Çapraz Çarpım

İç çarpım hakkında epey bir şey öğrenmiştik. Ama ilk bahsettiğimde iç çarpımın vektör çarpma işlem çeşitlerinden sadece bir tanesi olduğunu ve diğer çeşidin de -daha önceki fizik veya analiz derslerinizden hatırlayabileceğiniz- vektör çarpımı olduğunu söylemiştim. Ama aslında vektör çarpımı iç çarpımdan çok daha sınırlıdır. Daha fazla işe yarar ama daha sınırlıdır. İç çarpım her boyutta tanımlanır. Yani Rn'deki herhangi iki vektörü tanımlayabilirsiniz. İki bileşenli vektörlerin iç çarpımını alabilirsiniz. Bir milyon bileşenli vektörlerin bile iç çarpımını alabilirsiniz. Vektör çarpımı sadece R3 üzerinde tanımlanır. Ve sanırım aralarındaki başlıca fark, iç çarpımın skaler bir sonucunun olması. Zaten bunu az sonra bir iç çarpımı size tanımladığımda göreceğiz. İki vektörün iç çarpımını alıyorsun ve sadece bir sayı elde ediyorsunuz. Ama vektör çarpımında, göreceğiniz üzere, elde edeceğimiz şey bir sayı yerine başka bir vektör olacak. Elde edeceğimiz vektör de aslında vektör çarpımını aldığımız vektörlere dik olacak. Şimdi sizi bu kadar beklentiyle heyecanlandırdım, hadi size tanımını yapayım. Muhtemelen birkaç kere bunu önceki matematik hayatınızda görmüşsünüzdür. Diyelim ki a vektörümüz var. R3'te olmak zorunda, öyleyse sadece üç bileşeni var: a1, a2 ve a3 Ben bunları b vektörünün bileşenleriyle çarpacağım, onun da 3 bileşeni var: b1, b2 ve b3 a çarpı b üçüncü vektör olarak görünecek. Bu biraz tuhaf ve özellikle ezberlemesi zor görünüyor, çünkü bu bir tanım. Ama size bunu sütun formunda yazarken nasıl yaptığımı göstereyim. Eğer fizik videoları listesine bakarsanız, bir dünya vektör çarpımı videom var ve size böyle durumlarda "i,j,k" formunda nasıl düşündüğümü göstereceğim. Yine de böyle olduğunda 3 satırlı vektör için ilk terimi buraya, yukarı yazmayı, sonra diğer üç vektörü de R3'te yazmayı düşünürüm. Yani 1,2,3 tane terimi olacak. İlk terim için yapacağınız şey aynı hizadaki ilk iki vektörün ilk terimlerini görmezden gelmek ve sonra alttaki iki terime bakmak olacaktır. Öyleyse a2 çarpı b3 eksi, a3 çarpı b2 dersiniz. Determinantlarla ilgili yaptığım videoları seyrettiyseniz oradan kofaktör bulmayı hatırlarsınız. Size tahminen tanıdık gelecektir. İşte buradaki ilk terim aslında şunun determinantı: şuradaki ilk sıradan, yani ilk iki vektörün ilk terimlerinden kurtulursak, a2 çarpı b3 eksi a3 çarpı b2 olur. O da a2 çarpı b3 eksi a3 çarpı b2ye eşittir. Bu umarım yeterince açıktır. İşleri biraz kolaylayştırmak için İkinciyi yaparken yani şimdi orta sırayı yaparken, yine ortadaki terimleri yok sayıyoruz. a1 çarpı b3, eksi a3 çarpı b1 olur. Bu da yukarıda ilk terimleri yaparken yaptığımızın aynısı aslında. Ama orta sırada tersini yapıyoruz. a3 çarpı b1 eksi a1 çarpı b3 yazmamız gerekiyor. Veya ilk yaptığınızın negatifini alıyorsunuz. Öyleyse a1 b3 eksi a3 b1 yapmış olursunuz. Şimdi de a3 b1 eksi a1 b3 yapalım. Bu yaptıklarımız sadece orta sıra için geçerliydi. Sonra alt sıra için, yine alt sıradakilerin üstünü çiziyoruz veya oradakileri görmezlikten geliyoruz. a1 çarpı b2 yapıyoruz, aynı ilk sıraya yaptığımız gibi. a2 çarpı b1 veya eksi a2 b1 Hepsini hatırlamak zor görünüyor. Bu yüzden size az önce anlattığım gibi bir sistem gösterdim. Yine de biraz tuhaf ve karışık görünebilir. O yüzden birlikte birkaç örnek yapalım ki siz de vektör çarpımının R3'teki tanımının manasını anlayın Diyelim ki bir vektör var. 1, eksi 7, 1 vektörüm var. O zaman bunu 5, 2, 4 vektörüyle çarpacağım. Bu da üçüncü bir vektöre eşit olacak. İşlem yapmak için biraz boşluk bırakayım. Öyleyse bu vektördeki ilk eleman, ilk bileşen, eğer bu iki vektörün ilk terimlerini görmezden gelirsek, - 7 çarpı 4 eksi 1 çarpı 2 eder. Ve bunlar sadece normal çarpma işlemi, iç çarpım almıyorum. Yani sadece normal sayılar. Sonra da ortadaki terimi bulmak için buradaki orta terimleri yok sayıyoruz ve tersini yapıyoruz. Bu da 1 çarpı 5 eksi 1 çarpı 4 demektir. Ve sonuncu olarak üçüncü sırayı yaparken üçüncü terimleri görmezden geliyoruz, sonra aynı ilk terimde yaptığımız gibi çözüyoruz. 1 çarpı 2 eksi eksi 7, bunu parantez içine yazalım. eksi -7 çarpı 5 ve bu da eşittir, bir düşüneyim. Kaç etti? eksi 7 çarpı 4. Burada dikkatsizce bir hata yapmak istemem. Bu eksi 28 eksi 2 eder. Öyleyse ilk sıraya eksi 30 yazarız. Bu ise 5 eksi 4 1 eder. Ve sonra 2 eksi -35. Öyleyse 2 eksi -35. Bu da 2 artı 35'tir ki 37 eder. İşte bu kadar. Umarım vektör çarpımının en azından teorik bölümünü anladınız. Peki, iki şeyin vektör çarpımını bulabiliyorum, iyi güzel diyorsunuz da bu ne işime yarayacak? Bana ne sağlıyor? Cevap, buradaki üçüncü vektör iki vektöre diktir. soyut bir durum veya sayılarla ilgili bir durum olmasına bağlı olarak vektör çarpımını aldığımız diğer iki vektöre diktir. Öyleyse buradaki vektör a ve b'ye diktir. Eğer son videoya gidip bir düzlemdeki normal vektörlerden bahsettiğimiz yere göz atarsanız, bir düzlemi 2 vektörle ifade edebileceğimizi görürsünüz. Eğer bir düzlemi tanımlarsak, diyelim ki bir a vektörümüz var ve bir de b vektörümüz var. b vektörünü şöyle yazayım. Bu vektörler R3'te bir düzlem tanımlıyor. Düzlemimizin tanımını yazayım. Bu vektörlerin tüm doğrusal kombinasyonları bir R3 düzlemi oluşturuyor. Bunu R3 düzleminin bir alt uzayı gibi düşünebilirsiniz. Bu doğrusal kombinasyonlar bir düzlem oluşturur. Eğer a çarpı b'yi alırsanız, bu iki vektöre dik olan üçüncü bir vektör elde edersiniz. Öyleyse a çarpı b şu şekilde çıkar. İkisine dik olacak ve böyle görünecek. Öyleyse buradaki vektör a çarpı b'dir. Ama diyebilirsiniz ki bunu nerden bulduk, yani birden fazla dik vektör olabilir. Açıkça görülüyor ki, bu vektörün uzunluğu, burada belirtmedim ama bu şekilde yukarı doğru dik olabilir veya aşağı bu şekilde inmiş de olabilir. Bu da aynı zamanda a ve b'ye dik olurdu. Ve bu a çarpı b'nin tanımlandığı şekilde sağ el kuralını kullanarak vektörün yönünü görsel olarak bulabiliriz. Sağ elinizi alıyorsunuz ve işaret parmağınızı a yönünde uzatıyorsunuz. Sağ elinizi alıyorsunuz işaret parmağınızı a yönünde uzatıyorsunuz. Eğer işaret parmağınız a yönündeyse, orta parmağınız da b vektörü yönünde olacaktır. Öyleyse bu durumda orta parmağım bu yönde gider. Orta parmağım da böyle bir hareket yapmış olur ve diğer parmaklarım hiçbir şey yapmaz. Ve başparmağım da a çarpı b yönünde gider. Onu burada da görebilirsiniz, başparmağım a çarpı b yönünde gidiyor. Hepsini bir çizeyim. Şimdi bu a vektörü. b vektörü de bu yönde gidiyor. a vektörü çarpı b vektörünün bu yönü işaret edeceğini ve her iki vektöre de dik olacağını biliyorsunuz. Sizi bu vektörün tamamıyla dik olduğuna ikna etmek adına, bunlarla biraz oynayalım ve gerçekten böyle olduğunu görelim. Dik nedir? Bizim konumuzda dik vektörün tanımı nedir? Dik vektörler. Eğer a ve b vektörleri dik ise, bu a iç çarpım b'nin sıfır olduğu anlamına gelir. Hatırlayın, dikeyle dikin arasındaki fark, dik vektörler aynı zamanda 0 vektörü de olabilir. Öyleyse bunlar 0 vektörleri de olabilirler. Öyleyse, şimdi vektörler arasında sıfır dışı varsaydığımız açılardan bahsedelim. Eğer sadece vektör çarpımı yapıyorsanız sizi sıfır dışı bir sayı seçmekten alıkoyan hiçbir şey yoktur. Yine de size a çarpı b'nin kesinlikle hem a'ya hem de b'ye dik olduğunu göstereyim. Bunu göstermemin sizi ikna edeceğini düşünüyorum. Şimdi a çarpı b'yi buraya aynen yazayım. Yeniden yazmak istemiyorum. Pekala, kopyala-yapıştır yapayım buraya. Tamam, şimdi içine diğer şeyleri de yazalım. Bunun da nokta çarpımını alayım, sadece a vektörünün: bunlar a1 a2 ve a3'tür. Değil mi? Öyleyse iç çarpım neye benziyor? Bu terim çarpı bu, öyleyse. a1 çarpı a2 çarpı b3; eksi a1 çarpı a3 çarpı b2 Sonra da bunu pozitifiyle çarpacaksınız. Öyleyse a2 çarpı a3 çarpı b1. Sonra da eksi a2 çarpı a1 çarpı b3 Ve son olarak da artı a3 çarpı a1 çarpı b2; eksi a3 çarpı a2 çarpı b1 eder. Yaptığım tek şey bu iki şeyin nokta çarpımını almaktı. Bunların her birini aldım. Bu sayılar çarpı diğerleri bu iki terime eşit oluyor. Bu sayılarla bu diğerlerinin çarpımı sonraki iki terime eşittir. Sonra da yine bu sayıların çarpımı diğer iki terime eşittir. Eğer bu ifadeler gerçekten dikse çarpımlarının sıfır olması gerekiyor. Gerçekten böyle olup olmadığına bir bakalım. Eğer a1, a2 ve b3 varsa, bu, pozitif ve sonra aynı şeyi buradan çıkarıyorum. Burada da aynı şey var yine, a1, a2 ve b3 ama sadece negatifi. Bu ötekileri sıfırlar. Eksi a1, a3 ve b2 var. Burada da artı a1 a3 b2 var bunlar da birbirini götürecektir. Nereye ulaşacağımızı anladığınızı düşünüyorum. Burada pozitif a2 a3 b1'niz varken burada da negatif a2 a3 b1'iniz var. Bunlar da birbirini götürür. İşte şimdi, size bunun a'ya dik olduğunu gösterdim. şimdi de b'ye dik olduğunu göstereyim. Şimdi bu iç çarpım vektörlerimin başka bir versiyonunu alayım. Muhtemelen sayfayı biraz aşağı kaldırmam gerekecek ve geri gideyim. Bunu b vektörü defa çarpayım; b1, b2 ve b3'le. O halde b1 çarpı bu şeyin tamamı bize burada b1 a2 b3 eksi eksi b1 tane olacaktır. Eksi b1 a3 b2 Rengi değiştireyim.Ve sonra b2 çarpı bu şey. Buraya artı gelecek Ve sonra b2 çarpı bu şey buraya artı gelecek. Bu aslında sadece bir ifade ben bunu birkaç satıra yazıyorum. Bu bir vektör değil. Hatırlayın, iki şeyin nokta çarpımını aldığınızda skaler bir sonuç elde edersiniz. Öyleyse bu şeyin b2 katını alacağız. Yani b2 a3 b1 eksi b2 a1 b3 Son olarak da bunun b3 katı. Yani artı b3 a1 b2 eksi b3 a2 b1 Eğer bu ifadeler kesinlikle dikse sonucun sıfıra eşit olması gerekiyor. Bu durum için bir bakalım. Elimizde b1, a2, b3 var Öyleyse b1 ve b3 b1 a2 b3, bu pozitif bir değer ve bu ise negatif bir değer. Eğer bir adet b3'ünüz ve a2'niz varsa yani bunlar birbirlerini götürür. Demek oluyor ki burada eksi b1 a3 b2'niz var. Yani bir adet b1 ve b2'niz. Bu da eksi b1 a3 b2 eder. Bu aslında aynı şeyin pozitifidir. Sadece çarpma sırasını değiştiriyorum ama bunlar aslında aynı terimler. Gerçekte birbirlerinin tersiler ki çarpıldıklarında birbirlerini götürüyorlar. Son olarak b2, a1, b3'nüz var ve bu negatif. Sonra aynısının pozitif hali var. Yine bu arkadaşlar birbirlerini götürür. Sonucun sıfıra eşit olduğunu görürsünüz.Umarım buradaki vektörün kesinlikle a ve b'ye dik olduğuna ikna olmuşsunuzdur. Bunun nedeni de aslında tasarlanış biçimidir. Bu bir tanımdır.Biraz cebir kullanarak ben size açıklamadan da bu tanımı, kendi tanımınızı oluşturarak bulabilirdiniz. Ama belli bir şey var ki bu diğeri üzerine ilginç özelliklere sahip. Bunları da sonraki birkaç videomda anlatacağım umarım bunu yardımcı bulmuşsunuzdur.