Farklı renkler kullanmak istiyorum Bu şekilde dik bir üçgen çizim Evet Haydi şimdi bana Koşun üste tane eşit olduğunu söyleyip o sinüste da farklı bir renkle göstereyim mu yani komşu kenar pembe ile işaretliyorum Bu arada bunun beğenin tamamı olmadığını yani beğenin dik açıya kadar olan kısmı olduğunu da aklınızdan çıkarmayın bunun komşu kenar olduğunu da not ediyorum Evet komşu kenar böyle hipotenüs yaz çok küçük koşunuz detakom şu kenar böyle hipotenüse eşit Peki hipotenüs neye şitâ vektörünün büyüklüğü Öyle değil mi yani bu hipotenüs üstümüzde bu o halde buraya anın büyüklüğü yazabilirim iki tarafı a vektörünün büyüklüğü ile çarparsam ama vektörün büyüklüğünü çarpıp o sinüste Tan'ın komşu kenara eşit olduğunu buluruz bunuda pembeyle yazayım bu durumda bunu yani aile beynin nokta çarpımı çarpı kosünüs TED ayı a vektörün büyüklüğünü çarpık olsun üste Tan'ın pembe ile çizdiğim komşu kenarı eşit olduğunu gördük Evet bu komşu kenar olarak adlandırdığımız uzunluğa eşit O halde Ala beğenin nokta çarpımı beğenin büyüklüğü çarpı komşu kenara eşittir bu noktada bunun ne işe yarayacağını merak ediyor olabilirsiniz bu bebek görün en büyüğü çarpı anın de vektör yönündeki uzunluğuyla çarpımının şöyle göstereyim bunun ama vektörünün gölgesi olduğunu düşünebiliriz size bunlardan Önümüzdeki videolarda bahsedeceğim aslına bakarsanız buna projeksiyon ya da yansıma denir henüz tanımını yapmadım ama eğer bu terimi kullanmak isterseniz Yani mesela buradan bir ışık geldiğini düşünürsek komşu kenar olarak adlandırdığım uzunluk A vektörünün be vektör üzerindeki yansıması Olur öyle değil mi ve eğer bu iki vektör Bunun yerine bu şekilde olsalardı bu A bu da be olsun bu durumda Yani Ayla beğenin ortak olan kısmı daha büyük olduğunda komşu kenar olarak adlandırdığım uzunluk daha büyük olur duânın Bey önündeki çok daha büyük olurdu ve sonuç olarak nokta çarpımda daha büyük olur nokta çarpımın bu vektörlerin aynı yönde Ne kadar il o deri anlamına geldiğini hatırlıyorsunuz değil mi mama Bu bir sayıdır ve beğenin büyüklüğü ya da uzunluğuyla bu komşu kenarının uzunluğunun çarpımına eşittir isterseniz bir de elimizde neredeyse dik olan vektörler olsaydı ne olacağına bakalım a vektörü buna vb vektörü de buna benzeseydi ne olur Buradan da aynen Buradaki gibi dik bir üçgen çizmek istersek komşu kenarının ne kadar küçük olacağını görüyorsunuz değil mi bu durumda da a oldukça büyük bir vektör olmasına rağmen nokta çarpımın değeri çok daha küçük olurdu neden diyecek olursanız a ve B'nin aynı yöndeki ortak kısımları çok küçük de ondan Bunun tam tersini de yapabiliriz bunu bu şekilde çizip komşu kenarı da bu şekilde gösterebiliriz ama ağabey rastgele oluşturduğumuz için bunun çok da büyük bir önemi yok bu yüzden şu an çıkarmamız gereken sonuç yani aile beynin nokta çarpımının aile beğenin büyüklüklerinin çarpımının aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşit olması demek demek istediğim nokta çarpım vektörlerin aynı yönde Ne kadar hareket ettikleri ya da vektörlerin aynı yönde hareket eden kısımlar veya parçaları anlamına geliyor Bunu da not edeyim vektörlerin birlikte aynı yönde hareket eden parçalarım ha Az önce komşu kenar olarak adlandırdığım uzunluğunda anın Bey önündeki parçası olduğunu düşünebiliriz Evet bu anın be yönünde hareket eden parçasıdır bunu da beğenin kendisi ile çarpıyoruz ve nokta çarpım İşte bundan ibaret iki vektörün aynı yönde ilerleyen parçaları ve bu iki vektör birbirine dik olduğunda nokta çarpımları Sıfıra eşit olur bunu görünce iki bebek dönem 1 ne olduğunu anlarız bunun nokta çarpımı mantığı ile de son derece tutarlı olduğunu düşünüyorum Çünkü bu iki vektörün mükemmel bir şekilde dik oldukları anlamına gelir be bu da a bakın burada dik bir üçgen oluşturmaya ve anın be üzerindeki yansımasını çizmeye çalıştığım da henüz çizmedim ama buradan bir ışık geldiğini düşünüp anın ve üzerine yansıyan kısmını çizmeye çalışırsam bunu çizemem Öyle değil mi Evet bu sıfıra eşittir her ne kadar bir genişliği varmış gibi görünsede Çizdiğim bu okun herhangi bir genişliği ya da uzunluğu yoktur bu da anın Bey önündeki kısmının Sıfıra eşit olduğu yani aile beynin ortak bir parçası olmadığı anlamına gelir komşu kenarı yani sıfırı beğenin büyüklüğe çarptığımızda da sonuç sıfır olur Bu söylediklerim Umarım size de mantıklı geliyor Dur şimdi bir de çapraz çarpma bakalım çapraz çarpıma göre ve hemen yazıyor Bu aile beğenin çapraz çarpımı Bunun için çok uzun ve karmaşık bir ispatla yapmıştık anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı aralarındaki açının sinüsünü Evet burada da aynı örneği ele alalım önce vektörleri çizeceğim bu Aa ve görü ve bu da bebek örü olsun kahkulu takako ya göre sinüste taneydi karşı böyle hipotenüs söylediğim burada bir dik üçgen olduğunu düşünelim Evet bu da tekrar bu durumda sinüste ta karşı Yani bu kenar emen karşı olarak adlandırır alım karşı kenar böyle Hipo Kent hipotenüs taiga vektörün büyüklüğünü eşit olduğu için yazıyorum hipotenüs A vektörünün büyüklüğüne eşittir iki tarafı a vektörünün büyüklüğü ile çarparsak a vektörünün büyüklüğü çarpı sinüste Tan'ın karşı ve eşit olduğunu buluruz nokta çarpımda olduğu gibi bunu da beğenin büyüklüğü çarpı anın büyüklüğü çarpı sinüste ta olarak düşünürsek Bunun yerine burada tanımladığımız karşı kenar yazabiliriz Evet bu karşı kenara eşittir O halde çapraz çarpım aldığımızda da bebek Börü'nün büyüklüğünü anın Bey'e dik olan parçası ile çarparız bakın karşı kenar anın Bey'e dik olan parçasıdır bir yerde birbirinin zıddı olan fikirlerden bahsediyoruz demek istediğim nokta çarpımda anın böyle aynı yönde olan kısmı ile çapraz çarpımda ise Bey'e dik olan kısmı ile çarpıyoruz bunun bu ikisinin birbirine ne kadar dik olduğunu bir ölçüsü olduğunu düşünebilirsiniz bu ise aynı ve ne kadar ilerlediklerini bir ölçüsüdür şimdi Birkaç tane örnek yapalım birbirine dik iki vektör bu bu A evet elimizde birbirine dik olan iki vektör oldu da aile beğenin çapraz çarpımının büyüklüğü buradaki formülü kullanırsak anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı 90 derecenin sinüsünü neye eşittir bir Öyle değil mi bu durumda çapraz çarpımı alabileceği en büyük değeri almasını sağlamış oluyoruz Evet sinüste ta alabileceği en büyük değeri aldığı için bunun alabileceği maksimum değer de budur sinüste tanım küçük ya da eşit bir olduğunu hatırlıyorsunuz değil mi Ondan büyük bir değer elde edemeyiz ve bu elimizde birbirine dik olan vektörler olduğunda gerçekleşir Anlaştık mı aynı şeyi bunun içinde düşünecek olursak kosinüsün en büyük değerini ne zaman elde edeceğimizi düşünmemiz gerekir Buda vektörlerin eş doğrusal olması durumunda gerçekleşir ağabey vektörü bu bebek törü de aynı yönde başka bir be bu olduğunda keta Sıfıra eşit olur Başka bir değişle bu vektörler arasında bir açı yoktur aralarında açık olmadığı için de aile beğenin nokta çarpımı anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı sıfırın kosinüsü Yani bir olarak yazabilirsiniz Evet Böylece nokta çarpımın en büyük değerini alabilmesi için de vektörlerin eş doğrusal olması gerektiğini görmüş olduk çapraz çağırdım vektörler ilk nokta çarpım daeş doğrusal olduklarında Maksim değerlerine ulaşırlar benzerliği biraz daha anlaşılır kılmak için vektörlerde koltuklarında nokta çarpımın minimum değerini Aldığını da ekleyelim nokta çarpımlar negatif değerler alabilirler ama vektörler birbirine dik olduklarında nokta çarpımı mutlak büyüklüğü de minimum değerini almış olur benzer şekilde eş doğrusal olan Yani aynı yönde ilerleyen Ya dur aldığımızda da mesela bu Ama bu da be vektörü sever üst üste çizdim ama ne yapmak istediğimi anladığınızı düşünüyorum Bebek köründe Bu şunu bu durumda tetta sıfıra eşittir öyle değil açığı göremiyoruz başka bir de işte bu iki vektör arasında bir açıyor bu ikisi bu şekilde üst üste olduklarında çapraz çarpımları da ya da çapraz çarpımlarının büyüklükleri değilsiniz teta yani sinüs 00 olduğundan Sıfıra eşit olur vektörler eş doğrusal olduklarında çapraz çarpımlarının büyüklükleri sıfırdır ama nokta çarpımlarının büyüklüğü aile beynim nokta çarpımı Maximum değerini alır ve anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğüne eşit olur Bunun tam tersini ise buraya not ettik vektörler birbirine dik olduğunda çapraz çarpı Maximum değerini alır çünkü burada anın değeri olan parçasıyla beğenin büyüklüğün çarpımına eşittir vektörlerde ve karında nokta çarpım ya da nokta çarpımı mutlak değeri de minimum değerini alır Evet bu durumda aile değil nokta çarpımına sıfıra eşittir size Tüm bunları açıklamak istedim Çünkü bazen tanımlar ve formüller üzerinde çok durduğumuzda işin mantığını tamamen unutuyoruz devam etme ben size çapraz çarpımın farklı bir yorumundan daha bahsetmek istiyorum ne de olsa çapraz çarpım her zaman daha zor gelmişti söylediğim bu A oda bebek örüp olsun bana ve bu paralelkenarın alanı nasıl bulabileceğimi söyler misiniz ayı ayı bu şekilde buraya Bey'i de buraya taşıdığımızı düşünürsek bir paralelkenar elde ederim öyle değil mi bu paralelkenarın alanını bulmak istiyorsak Alışık olduğumuz geometri kullanarak buraya bir dikme ineriz dikme bu uzunluğu da paralelkenarın yüksekliği ne yani aşağı eşit olsun bu durumda paralelkenarın alanı Ya oğlum yani beğenin büyüklüğü çarpı yüksek diye eşittir Peki soru şu yükseklik ne eşit bu acıya teta adını verelim yeşilde çizim Evet daha görünür olsun bu açının sinüsünü nin karşı bölü hipotenüse eşit olduğunu biliyoruz yazıyorum yükseklik bölümü hipotenüs ve hipotenüs taiga vektörünün büyüklüğüne buradan yüksekliğine yaşıt olduğunu bulmak istersek de a vektörünün büyüklüğü çarpı sinüste Tayyip kullanabiliriz Bunun yerine de bunu yazarsak paralelkenarın alanını da be vektörünün büyüklüğü çarpa vektörün büyüklüğünü çarpı sinüste da olarak ifade edebiliriz ve bu da iki vektörün çapraz çarpımının büyüklüğüne eşittir Bu ikisi birbirine eşit a ve B'nin yerlerini değiştirebiliriz Öyle değil mi Böylece size çapraz çarpım O da bir kullanımını da göstermiş olduğum iki vektörün çapraz çarpımı ya da çapraz çarpımlarının büyüklüğü diyeyim Öncelikle bu bir ve kördür Ama bu vektör uzunluğu ya da büyük bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanlarda eşittir Her neyse Umarım bu video sayesinde çapraz çarpım ve nokta çarpı mantığını biraz daha iyi anlamışsınızdır bu