Vektör Nokta Çarpım Özelliklerinin İspatı

Selam Bu videoda size nokta çarpımının temel özelliklerini ispatını yapmak istiyor Az sonra göreceklerini size bir miktar sıradan gelecek olabilir aslına bakarsanız gerçekten de sıradan şeylerden bahsedeceğim çünkü bunlar ilk olarak doğrusal Cebir derslerinde sizden bilmeniz beklenen şeylerdir ama daha da önemlisi bunu yapmak bize vektörler hakkında temelden başlayarak bir şeyler öğrendiğimiz ve özelliklerimizi üst üste koyduğumuz hissini verir Böylece varsayımlarda bulunmak zorunda kalmayız fiyatları kendi kendimize yapacak düzeye geliriz ve ayrıca bilgimiz arasında boşluklar da kalmamış olur Öncelikle bir vektör nokta çarpımı aldığımızda mesela ve vektörü ile dabılyu vektörünün nokta çarpımı olsun bu işlemin değişme özelliğinden bahsedelim bu nokta çarpımı hangi sırayla aldığımızın bir önemi olmadığı anlamına gelir ve şimdi bunun dabılyu ve vektörünün nokta çarpımını ne olduğunu ispatlayacağım Peki bu ispatı Nasıl yapacağız vektör ispatlar için kullanılan bir yöntem kullanacağım önce vektörleri yazalım ww2 böyle böyle ve neye kadar bir vektör olarak Evet vektöre vektörü diyelim de vektörünü dede ve bir tablo 2'den da Blue neye kadar tanımlayalım böyle Double nokta çarpımı neye eşittir sorumuz Bu ve ile da videonun nokta çarpımı renk değiştireyim ve bir çarpı Blue bir artı ve iki çarpı blue2 ve böylece ve en çarpıcı da bölümüne ye kadar olan bu toplama eşit Peki ya da bu video ile beğenin nokta çarpımı nokta çarpımının tanımına göre yani vektörlerin nokta çarpımını bize verdikleri sırayla alırsak sana bölüyor bir çarpı ve bir artı da ww2 xv2 artı Burada nokta nokta artı Devenin çarpı ve en elde ederiz Bu ikisi birbirine eşittir Çünkü Kerimleri eşit derseniz ve bir çarpım tablo 1'de ve bir çarpı ve 1E eşittir Bu arada bunu söyleyebiliyorum Çünkü burada bildiğimiz sayılar söz konusu Bunlar vektörler ve şu anda çarpmanın garip bir şekli olan nokta çarpım işleminden bahsediyoruz Evet bu alıştığımız çarpma işlemlerinden bir olduğu için bunların eşit olduklarını söyleyebiliriz Hemen not ediyorum bunun adı değişme özelliğidir çarpmanın değişme özel Aynen İkinci ya da üçüncü sınıfta öğrendiğimiz gibi bunların ikisinin eşit olduklarını biliyoruz benzer bir mantıkla bunların ikisi de birbirine eşit ve terimlerin her birini bunların yerlerini değiştirerek yazabiliriz bu scholar yani bildiğimiz reel sayıların çarpımından farklı bir durum değil bunların Ben yarın birbirine eşit olduklarını da Buna dayanarak söylüyoruz Böylece notta çarpım aldığımızda sıranın önemli olmadığını görmüş ve kendi kendimize ne ispatlamış olduk sırada nokta çarpımın dağılma özelliği Bunun olup olmadığına bakalım farklı bir vektör daha mesela ilk sektörünü tanımlayalım nasıl tanımlayacağız tahmin ediyorsunuz değil mi Doğru Ekspress X2 böyle böyle hiç nereye kadar devam edecek dağılma özelliği Eğer nokta çarpım içinde işlenmesi gerektiği gibi işliyorsa mesela ve ile da bloğunun toplamının XL nokta çarpımını alırsam ki bu arada bu işlemi hangi sırayla yaptığımızın bir önemi olmadığını az önce gördük Evet nokta çarpımı değişme özelliği vardır dedik Değil mi ama eğer dağılma özelliği de var sabun ve ile x'in nokta çarpımı artı Double x nokta çarpımına eşit olma bu gerekir Bunlar Eğer bildiğimiz sayılar Buda bildiğimiz çarpma işlemi olsaydı bunun doğru olduğunu hemen söyleyebilir dik öyle değil Peki ya nokta çarpılmış söz konusu olduğunda hemen ve artıda bile onun neye eşit olduğunu bulalım ve artı da Blue eşittir birbirine karşılık gelen terimleri toplayacağız Öyle değil mi yerli ve bir artı dabılyu 1 ve 2 artı da bölüm2 böylece ve en artı da Blue ne kadar gideceğiz işte böyle bunun X1 X2 wac seneye kadar tanımladığımız iks vektörü ile nokta çarpımını almamız gerekiyor Böylece ve bir artı tablo bir çarpı expere artı ve iki artı de ve 2 çay X2 artı nokta nokta nokta artı ve en artı tabloyu en Çarpı x bu ikisinin nokta çarpımını aldığımız Bu da hemfikiriz öyle diyeyim birbirine karşılık gelen bileşenleri çarpıp hepsini topladık Evet nokta çarpım yani ve haritada belli onun XL nokta çarpımının sonucu bu noterliğin ve artı da böyle onun x ile nokta çarpımı Şimdi de buna bakalım ve ile iki nokta çarpımı daha önce de gördüğümüz gibi ve bir çay X1 Bu arada Bunlar vektör değil vektörlerin bileşenleri artı ve iki çarpı exi26 nokta nokta nokta artı ve en Çarpı x Peki ya da bölümü ile iki nokta çarpımı nedir bu da da ve ve bir çay x bir artı da ww2 X2 artı nokta nokta nokta da ve venture xn eşit Belki bu ikisini toplarsak Sonuç olarak ne buluruz Bu arada bunların skaler olduklarının da altını çizmek istiyorum bu kalori topluyoruz Color Bu da başka bir değişle Bunlar vektör değil Ve bunları toplarsam sonuç ne olur ve ile eksi nokta çarpımı artı Double ile ikisinin nokta çarpıp ve bir çay X1 artık ve ve bir çay x bir artı b2x ki artı da bölü iki çarpı iki ve ve en çarpık Sen artı da v w x eşit olur biraz monoton olduğunu ve sıkılmaya başladınız ın farkındayım ama yine burada söz konusu olan bildiğimiz sayılar olduğunu düşünürsek ve bunları ilk parantezine alırsak sonuç ne olur Evet bunları ilk parantezine alalım ve bir artı Doblo bir çay x bir artı ve iki artı Double 2 X2 artık nokta nokta nokta artı ve en artı dabılyu en çarpık Sen elde eder ve bunun burada gördüğümüz Ünal ne olduğunu fark ettiğimiz diyeyim Böylece bu ifadenin buna eşit olduğunu ya da nokta çarpımında dağılma özelliği olduğunu gördük Sıradan şeyler yapacağımızı söylemiştim Peki bu kadar sıradan olmasına rağmen neden yapıyoruz Çünkü bunlara dayalı varsayımlarda bulunmak istemiyoruz her şey sağlam temeller üzerine oturmalı ve bu ispatlar gördüğünüz gibi oldukça kolay patlar benzer ıspatları vektör toplanmalı bebek Gözleriniz kalemlerle çarpımı için yapmadım ve aslına bakarsanız yapsaydım çok daha iyi olurdu ama bu ispatları yani değişmeye da dağılma özelliğinin skaler çarpımı için geçerli olduğunu Siz kendi kendimize ısp atlayabilirsiniz çok sıradan ispatlar olduğu için çoğu ders ya da test kitabının bu ispat Lara yer vermediğini ve öğrencilerin bu ispatları Kendi kendilerine yapmalarını önerdiklerini görebilirsiniz Herneyse son özellik olan birleşme özelliği ne de bakalım hemen göstereyim Eğer skaler bir değer alıp bunu bir vektörü ile like atıp bunun da da belli ile nokta çarpımını alırsam bu işlemde Eğer bildiğimiz çarpma gibi birleşme özelliğine sahipse bunun Bu arada henüz ispatlama dın için buraya bir soru işareti koyayım Ne diyordum bunun C çarpımı ve ile da videonun nokta çarpımına eşit olması gerekir Hadi bakalım şimdi de bunun doğru olup olmadığını görelim c ile vektörünün çarpımına eşittir C çarpı w1c çarpımı iki ve böylece çarpı öyle değil ve çocukların dede ve bir de ve 2 den başlayıp da bu ne ya kadar tanımlandığını biliyoruz bununla bunu da çarpımı bakalım neye eşit olur bununla da böyle onun birinci terimi yani iyice çarpı bir çarpım tablo Birce çarpı ve iki çarpı ww2 ve böylece çarpı ve en çarpım tablosu ne ya kadar bu şekilde de mı gideceğiz işlemi sol tarafı buna eşit sağ tarafı Şimdi bir de ona bakalım ve ile belli onun nokta çarpımının şuraya yazayım ve ile Double nokta çarpımı daha önce defalarca yaptığımız birşey ve bir çarpım tablo bir artı ve iki çarpı ww2 artı Böylece ve en çarpı tabi Blue ben bile yazmaktan bu kadar yorulmuşken Sizinde izlemekten yorulmaya başladığınızı tahmin etmek zor değil ama bu yaptıkların bir bakıma faydalı alıştır sizde bu şekilde düşünmeye çalışın olur mu ve biri sizden bunu yapmanızı isterse artık nasıl yapacağınızı biliyorsunuz Peki bunu c ile çarparsak sonuç ne olur Bunu bir skalerle çarpmak demek aynısı kadar de bunu çarpmak demektir bunu bildiğimiz saçlarını dağılma özelliği olduğunu düşünürsek bir de skalerle çarpıyoruz o halde sonuç C çarpı ve bir çarpım tablo bir artı c çarpı ve iki çarpım Tab bu iki artı böyle Böylece çarpı ve en Çarpım tablosu en olur Böylece yani bu buna eşit olduğu için bunda buna eşit olduğunu söyleyebiliriz doğrusal Cebir derslerimde öğretmenimiz bunu ispatlama mızı istediğinde çok zorlanıyordum çünkü sizin de gördüğünüz gibi Bu gerçekten de açıkça doğru olan bir durum bunların bileşenlerine bakarsak her bir bileşeni çarpıp birbiriyle topladığımızda bunun birleşme özelliği de olduğunu görüyoruz O halde ne ispatla mamız gerekiyor diye düşünmüş ya da düşünecek olabilirsiniz hem de tüm bunları yazmak bu kadar zaman alırken bu dünyayı değiştirecek bir ispat değil ve reel sayıların birleşme dağılma ve değişim özelliklerinden faydalanıp vektörleri de bileşenleriyle ifade ettiğimizde bu özelliklerin vektör nokta çarpım için de geçerli olduğunu bulabiliriz belki Umarım sizde bu videonun faydalı olduğunu düşünüyorsunuz dur bundan sonraki Video da bu özellikleri kullanarak rektörlerin daha havalı özellikleriniz patlayacağız abone ol