İspat: Çapraz Çarpım ve Açının Sinüsü Arasındaki İlişki

Selam Bu videoda çapraz çarpımın tanımından Sanırım 3 bilye önceydi Evet elde ettiğimiz bir sonuçtan yola çıkıp bu sonuç sıfırdan farklı iki vektörün nokta çarpımının aile beni nokta çarpımı diyeyim uzunlukları ya da büyüklüklerinin çarpımı not edeyim en iyisi anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı açının koşusu Evet bu ikisinden yani R küpteki bir çapraz çarpım ve bu sonuçtan yola çıkarak iki vektörün çapraz çarpımının büyüklüğü ile ilgili bir çıkarımda bulunmaya çalışacağız çapraz çarpım aldığımızda bir vektörel de ederiz Ama büyüklüğünü ya da uzunluğunu değerlendirdiğimizde ise bir sayı yani skaler bir değer elde ederiz Bu vektörlerin büyüklüklerinin çarpımı yazin anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı aralarındaki açının sinüs Bu arada bu oldukça net bir sonuç ve bu sonucu da bir yerde tamamlıyor nokta Çarpın Da Costa bu çapraz çarpımda ise sinüs var unu daha önce gördüğünüz değil mi Evet eğer fizik videolarımı izlediyseniz kesinlikle görmüşsünüzdür bunun arkasında yatan mantığı anlattığım uzun bir video bile var İsterseniz bu videoya yenilen izlemenizi öneririm ama bunu doğrusal Cebir bağlamında yeniden yapacağımı da eklemek istiyorum Bu videoda size bunu ispatlamaya çalışacağım Evet size bunu ve bunu kullanarak bunu elde edebileceğimi göstereceğim bu noktada eğer bana güveniyorsanız ya da bunu daha önceden gördüyseniz bu fikri seyretmeyin çünkü işler bayağı karışacak Evet oldukça karmaşık bir ispat olacak Bilginize Eğer benimle kalın videoyu seyredeceksiniz de o zaman adet başlayalım işe aile beğenin çapraz çarpımının büyüklüğünün karesini alarak başlayacağım Bu aile benim çapraz çarpımı ve bende bu vektörün büyüklüğünü kare Evet tamam mı bunu daha önce bir çok videoda gördük ve bende bu fikri daha önce defalarca kullandım hemen yazıyorum rastgele bir vektörün büyüklüğünü ün karesi vektörün kendisiyle nokta çarpımına Ya da ilk sene kadar tüm terimlerinin karesinin toplamına eşittir Bu neye eşittir Bu bu vektöre eşittir Sadece üç bileşen olduğu için bu bileşenlerinin karelerinin toplamına eşit olacak Hemen not edeyim Bu Terim in karesi yazıyorum a 2 b 3 eksi a3b 2'nin karesi artı bunun karesi yani artı A3 B1 eksi a1b 3'ün karesi son olarak bir de bunun karesini alacağız artı A1 B2 eksi a2b 1'in karesi Belki bu ne eşit açılımını yazıyor Dur bakalım binomun karesinin açılımını yapacağız zaten bunu da daha önce defalarca yaptık böyle değil mi me eşittir a 2'nin karesi ve 3'ün Karesi sonra bunları birbiriyle çarpıp çarpımın iki katını alacağız -2 çarpı A2 A3 B2 B3 Evet bir yandan da sıralayarak yazıyorum artı bunun karesi yani a 3'ün karesi V2 nin karesi buna bunu ekleyeceğiz artığa 3'ün karesi B 1'in karesi -2 çarpı bunların çarpımı yani mi A1 A3 B1 B3 ve artı bunun karısı yani a 1'in karesi ve 3'ün Karesi son olarak da bunun da karesini alırsak artığa 1'in karesi B 2'nin karesi -2 çarpı va1 A2 B1 B2 ve artı bunun karesi yani a 2'nin karesi B1 inkar etsin Evet işte bu kadar Şimdi de bunu daha sonra kullanışlı olacağını bildiğim bir şekilde yeniden yazayım A2 A1 ve A2 3'ün karesi parantezine alarak yapacağım bu işi Nötr bir en kullanmayın Evet eşittir A1 in karesi çarpı abinin karısı nerede var burada ve burada evet a 1'in karesi çağırdı B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi güzel sırada a 2'nin karesi var Onlar da işte Burada Lara 2'nin karesi çarpı B birin karesi artı be 3'ün karesi ve son olarak yeni bir renkle bira 3'ün karesi Parantezi açalım Ağa bir tanesi de bunda ve bunda var A3 ün karesi çarpı B birin karesi artı B 2'nin karesi ortadaki bu karmakarışık ifadeleri de unutmayacağız da bir bunları da Bir bakalım hepsi iki çarpı bunlar yani A2 A3 B2 B3 artı A1 A3 B1 B3 artı a1 a2 B1 B2 Evet işte bu kadar bu şimdilik burada biraz istirahat etsin Evet buraya bir çizgi çizin Bu arada bunun bir çapraz çarpımın büyüklüğünün karesi olduğunu da aklınızdan çıkarmayın Evet bundan ibaret ve bunu sakın unutmayın şimdi yine bunun gibi uzun ve karmaşık bir hesap daha yapacağız önce bunu yazayım anın büyüklüğü çarpı beğenin büyüklüğü çarpı aralarındaki bu kosinüsün Ayla beğenin nokta çarpımına gibi bunun sonucunda burada bulmuştuk Evet onu da yazayım ama bir çarpı B bir artı A2 çarpı B2 artı a3x b3e eşit olduğunu biliyoruz bunun olduğundan daha da karmaşık olmasını sağlamak için İsterseniz gelin bir de karesini alalım Evet bu eşitliğin iki tarafında karesini alacağım anın büyüklüğünün karesi çarpı beğenin büyüklüğünün karesi çarpı kosinüs kare tetta eşittir aile beğenin nokta çarpımının karesi Evet eşittir bunun karesini elde ederiz peki bunun karesine eşittir buradaki kareyi silip aynısını bir kere daha yaz iyiyim A1 B1 artı a2 b2 artı a3b 3 Şimdi de bu polinom çarpma Ne yapalım önce bunu Buradakilerin her biri ile Çarpacağım A1 B1 çarpı a1ve bir buraya yazayım Evet a 1'in karesi B 1'in karesi değil mi Sonra artı bununla bunu Çarpacağım A1 B1 çarpı a2 b2 Evet a1 a2 B1 B2 olarak yazıyorum artı bununla bunun çarpımı yani A1 A3 ve B1 B3 şimdi sırada ikinci Terim var yani bunları bununla çarpıcı A2 Bey ki çarpı A1 B1 buna eşittir yazayım altına a2 b2 çarpı A1 B1 altına yazmamın sebebi Aynı olmaları ve sonra bunu sadeleştirerek olmamız göreceğiz Evet bununla bunun çarpımının sonucu bu sonra bununla bunu çarpalım onu da buraya yazayım Evet a 2'nin karesi vb bu nin karesi araya artı koyuyorum son olarak ortadaki ile bir de bunu çarpma mız lazım onu da buraya yazacağım artı A2 A3 B2 B3 Evet bir tane daha var Bunu da mavi ile yaz iyiyim son olarak bir de bunu bunların her biri ile çarp mamız gerekiyor a3b üç çarpı A1 B1 Bununla aynı olduğu için buraya Sina a3b 3 A1 B1 Evet bununla bunu çarpınca da a3b 3 a2 b2 elde ederiz söylediğimi araya artık koyayım Sonuncusu da a 3'ün karesi ve 3'ün Karesi Evet Bunları bunları topladığımızda sonuç ne olur dersiniz yeniden renk değiştireyim ama 1'in karesi B 1'in karesi Bu arada renkleri de bilerek bu şekilde kullanıyorum artığı 16A 2'nin karesi V2 nin karesi ve artığı a 3'ün karesi ve 3'ün karesi artı bunları da beyazla yazıyım geriye ne kaldı bu terimin iki katı bunun ve bunun iki katı hemen yazıyorum artı iki çarpı a1 a2 B1 B2 Artı bu A1 A3 B1 B3 ve artı A2 A3 B2 B3 ve Benim gördüğümü sizde görüyorsunuz değil mi Bununla bunu karşılaştırırsak aynı olduklarını görebiliriz bakın İkisinde de a1 a2 B1 B2 var bu terimle bu Terim birbirinin aynısı benzer şekilde farklı bir renk seçim A1 A3 B1 B3 A1 A3 b 13 bununla da bu aynı ve son olarak İkisinde de A2 A3 B2 B3 de var burada bunu da hemen düzeltiyorum acaba 3 B2 B3 A2 A3 B2 B3 bununla da bu Aynı bu ifadenin açılımını aldığımızda bu terimin İki katın bunun açılımını aldığımızda ise eksi iki katını bu şimdi bakalım sadeleştirme bilecek miyiz bununla bunu toplayalım Ne dersiniz evet Hadi bakalım sizde heyecanlanmaya başladınız değil mi aile beğenin çapraz çarpımının büyüklüğünün karesine bunu anın büyük günün karesi çarpı beğenin büyüklüğünün karesi çarpı açının kosinüsün karesini Evet ekleyeceğiz bunun ney eşit olduğunu bulmak için bununla bunu toplamamız lazım Öyle değil bununla bunu toplayınca bu bunun eksi iki katı Bu da artık ne demiştik O halde birbirlerini götürürler harika Evet bu İki terimin topladığımız zaman bu dediğimin iyice anlaşılmasını istiyorum Bu ikisi birbirini götürecek Evet bu ikisinden bahsediyor ve sadeleşme leride çok ama çok iyi bir şey çünkü işlerimizi kolaylaştırıyor Böylece geriye bununla bunun toplamı kalacak abinin karesi var kat sayılarını toplayacağız a2'nin karısı var onun da katsayılarını toplayacağız ve bir de A3 ün karısı var peki Sonuç ağabey nin karesi çarpı bununla bunun toplamı hemen yazıyorum B birin karesi artı B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi Her şey birdenbire daha düzenli bir hal almaya başladı gayet güzel artığa 2'nin karesi çarpık at sayıların toplamı Yani b 1'in karesi 16 B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi harika son olarak bir de a 3'ün karesi var Bunu da sarıyla yazalım Evet a 3'ün karesi çarpı de birin karesi artı B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi çarpı bebeğin karı saat B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi bunların yani çarpı B birin karesi artı B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi nin ortak olduğunu Siz de gördünüz değil mi Evet o halde bunları da bir paranteze alabiliriz B birin karesi artı B 2'nin karesi artı be 3'ün karesi çarpı Ağrı terimlerin kareleri yani a birin karesi artı a 2'nin karesi artı a 3'ün karesi Evet sona çok yaklaştık bunların ikisi birbirine eşit Peki bu neye eşit bunu bu şekilde yazabilir miyim düşünelim bu böyle beğenin nokta çarpımına ya da beğenin büyüklüğünün karesine eşittir Peki ya bu aynı mantıkla Bu da anın büyüklüğünün karesi yani anın kendisiyle nokta çarpımına eşittir şimdi hepsini baştan yazıyorum elimizde anın b ile çapraz çarpımının büyüklüğünün karesi var Buna anın büyüklüğünün karesi aslına bakarsanız kopyalayıp yapıştırsam Evet daha kolay olacak sanki Evet Artı bu neden olmadı Bir saniye kontrol copy ve ara olmadı olmadı Peki tamam O halde o halde yazmaya devam edelim kısayolu Her zaman iyi ol değildir değil mi Martı anın büyüklüğünün karesi çarpı beğenin büyüklüğünün karesi çarpı aralarındaki açının kosinüsün ün karesi buna Bu çeşit Peki İki taraftan bunu çıkarırsak Ne Olur Bir bakalım aile beğenin çapraz çarpımının büyüklüğünün karesi bununla Bunun farkına eşit olacak önce yazıyım iki taraftan bunu çıkarınca eksi anın büyüklüğünün karesi çarpı beğenin büyüklüğünün karesi çarpı aralarındaki açının kosinüsün ün karesi bunları anın büyüklüğünün karısı çarpı beğenin büyüklüğünün karesi parantezine alabiliriz değil mi bunun sırası farklı ama sonuç olarak Aynı şeyden bahsediyoruz eşittir anın büyüklüğünün karesi çarpı beğenin büyüklüğünün karesi çarpı bir eksik Osman Usta ratata Evet bana hemen bir eksi kosinüs palet eta'nın ney eşit olduğunu söyleyebilir misiniz hep doğru sinüs karete daha çok doğru sinüs galetayla kosinüs karette tanrının Evet yazdım toplamı 1'dir da hatırlatmış olalım bildiğimiz en basit trigonometrik özdeşlikler Aslında İki taraftan koşunuz kalitede çıkarırsak sinüs kare Tan'ın bir eksi kosinüs kare tetaya eşit olduğunu bulabiliriz O halde Bunun yerine de sinüs kare teta yazabilirim Şimdi bir de karekökünü alalım Evet gerçekten çok heyecan verici iki tarafın karekökünü alıyorum anın böyle çapraz çarpımının büyüklüğe anın büyüklüğü çarpı beynin büyüklüğü çarpı aralarındaki açının sinüsünü ne eşit İşte bu kadar bu noktaya gelebileceğini gerçekten de düşünemiyorum ama umarım Siz de tahmin olmuşsunuzdur demek istediğim bunu artık körü körüne kabul etmek zorunda değilsiniz ve küçük bir hata yapmadan da ya da elektrikler kesilmeden de artık bu videoyu da sonlandıralım değil mi Umarım sizde eğlenmiş siniz dir ve faydalı olduğunu düşünüyorsanız dur bro