Doğrusal Bağımsızlık 2

o lineer bağımlılık lionaire bağımlılığı ne anlama geldiğini biliyoruz Öyle değil mi o halde artık yine her bağımlılık için biraz daha Formal bir tanım yapmaya hazırda olmalıyız 14 kümesinden yardım alacağız hemen bu vektör kümesini de tanımlayalım vektör kümem ise ve birden ve neye kadar olan vektörleri içeriyor bunların lineer bağımlı olduklarını söyleyeceğim ama bunun için bir koşulun var Hemen not ediyorum Bunlar lineer bağımlı dırlar Ancak ve ancak Sancaklı anca böyle uzunca yazmak diğerine Genelde bu şekilde iki yönlü bir okula gösteririz değil mi peki Ne diyordum evet ancak ve ancak Eğer bu denklemi sağlayabilir sekeer bir sabit kümesi Bulabilirsek Cebir çarpı ve bir yani vektör lerimizin Böylece en çarpı Sen neye kadar lineer kombinasyonlarını alacağım ve bu denklemi sağladıklarını da da bunu sıfır vektörüne dönüştürmüş olacağım bu zaman zaman koyu renkli yazılmış bir sıfırla gösterilir zaman zamanda bu şekilde yazabiliriz boyutları hakkında bir fikrimiz yok bunun için bir sürü sıfır yazıyorum bu vektörlerin her birinin kaç tane eleman olduğunu bilmiyoruz ama zaten ne yapmaya çalıştığımı anladığınızı düşünüyorum vektör küme miz lineer bağımlı olacak bağımsız demediğin de altını çizmek istiyorum sadece ve sadece bazı C iyi değerleri için hepsinin sıfır olmaması gerekiyor Evet bu çok önemli hepsi sıfır değil bunun tersini de söyleyebiliriz Tabii en az bir tanesi sıfır değildir belki şimdi bunun bir önceki videoda bahsettiğimiz Bu bir küme vektörlerden bir tanesi diğer vektörlerin kombinasyonu olarak ifade edilebiliyorsa lineer bağımlıdır demekle ne gibi bir alakası olduğunu bana söyleyebilir misiniz not edeyim mi Bir önceki videoda vektörlerden biri ya da şu şekilde yazayım bir vektörün diğerlerinin toplamı olarak ifade edilmesi şöyle yazabilirim biraz daha matematiksel olsun istiyorum Bir önceki videoda lineer bağımlılığın rasgele bir vektör seçerek mesela ve bir olsun Evet V1 in diğer vektörlerin kombinasyonu olarak ifade edilebildiğini düşünelim ama bir çarpı dikkat etmem lazım ama iki çarpı ve iki artı A üç çarpı ve 3 artı bu şekilde a en çarpıcı ve E ne kadar devam edeceğiz evet Bir önceki videoda bundan bahsetme ve bu Eğer lineer bağımlılık sa Bunlardan herhangi birinin diğerlerinin kombinasyonu olarak ifade edilebilmesi lazım Peki bununla bunun arasındaki ilişki nedir Yani bu nasıl bu anlama geliyor olabilir buradaki ancak ve anca ispatlamak için bunun bu bunun da bu anlama geldiğini göstermem lazım bu son derece basit bir ispat olacak eşitliğin iki tarafından ve biri çıkaracak olur isek sıfır eşittir eksi bir ve bir artı A2 ve iki artı A3 ve 3 artı nokta nokta nokta ve artı a en ve en elde ederim ve az önce de açıkça bunun lineer bağımlı olduğunu söyledim bunun bu vektörü diğerlerinin toplamı olarak ifade edebileceğim anlamına geldiğini de biliyoruz oh ve eksi bir ve bir artı diğer vektörlerin bir kombinasyonu sıfıra eşitse bu denklemi sağlar ve ayrıca sabit lerimizden en az bir de sıfır değildir size bir bebek görün diğerlerinin toplamı olarak gösterirsem bu koşulun Kesinlikle doğru olduğunu göstermiş oldum şimdi de ters yönde ilerleyelim Yani eğer buradaki durum geçerli ise vektörlerden birini diğerlerinin toplamı olarak gösterebileceğim den bahsediyorum Evet bunun doğru olduğunu varsayalım ve sabit lerden birinin Bu arada sadece bu koşul değil yani sabit lerden En az 10 olmasada oluyor basit olsun diye Yani aslında tüm bunlar rastgele ama farklı bir renkle kullanalım mesela pembe Evet cebirin sıfırdan farklı olduğunu varsayalım Cebir Eğer sıfır değilse eşitliğin iki tarafını da cebire böyle biliriz bunu yapınca da ve bir bu dıce 2 bölü Cebir çarpı ve iki artı nokta nokta nokta artı Cem bölü Cebir çarpı ve en eşittir sıfır elde ederiz Şimdi bir de iki tarafa eksi ve bir ekleyelim bunu ve bir çıkarmak olarak da düşünebilirsiniz evet C 2 bölü Cebir çarpı ve iki artı nokta nokta Noktayı en böylece bir çarpı ve en eşittir eksi ve bir iki tarafı -1 ile çarparsak Bunların hepsi eksi ve bu da artı olur Böylelikle sabit lerden en az birinin sıfır olmadığı durumda ve bir vektörünü diğer vektörlerin bir kombinasyonu olarak ifade edebileceğim de göstermiş oldu bu da bu yönde ilerleye bileceğimiz anlamına geliyor Yani eğer bu koşul doğruysa vektörlerden birini diğerlerinin kombinasyonu olarak ifade eder bu doğru ve eğer direktörlerden birini diğerlerinin kombinasyonu olarak ifade edebiliyorsan da bu koşul doğrudur demek istiyorum Bu durumda bu iki tanımın eşdeğer olduğunu da anladığınız umuyorum çok fazla detaya girmiş olabilir yani Belki bu kadar üzerinde durmama gerek yoktu ama olsun Her neyse isterseniz Şimdi de bu tanımı uygulamaya koyalım ve test edelim bu noktada bu kadar zahmete neden katlandım dediğinizi duyar gibiyim bu kadar zahmete girdim Çünkü bu ortada lineer bağımlılık olup olmadığını test etmek için çok faydalı bir yöntem Haydi deneyelim ve bu yeni öğrendiğimiz yöntemin işe yarayıp yaramadığını görelim diyelim ki Elimde bir vektör kümesi var şuraya yazayım ekranı verimli kullanmak istiyorum Evet elimizde ikiye bir w3c iki vektörlerin den oluşan bir Kime olduğunu düşünelim ve şimdi size soruyorum Bunlar lineer bağımlı mıdır yoksa bu biner bağımsız mı Bunların lineer bağımlı olmaları için ilk ki bir vektörünü bir sabit l32 vektörünü de başka bir sabitle çarptığım da bunun Sıfıra eşit olması lazım bunların ikisinin de sıfır olmaması gerektiğini de hemen ekleyelim çözüme geçmeden Neyi aradığımız ın kısaca üzerinde duralım Bunlardan herhangi biri sıfırdan farklıysa not edeyim Cebir ya da C2 sıfırdan farklıysa elimizdeki kümel iner bağımlıdır Cebir WC 2'nin ikisinin de sıfır olduğu durumda da yani bu denklemi sağlamanın tek yolu bu ikisinin de sıfır olması ise lineer bağımsız bir kümeyle karşı karşıya olduğumuzu anlarız Hadi şimdi de işin matematiği ile ilgilenelim cebire giriş derslerimizi de kısaca ziyaret etmiş olacağız bunun doğru olması için yani iki çarpı cebe bu artı üç çarpı C2 eşittir sıfır Bu arada bu sıfır derken sıfır vektörünü kastediyorum Onun için buraya da 00 yazalım Evet böyle iki çarpı c163 çarpıcı gibi sıfıra ve bir çarpıcı bir artı iki çarpı C2 Evet bu da Sıfıra eşit olacak şu anda karşımızda iki bilinmeyenli bir denklem sistemi olduğunu fark ettiniz değil mi Bunu çözmek için yapabileceğimiz bir kaç şey var mesela bunu 1/2 ile çarpa biliriz Evet çarpı 1/2 diyelim Cebir artı 3/2 C2 eşittir sıfır yeşil denklemi kırmızıdan çıkaralım Bunlar birbirini götürür 2 -3 bölü iki 1/2 eder 1/2 C2 eşittir sıfırdan da C200 sıfır olarak buluruz p bu durumda cebir ne olur buradaki C2 yerine sıfır yazarsak yani Burası sıfır olur ise cebirde sıfır olur aynı sonucu bu denklemdeki C2 yerine sıfır yasakta bulurduk bu denklemi Cebir vc20 a eşitken çöze biliyoruz Evet eğer İkisi de sıfır Olmadıysa bu küme lineer bağımsızdır diyebiliriz başka bir değişle bunlardan birini diğerini ifade etmek için kullanamayız Burada iki vektör olduğuna ve bunlarda lineer bağımsız olduklarına göre buradaki vektör açıklığının rekare olduğunu Yani vektörlerin açıklığının rekare olduğunu anlarız vektörlerden biri diğerinin bir katı olsaydı açıklık rekare de bir doğru olurdu yani hepsi değil Şimdi Kırıkkale'deki herhangi bir vektörü Bu ikisinin bir kombinasyonu olarak ifade edebilirim bir tane daha yapalım mı aq bu yaz sağa kaydırıp şöylece Kendime yer açayım bu örnekte de 2'ye 13 e2 ve bire iki vektörlerin den oluşan bir küme alalım ve yine bunların lineer bağımlı olup olmadıklarını öğrenmek istediğimizi düşünelim yine Az önce yaptıklarımızı yapacağız yani videonun başında Is patladığımız Teoremi kullanacağız bunların lineer bağımlı olabilmeleri için bunları çarpa bileceğim bazı sabitler olmalı Hemen not edelim Cebir çarpı bu vektör artı C2 çarpı bu ve artı C3 çarpı bu eşittir sıfır bu sabit lerden En az 10 değilse de vektörlerin lineer bağımlı olduklarını söyleyebiliriz öyle diyeyim Eğer hepsi sıfırsa da ortada lineer bağımsız bir durum vardır Hadi bakalım iş ince bir kısmına geçelim iki çarpı Cebir 13 çarpıcı iki artı bir çarpıcı 3 eşittir sıfır bir vektörün skaler Bir değerli çarptığımızda terimlerin hepsiyle çarptığımız hatırlıyorsunuz değil mi Evet onu kullanıyoruz bir çarpıcı bir artı iki çarpıcı iki artı iki çarpıcı 35 eşittir sıfır bu soruyla ilgili birkaç ilgi çekici nokta var elimizde üç tane iki boyutlu vektör Bunlardan biri fazla olacak demek istediğim en iyi senaryo da bile yani eğer bununla bu lineer bağımsız sağa açıklıkları ve kare olacak bu da iki boyutlu uzayda ki herhangi bir noktanın ya da vektörün bu ikisinin bir kombinasyonu olarak ifade edilebileceği anlamına gelir ve bu durumla Bu da Bunlardan biri olur Neden Çünkü bu iki boyutlu uzayda kibir ve kördür ve lineer bağımlı olur Eğer bunlar lineer o kız değillerse de birbirlerinin katlarıdır lar Sonuç olarak her durumda da bunun lineer bağımlı bir küme olduğunu anlarız Bu yüzden Dere karede 3 vektör gördüğünüzde demek istediğim Eğer hepsi iki boyutlu bekliyorlar s bunun lineer bağımlı olduğunu pat diye söyleyebilirsiniz buna rağmen Teoremi kullanarak size Bunun neden böyle olduğunu da göstermek istiyorum yani sıfırdan farklı C1 C2 WC güçlerle burada 10 elde edebileceğim hepsi sıfır da olabilir tabii yani bunların hepsini sıfır eşit diyebilirsiniz Ama eğer hepsi sıfır olmak zorundaysa bu lineer bağımsız olur hemen göstereyim rastgele bir C3 seçeceğim Mesela bu -1 olsunu durumda burada bu arada elimizde Üç bilinmeyenli denklem var yani sistemimiz çözüm için yeterli olmadığından C3 ben kendim belirliyorum Evet C3 herhangi bir değer olarak belirledim -1 eşit olsun de Dur Bakalım buradan elde edelim iki Cebir artı3 C2 -1 eşittir sıfır WC birartıiki C2 -2 eşittir sıfır şimdi şimdi Ne yapalım ikinci denklemi iki ile çarparsak 2C bir artı 4 C2 -4 eşittir sıfır ve bundan bunu çıkaralım Bunlar birbirini götürecek 3 C2 -4 C2 eksi C2 edecek -1 eksi eksi 3/4 Evet eşittir sıfır da unutmayalım doğru olduğundan emin olmak istiyorum -1 -4 Evet evet ilçeler ve böylece c2d eksi C2 eşittir eksi 3'den 3 olarak buluruz Eğer c23 cebirde -1 s bunları bu denkleme yerleştirelim C bir artı iki çarpı var yani altı artı iki çarpıcı 3 yani -2 eşittir 0c bir artı 4 eşittir sıfır ve bu durumda cebirde eksi dörde eşit olur size bize Sonuç olarak sıfır vektörü verebilecek ciğerlerin bir kombinasyonunu gösterdim Yani birinci vektörü eksi doğar türle ikinciyi 3 l3x 32 evet ve üçüncüde -1 ve çarparsak -1 çarpı bire iki vektörü bunun sonucu sıfırdır Hadi gelin eğlence olsun diye bunun sağlamasını da yapalım px-4 X2 -8 eder artı üç çarpı 39 ve eksi bir çarpı bir de -1 -8 artı dokuz -1 Evet sıfıra eşittir eksi dört çarpı bir -4 eder artı üç çarpı 26 -2 de evet sıfır böylelikle bu bu yerlere ait sabitlerin hiçbirinin sıfır olmadığı lineer bir kombinasyon göstermiş olduk sabit lerden en az biri sıfırdan farklı olmalıydı ama biz üçünün de sıfırdan farklı olduğunu gösterdik bu denklemi sağladık yani sıfır vektör Noel Dede bildiğimize göre de bunların lineer bam olduğunu ıspatlamış oluyoruz bu durumda az önce de söylediğim gibi Bu vektörlerden biri fazlalık olacak Bu arada fazla olan budur Çünkü bunu diğerlerinin kombinasyonu olarak ifade edebilirim diyemezsiniz Çünkü fazlalık olan bu da olabilir Ve bu bunu Bu ikisini kullanarak ifade edebileceğimiz anlamına gelir Bunlardan biri kötüdür diye bir şey yok yani Anlaştık mı herhangi biri diğerlerinin bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir şimdi bu video sayesinde lineer bağımlılık ve bağımsızlık konularında daha iyi bir fikre sahip olduğunuzu umuyorum Önümüzdeki videoda da belki devam eder ve size başka ör o evde gösteririm