Cauchy-Schwarz Eşitsizliğinin İspatı

bu elimizde sıfırdan farklı iki tane vektör olduğunu düşünelim birincisi eksi İkincisi de elektörü Olsun ikisi Dere üzeri en kümesinde ve sıfırdan farklılar Anlaştık mı Bunu da not edelim sıfırdan farklı Bunların farklı bir renk kullanacağım Evet bu renk güzele benziyor bu ikisinin nokta çarpımlarının lak değeri Bu arada bunun skaler bir değer olduğunu da hemen hatırlatmak istiyorum devam edeyim nokta çarpımları Küçük Cadı eşittir uzunluklarının çarpımı nokta çarpım ve uzunluk ya da büyüklüğü ne anlama geldiğini de biliyoruz değil mi bu nokta Çarpın büyüklüklerinin çarpımından küçük ya da eşit Hatta eşit oldukları tek durumun Yani iki vektörün nokta çarpımlarının mutlak değerinin büyüklüklerinin çarpımına eşit olduğu durumdan bahsediyorum not edeceğim bu vektörlerden birinin diğerinin skaler bir katı olduğu durum ev O da söyleyin bunu eş doğrusal olmaları olarak da ifade edebiliriz ve eş doğrusal olmak vektörlerden birinin diğerinin uzun ya da kısa versiyon olması anlamına geliyor Evet bu x-back döngüye vektörün skaler bir katı bu anlama geliyor ve bu durumda doğru bu eşitsizliklere ya da bu eşitlik ve bu eşitsizliği dediğim karşısı varsa eşitsizliği adı verilir ve şimdi de size Bunun ispatını yapmak istiyorum çünkü böylesine iddialı bir şeyi öylesine kabul etmek de doğru olmaz ispat için bazı fonksiyonlar yazacağım fonksiyonlardan biri bir skalerin mesela Tenin fonksiyonu Sun Evet peçeteyi T çarpı ye ve Döndü eksik sektörünün büyüklüğü olarak tanımlayacağız bu bir vektör Bu da vektörün büyüklük şimdi bunun bir de karesini alalım devam etmeden size ufak bir hatırlatma yapmam gerekiyor Evet şimdi bir vektörün evet Reel bir vektörün büyüklüğünü dediğimizde Şuraya yazin bir ve vektörünün büyüklüğü diyelim bunun pozitif olduğunu ya da en azından Sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olacağını kabul etmenizi istiyorum Neden diyecek olursanız bu vektörün terimlerinin karelerinden oluşur da ondan V1 in karesi artı V2 nin karesi Böylece ve en in karesi ne kadar Bunların hepsi Reel sayılardır ve bir el sayının karesini aldığınızda da sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit bir sonuç elde edersiniz benzer şekilde toplamları da sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir ve karekökünü aldığımızda elde edeceğimiz pozitif kök de bu yüzden sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit olur Bu da Reel bir vektörün büyüklüğün sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit olacağı anlamına gelir bu Reel bir vektörün büyüktür ve o halde Neymiş sıfırdan büyük ya da sıfıra eşitmiş bundan önceki videoda ya da sanırım iki önceki videoydu bir vektörün büyüklüğünün karesinin vektörün kendisiyle nokta çarpımı olarak ifade edilebileceğini de göstermiştim bu vektörüne bu şekilde yazalım vektörün büyüklüğünü ün karesi kendisi ile nokta çarpımına eşit olacak evet Teye eksiği x çarpı Thai eksi İTS bundan önceki videoda buna benzer bir çarpımı ya da nokta çarpımı dağılma birleşme ve değişme özellikleri söz konusu olduğunda tam sayılarla yaptığımız çarpma işlemi olarak düşünebileceğiniz den bahsetmişti Kısacası bunları çarptığımız zaman bunların 2010'un çarpımı olduklarını düşünebilir ve işlemi de Alışık olduğumuz 2010'un çarpımı olarak yapabiliriz demek istediğim dağılma özelliğini kullanarak bu parantezleri açabiliriz anca var bunun Alışık olduğumuz çarpma işlemi olmadığını da aklınızdan hiç çıkarmalısınız kafanızı karıştırmak istemiyorum Fakat nokta çarpımda çarpma farklı işlemlerdir ve bu bir nokta çarpım yani vektör çarpımının bir çeşidi dağılma özelliği nokta çarpım için de geçerli ve bunu uyguladığımızda Öncelikle teyzenin Thai ile nokta çarpımını alıyor hemen not edeyim PYD'nin s y ile nokta çarpımı sonra ilk çarpı bu yani Teye Bu arada çarpı da demem lazım Çünkü bu çarpma değil nokta çarpım Evet eksik slt yeni nokta çarpımı sonra t y ile buradaki Eksiksin nokta çarpımı var ek siteye ile x'in nokta çarpımı ve son olarak da ikizlerin nokta çarpıp bunları da -1 xl eksi biriksin nokta çarpımı olarak düşünebiliriz artı eksi bir ben yazıyorum bunları da artı eksi bir ve artı -1 olarak değiştirsem daha kolay anlaşılacağını düşünüyorum -1 İkisi de eksi birisin nokta çarpımı bir bakalım Parantezi açınca değişme ve birleşme özelliği de kullanarak bunu yeğenin y ile nokta çarpımı çarpı t kare olarak yazabilirim Ne de olsa test Color bir değer öyle değil M devam ediyorum eksi bunların ikisi de birbirinin aynısı olduğuna göre dikkat edecek olursanız sadece yerlerinin değişmiş olduğunu görürsünüz Buna ek olarak nokta çarpımın değişme özelliğinin olduğunu da bildiğimize göre bunu iki çarpı x yeni nokta çarpımı çarpı T olarak yazabilirim bunları farklı renklerle yazarsam Sanırım daha iyi olacak Evet bu ikisine bu şekilde yazdık son olarak burada -1 çarpı eksi bir var Bundan artı elde ederiz yani bunu yok artık seksin nokta çarpımı olarak yazabilirim Belki bunu da farklı birinde göstermeliyim mesela turuncun Evet bu ikisini de bu şekilde ifade ettik tamam mı Bunları da bu şekilde burada bunu yazdığımda bunun sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit olduğunu söylediğinde hatırlıyorsunuz değil mi aynı şeyi buraya da yazabilirim çünkü bununla bu aynı ifadeler büyük ya da eşittir sıfır ifademizi Şimdi bir de temize çekelim Bunun yerine a kullanmak istiyorum Buna de diyelim -2 çarpı isleyenin nokta çarpımından bahsediyorum tehi dışarıda bırakıyorum son olarak ilk 80 nokta çarpımının yerine DC kullanacağım bunları yerleştirin CD Ağa çarpı t kare eksi B çarpıttı artı c büyük ya da eşit sıfırı elde ederiz Evet bu da buradaki gibi sıfırdan büyük ya da sıfıra e Ne olacak bunun TT eşit olduğunu da yazabiliriz tabi buraya koyduğumuz herhangi Ariel bir T değeri için sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit bir sonuç elde edeceğiz buraya herhangi bir T değeri verebileceğimiz e göre ben bu değer inbay böyle IKEA olmasını istiyorum ama neydi bunu sormamın sebebi herhangi bir yerde böyle 0 elde etmek istemem aix vektörünün kendisiyle nokta çarpımına eşit weixin sıfırdan farklı bir vektör olduğunu da biliyoruz bu büyüklüğünün kalesini eşit sıfırdan farklı bir bekler olduğuna göre büyüklüğün aldığımızda buradaki terimlerin bazıları pozitif olacak o halde bu sıfırdan farklı bir ve dördü ve kendisiyle nokta çarpımının iki ile çarptığımızda sıfırdan farklı bir vektör elde edeceğimiz için peyi bu değerde değerlendirebiliriz başka bir değişle sıfırla bölüm durumu konusunda endişelenmenize gerek yok bunun son bu yeşile devam edeyim renk değiştirince biraz zaman kaybediyorum ama olsun a çarpı bunun karesi yani bekare bölü 4 Han'ın karesi eksi be çarpıp bu yani B bölü iki a buradaki gerçek bir çarpma işlemi ve artı c büyük eşit sıfırına ekleyeceğim ve bunu sadeleştirilir sake acaba sonuç ne olur Bu aile sadeleşir buradan ve kara gelir hemen yazıyorum ve kare bölü 4 a eksi b kare bölü iki artı c büyük eşit sıfır bunun payı ve paydası iki ile çarparsak 2B kare bölü 4 A Bunların ortak paydalarını da bulduğunuza göre devam edelim ve kare bölü 4 A -2 bekare bölü 4 a dan payda ve kare -2 bekare var Eksi b kare 14A artı c büyük eşit sıfır bu İki terimin toplamından bunu elde ettik bunu eşitsizliğin iki tarafına da eklediğimizde C Büyük eşit bekare bölü 4 A buluruz sol tarafta bunun negatifi vardı İki tarafa pozitif ini eklediğimde sağ tarafta pozitifin elde ederim öyle değil mi Bir eşitsizlikle karşı karşıyayız Şimdi de az önce yerine a b ve c yazdığım ifadeleri yerlerine geri koymak istiyor ağabey e&c neye eşittir bakalım aslına bakarsanız bunu biraz daha sadeleştirmek için iki tarafı birde 4 hala çarpım Böylece bu kesirli ifade eden de kurtulmuş olacağız bu noktada anın 0'dan farklı olması yanında pozitif olduğunu da biliyoruz ne demiştik Bu büyüklüğünün karesine eşittir ve size Reel bir vektörün büyüklüğünün pozitif olacağını da göstermiştim size anın pozitif olduğunu ispat et bu dememin sebebi eşitsizliğin iki tarafına hala çarptığımızda eşitsizliğini yönünün değişmesini istemiyor oluşum Evet az önce de dediğim gibi bunları yerlerine koymadan ifadenin iki tarafını Bir de 4 Ayla çarpmak istiyorum Böylece 4ace büyük eşit bekar Eye geldim işte böyle a büyüklüğünün karesine eşit olduğu için pozitif bir de Yani evet yeğenin yeğle nokta çarpımı yeğenin büyüklüğünün karesine eşit ve bunun da pozitif bir değer olduğunu biliyoruz pozitif olmak zorunda şimdi şimdi bunları yerlerine gr koyalım dört çarpı a yani yeğeni niye ile nokta çarpımı Bu arada yeğenin yeğle nokta çarpımının yeğenin büyüklüğünün karesine eşit olduğunu da biliyoruz Evet bu yiye ile yeğenin nokta çağırdım ve bu da çarpıcı ccd ilk seksin nokta çarpımına eşittir eksikse nokta çarpımı yerine dexun büyüklüğünün faresini o Mehmet Bu da C4 çarpı Ağa çarpıcı buna eşit büyük eşit bekare Yani bunun karesi iki çağırdığı x yeğenin nokta çarpımının karesi bekrek Buradan nasıl ilerleyelim Bu arada bunun değil tüm bunun karesini alıyoruz Evet böyle parantez içine alayım Evet bu da be Şimdi bunu sadeleştirilebilir miyiz farklı bir renkle devam edeceğim dört çarpı yeğenin büyüklüğünün karesi çarpı X'in büyüklüğünün karesi büyük eşit bunun karesini alınca da dört çarpı x yeğenin nokta çarpımının karesini yani ikseleyen nokta çarpımı Çarpı x yeğenim nokta çarpımını elde ederiz bunun yerine ikseleyen nokta çarpımının karesi yazacağım Evet böyle daha iyi Şimdi iki tarafı dörde bölelim en sevdiğin yönü değişmez Bunlar birbirini götürür iki tarafın Bir de karekökünü al Bunların pozitif olduklarını biliyoruz O halde karelerinin karekökü kendilerine eşit olacak Evet iki tarafın karekökünü alınca yeğenin büyüklüğü çarpı X'in büyüklüğü büyük ya da eşit bunun pozitif karekökünü alacağız eşitsizliğin iki tarafında pozitif karekökünü aldığımızda karmaşık durumları da engellemiş oluyoruz bunun pozitif karekökü ikseleyen in nokta çarpımının mutlak değeri n eşittir bunun mutlak değer içerisinde olması gerekiyor çünkü bu negatif bir değere de eşit olabilir karesinin pozitif olur Ama bunun karekökünü aldığımızda da pozitif bir değer elde etmek için mutlak değer işaretini kullanmamız gerekiyor Anlaştık mı yoksa eşitsizliğin yönü de değişmiş olur ve her şey karmakarışık bir hâl alır pozitif karekökünü al bu ve buna mutlak değer içinde alarak pozitif kalacağından da emin oluyoruz ve sonucumuz İşte bu vektör lerimizin nokta çarpımının mutlak değeri vektörlerin büyüklükleri çarpımından küçük ya da eşit koşu is was eşitsizliğini de Evet Böylece ispatlamış olduk Son olarak size bir de X'in yeğenin skaler bir katı olmasından bahsetmiştim Evet onu açıklamak istiyorum Bu durumda mutlak değer yani isteyenin nokta çarpımının mutlak değeri bu neye eşit olur x yerine gelince çarpı y yazalım birleşme özelliğine göre bunu cenin mutlak değeri çarpı yeğleyen nokta çarpımı olarak yazabiliriz mutlak değerin sebebi de her şeyin pozitif kalmasını istiyor oluşumuz Bu C çarpı yeğenin büyüklüğünün karesine eşittir Öyle değil mi Evet bu C çağırdı ya da ces galeri bak bak değeri çarpı yeğenim büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklüğüne eşit bunu da bu arada Eğer isterseniz bunun ispatını da Kendi kendinize yapabilirsiniz ceyi büyüklük işaretinin içine koyarsak Evet uzunluğun tanımından yola çıkarak bu ispatı Kendi kendinize yapmayı deneyin Evet evet faydalı bir alıştırma olacağından eminim mutlak değer içindeki C He bununla çarparsam C yeğenin büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklüğünü elde ederim bunların rektör olduklarını da belirtelim Sanırım bir yerde bunu yapmayı bırakmışım ama dikkatli olmamız lazım Evet işte bu kadar bunun ilk olduğunu biliyoruz Öyle değil mi yani bu da içsin büyüklüğü çarpı yeğenin büyüklüğüne Eşref bu değilseniz ıspatları yapmayı deneyebilirsiniz Gerçekten de çok faydalı alıştırmalar olacaklardır Örneğin cenin mutlak değeri çarpıya vektörün büyüklüğünü ince çarpı yeğenin büyük gün eşit olduğunu ispatlamaya çalışabilirsiniz Evet neredeyse umarım sizin için de faydalı bir video olmuştur doğrusal Cebir de ki farklı sonuçları ispatlamak için koşu Sivas eşitsizliğini çok kullanacağız bundan sonra yapacağım bir videoda bunun nokta çarpıma göre neden daha mantıklı olduğundan da bahsedecek