Noktanın Düzleme Olan Uzaklığı

Bu videoda düzlem üzerinde yer almayan ya da şöyle diyeyim düzlem üzerinde yer alması gerekmeyen bir nokta ele alacağız bahsettiğim noktayı hemen çizim noktanın koordinatları da ilk 0,7 0,0 olsun bu nokta bir konum vektörü olarak da tanımlanabilir hemen çizim konum vektörünü kesikli çizgilerle göstereceğim ve 20 iyi Artı 70 c Artı ze0 K olarak tanımlayacağız bu vektör bu noktayı tanımlıyor Anlaştık mı Şimdi de bu nokta ile düzlem arasındaki uzaklığın neye eşit olduğunu bulmaya çalışacağım Bu arada bulabileceğim tek uzaklık bu değil yani bu nokta ile Mesela bu nokta arasındaki uzaklığı ya da bununla bunun bununla bunun veya bununla bunun arasındaki uzaklığı da bulabilirim Bir de uzaklık dediğimde bunun en kısa olan uzaklık olduğunu anlamamız gerekiyor en kısa uzaklık ve dik olan böyle değil Az önce gösterdiğim uzaklığı bulmaya çalışırken size bunu da Göstereceğim Şimdi öncelikle düzlem üzerinde olmayan bu nokta ile düzlem üzerinde yer alan bir nokta arasında bir vektör oluşturmaya çalışalım bundan önceki videoda düzlem üzerinde olan bu noktayı yani XP Birgül yp1 Gül zp noktasını kullanmıştık ve bununla devam edelim mahs ettiğim vektörü de hemen çizdiğim düzlem üzerinde başlayan yani başlangıç noktası düzlem üzerinde olan ve bu şekilde düzlemden çıkan turuncu bir ve 4 çizeceğim Evet düzlemden Çıkıp iki 0,7 0,0 noktasına gidiyor bu vektörü nasıl tanımlayabiliriz bir bakalım daha önce kullanmadığım bir harf seçim Evet bu vektör ette vektörü adını verelim fabak türü sarı konum vektörü eksi yeşil konum vektörü n eşittir hemen yazıyorum Bu ve bu csgo ordinatı bunların x koordinatlarının y koordinatı bunların ye koordinatlarının farklı olacak ec0 eksik specks koordinatlarının farkı ve bunu iyi bir ilmek türü ile çarpacağız Artı 70 eksiye peçar proje ve artı ze0 eksi zp çarpık Evet bu düzlemden çıkıp bu noktaya Baran bir vektör ama biz bu uzaklığın neye eşit olduğunu bulmaya çalışıyoruz Evet sarıyla Çizdiğim bu uzaklık uzaklığın Bu noktadan düzleme inen bir dikme ya da normal vektörü olduğunu düşünebilirsiniz en kısa uzaklık budur Öyle değil mi klasik üzerinden de gördüğümüz gibi bakın burada bir dik üçgen oluşturur Sam bu kenar düzleme Normal yani dik olacak dik açıyı da şöyle koyuyor ve bu şekilde düzlem üzerinden herhangi bir noktayı seçersem bu dik üçgenin Ben senin üstüne elde etmiş olurum ama düzleme ulaşmak için kat edilebilecek en kısa uzaklık Tabii ki de hipotenüs değil bu kenardır Bu kenar bundan her zaman daha kısadır Öyle değil mi Belki Şimdi soruyorum Bu Rektörü kullanarak bu kenarın uzunluğunu yani mavi ile Çizdiğim bu uzaklığı nasıl bulabiliriz bu vektörün büyüklüğünü bulabiliriz Öyle değil mi bu kenarının uzunluğunun evde ürünün büyüklüğüne eşit olacağını Evet Bunu söylemeye çalışıyorum Bunu yapınca bu uzunluğu bulabiliriz ama bulmamız gereken uzaklık Bu biraz düşünelim şimdi buradaki açıya teta dersek trigonometri kullanabiliriz Öyle değil mi uzaklığı da de olarak adlandırıldı mu durumda Cosinüs teta komşu böyle hipotenüsten hemen yazıyorum komşu kenar yani de böyle hipotenüs yani Felek Börü'nün büyüklüğü Bunun iki tarafını fedek törün bu bu ile çarparsam senin büyüklüğü çarpık o sinüste Tan'ın değere eşit olduğunu buluruz bu noktada elimizde hala çok Somut bir şey yok fenin neye eşit olduğunu bildiğimiz için büyüklüğünün ne yaşat olduğunu bulabiliriz ama TED Han'ın neye eşit olduğunu bilmiyoruz Peki TED ayı nasıl bulabiliriz onun içinde gelin birazcık daha düşünün bu teta açılsın Bir saniye Mesela bu uzunluk normal vektörünün uzunluğuna eşit değildir ama yönleri aynıdır Bu yüzden de bu açının Bu vektörle normal vektörü arasındaki açıya eşit olduğunu söyleyebiliriz doğrusal Cebir İnik derslerinden da hatırlayacağımız üzere iki vektörün nokta çarpımını aldığımızda aralarındaki açının kosünüs ünüde değerlendirmemiz gerekiyordu değil mi Bunu daha iyi hatırlamanız adına bu denklemin iki tarafını da hemen yazıyorum sol tarafı normal vektörün büyüklüğünü ile çarpıp bölücem Evet bunu yapınca değerini değiştirmemiş olur Ne yazalım normal vektörün büyüklüğünü çarp ayım ve normal sektörün büyüklüğü ne böyle yine o bir yerde bir ile çarpmak da aynı şeyler ve değerini değiştirmemiş olurum ama bunu gördüğünüzde aklınıza hemen bir şeyler gelmiş olmalı bunun normal vektörü ile f vektörünün nokta çarpımı olduğunu görüyorsunuz değil mi bu ne ile fenin nokta çarpımıdır ve daha önce de gördüğümüz üzre büyüklüklerinin çarpımının aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşittir O halde bu uzaklığı başka bir değişle bulmamız gereken en kısa uzaklık normal vektörü ile vektörünün nokta çarpımının normal vektörün büyüklüğünü bölümüne eşittir Hadi bakalım normal vektörü ile bunun nokta çarpımını alalım bundan önceki videoda bize düzlemin denklemini verdiklerinde normal bekliyorum bileşenlerinin xy&z terimlerinin katsayıları eşit olduğunu görmüş Bu normal vektörü bu Haydi nokta çarpımı alalım neyle fenin nokta çarpımı a çarpık sıfır eksik SP bunu pembeyle yazayım Aa ec0 eksi ait XP artı be çarpı ye bileşeni Bey'e sıfır eksi b y p bunları yaparken bu parantezleri açtığımızı görüyorsunuz değil mi farklı bir renk daha seçeyim WC çarpı Z bileşenini yani C çarpı ze0 eksi CZ p bunu bir dene vektörün büyüklüğünü böleceğiz ne yemek türünün büyüklüğü de normal vektörün kendisiyle nokta çarpımının kareköküne eşittir bunların karelerini alıp toplayacağız sonra da karekökünü alacağız yazıyorum karekök içinde daha düzgün çizim Evet karekök içinde A kare artı b kare artı c kare Peki bunu daha basit bir şekilde ifade edemez bu aradığımız uzaklık Bu öyle değil mi eşittir de yazıyorum bakalım sadeleştir E bilecek miyiz Öncelikle koordinatları 2070 ve ze0 olan yani düzlem üzerinde olmayan noktaya yazayım ama ec0 artı Bey'e sıfır artı CZ sıfır Peki ya bunlar eksi aex be eksi beyep eksi CZ p buradaki değerinin Yani bir düzlemin denklemindeki D'nin bundan önceki videoda düzleme dik olan vektörün yani normali ne olduğunu bulmaya çalışmıştık XP noktası düzlem üzerinde ise de Nina exp ve artı b y b artı c z p y eşit olduğunu görmüştük Bu da D'nin negatif inin Evet eksi aix p Bu arada burada büyük a burada Küçük Ağa var ama bunlar aslında birbirine eşit Evet eksi aix B eksi b y p eksi CZ p y eşit olduğunu Evet de söyleyebilir bundan önceki videoda bulduğumuz Şehit kullanıyorum ve değerinin negatifin buna eşit olduğunu söylüyorum farkındaysanız bununla da bu aynı eksi aix B eksi Beytepe ve eksi CZ P O halde Bunun yerine de eksi de yazabilirim bu arada değeri negatif indeki büyük beğenin aradığımız uzaklık değil düzlem denklemindeki de olduğunu da bir kere daha söylemek istiyorum uzaklığın payında bu var paydada ise A kare artı b kare ağartıcı karenin karekökün İşte bu kadar Bu bize herhangi bir nokta ile düzlem arasındaki uzaklığı verir ayrıca son derece mantıklı olduğunuda söylemek istiyorum şimdi size hemen bir örnek göstereyim diyelim ki elimizde bir x eksi ikiye artı üç sene eşittir 5 düzlemi olsun düzlem üzerinde olmayan bir de nokta seçelim mesela 2,3 virgül şimdi düzende şu an emin olmak istiyorum Evet Birgül bir olsun bu nokta Evet düzlemde değildir Öyle değil mi iki -6 artı3 Evet 5 e eşit bu noktayla düzlem arasındaki en kısa uzaklık Az önce bulduğumuz formülü kullanarak bulabiliriz hemen yazıyorum Bir çarpı iki aynı rengi kullandım Evet bir çarpı iki -2 çarpı burayı dolduracağım artı üç çarpı bir şey eksi 5 bölü bunlarıda yerlerine koyayım bir çarpı iki -2 çarpı üç artı üç çarpı bir eksi 5 bölü karekök içinde 1'in karesi Yani bir artı eksi ikinin karesi yani dört artı 3'ün karesi yani dokuz Buradan da Bir bakalım iki gelir bu -6 ya bu 3 e 1 de -5 var iki artı 35 e de eksi 50 ve eksi altıdan da -6 elde ederiz böyle karekök içinde beş artı 9-10 4'ün karekökü ne eşittir İşte bu kadar Umarım faydalı bir video olmuştur Bu formülü kullanarak bir noktanın düzlemi olan en kısa Uzaklığını hesaplayabileceğiniz i artık biliyoruz