Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:17:38

Video açıklaması

- Sanırım şimdiye kadar lineer bağımsızlığın ne anlama geldiği hakkında bir fikrimiz oluştu. - O zaman lineer bağımsızlığın biraz daha resmi bir tanımını yapalım. - Birtakım vektörler, --Bu birtakım vektörlerimi tanımlayım. - S kümemdeki vektörlerim, v1, v2, vn'e kadar devam ediyorlar. - Bunların lineer bağımlı olduklarını söyleyeceğim. - Ancak ve ancak. - Bazen kısaca "iff" olarak yazılıyor. Bazen iki yönlü bir ok gibi gösteriliyor. Ancak ve ancak bu denklemi sağlayabilirsem, bir sabit sayılar kümesi bulabilirim, c1 çarpı v1. - cn çarpı vn'e kadar tüm vektörlerimin, denklemi sağlayan, lineer kombinasyonunu alabilirim. Ve bunu sıfır vektörüne dönüştürebilirim. - Sıfır vektörü bazen kalın bir sıfır ile, bazen de --yani bu vektörün boyutunu bilmiyoruz. - - Birsürü 0 olurdu. Herbir vektörün içinde aslen kaç element var bilmiyoruz, ama siz fikri anladınız. - Bu birtakım vektörlerim lineer bağımlı --dikkat edin, BAĞIMLI diyorum, BAĞIMSIZ değil--, lineer bağımlılar, ancak ve ancak bu denklemi hepsi sıfıra eşit olmayan, bazı ci'ler için sağlayabilirsem. - - - - Ama hepsinin sıfır olmaması önemli. Ya da, diğer türlü de söyleyebilirsiniz. En az biri sıfırdan farklı diyebilirsiniz. - O zaman bir önceki videoda, bir küme, eğer vektörlerden biri diğer vektörlerin kombinasyonu ile gösterilebiliyorsa lineer bağımlıdır demiştim, burada bahsettiklerimiz bununla nasıl uyuşuyor? - - - Yazmama izin verin. En son videoda tek bir vektörün --Şöyle yazayim... - Bir vektörün, diğer vektörlerin toplamı olarak gösterilebileceğini yazabilirim. - Bunu matematiğe biraz daha uygun bir şekilde yazabilirim. En son videoda, lineer bağımlılığın anlamını söylemiştim -- rastgele bir vektör seçeyim, v1. - v1, biliyorsunuz bu rastgele, v1 başka vektörlerin birleşimi olarak gösterilebilir. - - Bunlar; a2 kere v2 artı a3 kere v3 artı, taa a.n (a en diye okunuyor) kere v.n'e kadar gidiyor. - Bir önceki videoda bunları söylemiştim. Eğer bu lineer bağımlılıksa, bu vektörlerin herhangi biri, diğerlerinin birleşimi olarak yazılabilir. - O zaman nasıl bu, diğerini gerektirir? Bunun ancak ve ancak olduğunu göstermek için, bunun bunu gerektirdiğini, şunun da şunu gerektirdiğini göstermem gerekiyor. - Yani bu neredeyse önemsizce kolay bir kanıtlama. Çünkü eğer v1'i bu denklemin her iki tarafından da çıkarırsam, sonuçta 0 eşittir -1 v1 artı a2 v2 artı a3 v3 ve vn'e kadar gider bunlar. - - Açıkca, az önce bunun lineer bağımlı olduğunu söyledim. - Yani ben bu vektörü, diğer vektörlerin toplamı olarak gösterebilirim, bu da -1 kere v1 artı diğer vektörlerin bir kombinasyonunun sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. - - Bu da, denklemimi sağlayabildiğimin ve en az bir sabit katsayımın sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir. - - Yani size, eğer bu vektörlerden birini, diğerlerinin toplamı olarak gösterebilirsem, bu kondisyonun kesinlikle doğru olacağı anlamına geldiğini gösterdim. - - Şimdi diğer türlü de deneyelim. Size, eğer bu durumdaysam, bu vektörlerden birini, diğerlerinin toplamı olarak kesinlikle gösterebileceğimi kanıtlayayım. - - O zaman bunun doğru olduğunu söyleyelim. - Bu sabit katsayılardan birinin, unutmayın sadece bu değil, en az birinin, sıfırdan farklı olduğunu göstereyim. - Şöyle farz edelim, sadece kolay olsun diye, yani bunların hepsi rastgele sonuçta. - Hepsini yeni bir renkte yapayım. Eflatunla yapayım. c1'in sıfıra eşit olmadığını farz edeyim. Eğer c1 sıfıra eşit değilse, o zaman denklemin iki kenarını da c1'e bölebilirim. - Elimde ne var o zaman? Elimde, v1 artı c2 bölü c1 çarpı v2 artı taa cn çarpı c1'e kadar toplarsam, sıfıra eşit olur. - Sonra bunun iki tarafını da çarpabilirim, veya denklemin iki tarafına da eksi v1 ekleyebilirim veya iki taraftan da v1 çıkarabilirim. - - Elimde c2 bölü c1 çarpı v2 artı taa cn bölü c1 çarpı vn eşittir eksi v1 olur. - Şimdi eğer bu denklemin iki tarafını da eksi 1 ile çarparsam, elimde bir eksi olur, ve bunların hepsi eksiye dönüşür, ve bu bir artı olur. - - Size, eğer bu sabit sayılardan en az biri sıfırdan farklıysa, v1 vektörümü, diğer vektörlerin bir tür kombinasyonu olarak gösterebileceğimi açıkladım. - - Yani bu yönden de gidebiliyoruz. Eğer bu durum doğruysa, bir vektörü, diğerlerinin bir kombinasyonu olarak gösterebilirim. - Eğer bu vektörlerden birini diğerlerinin kombinasyonu olarak gösterebiliyorsam, bu durum doğru. - Umarım bu, elimizdeki iki tanımın doğru olduğunu kanıtlar. - Belki de biraz fazla kaçırdık. Şimdi bu tanımı testten geçirelim. Neden bu kadar çok çabaladın diyebilirsiniz. Bu kadar çabaladım çünkü bu, vektörlerin lineer bağımlı veya bağımsız olunduğunu anlamak için çok kullanışlı bir yöntem. - - Bir deneyelim. Yeni bulduğumuz yöntemi kullanalım. Diyelim ki elimde bir küme vektör var-- Yukarıda yapayım. Boşluk kullanışımda tasarruflu olmak istiyorum. Diyelim ki elimde 2'ye 1 ve 3'e 2 vektörleri var. Sorum ise, bunlar lineer bağımlı mı bağımsız mı? - Bunların lineer bağımlı olmaları için, bir sabit çarpı 2'ye 1, artı başka bir sabit çarpı 3'e 2, sıfıra eşit olmalı. - - - Bunların ikisinin de sıfır olmaması gerek. Bu soruda daha fazla ilerlemeden önce, neyi bulacağımızı hatırlayalım. - Eğer c1 veya c2 sıfırdan farklıysa, bu lineer bağımlı bir kümeyle ilgilendiğimizi gösterir. - - - Eğer c1 ve c2, ikisi de sıfıra eşitse-- her zaman denklemi, her şeyi sıfıra eşitleyerek sağlayabilirsin. - - Ama eğer denklemi sağlayabilmemizin tek yolu bunları sıfıra eşitlemekse, lineer bağımsız bir kümeyl karşı karşıyayız demektir. - - - Şimdi biraz matematik yapalım. Bu bizi Cebir 1 günlerimize götürecek. Bunun doğru olabilmesi için, 2 kere c1 artı 3 kere c2 0'a, yani 0 vektörüne eşit olabilmesi lazım. - - Sıfırı, 0'a 0 olarak da yazabilirim. Yani 2 kere c1 artı 3 kere c2, şu sıfıra eşit olur. - Sonra da, 1 kere c1 artı 2 kere c2, bu sıfıra eşit olur. - - Şimdi bu sadece bir sistem, iki denklem, iki bilinmeyen. Bir kaç şey yapabiliriz. Yukarıdaki denklemi 1/2 ile çarpalım. Eğer 1/2 ile çarparsanız, c1 artı 3/2 çarpı c2 eşittir sıfır olur. - Sonra eğer yeşil denklemi kırmızı denklemden çıkarırsam, burası sıfır olur. - 2 eksi 3/2 1/2 eder, 1/2 çarpı c2 sıfıra eşit olur. - Bunu çözmek de kolay. c2 sıfıra eşit olur. O zaman c1 ne? Bunu yerine koyup çözebiliriz. c2 sıfıra eşitse, bu da sıfıra eşit olur. O zaman c1 artı sıfır, sıfıra eşittir. O zaman c1 de sıfıra eşittir. Bunu yukarıda denklemde de yerine koyabilirdik. - O zaman bu denklemin tek çözümü c1 ve c2'nin sıfıra eşit olmasından geçiyor. - O zaman ikisi de sıfır olmak zorunda. Yani bunlar lineer bağımsız vektörler. Bu da ikisinin de diğerine bağımlı olmadığı anlamına gelir. - Birini, diğerinin kombinasyonu olarak gösteremezsin. Elimizde iki vektör olduğuna göre ve lineer bağımsız olduklarına göre, bunun r2'nin lineer yayılımı olacağını biliyoruz. - - r vektörlerimin yayılımı r2'ye eşit. Eğer bu vektörlerin biri diğerinin bir katı olsaydı, yayılım r2'nin kapsadığı bir doğru olurdu, r2'nin hepsi olmazdı. - - Şimdi r2'nin içindeki herhangi bir vektörü, bunların bir kombinasyonu olarak gösterebilirim. - Başka bir örnek yapalım. Sağ tarafa doğru gideyim, aşağı doğru indiğimde bu şey bozuluyor, henüz sebebini anlayamadım. - - Bir sonraki örneğim vektörler kümesi. 2'ye 1 vektörü var. 3'e 2 vektörü var. Bir de 1'e 2 vektörü var. Bunların lineer bağımsız veya bağımlı olduğunu bilmek istiyorum. - Aynı işlemleri yapıyorum tekrar. Bu videonun başında kanıtladığım teoremi kullanacağım. - Bunların lineer bağımlı olmaları için, bunları çarpabileceğim bir durum olması lazım. - Yani c1 çarpı bu vektör, artı c2 çarpı bu vektör, artı c3 çarpı şu vektör, sıfır vektörüne eşit olacak. - Eğer bunların biri sıfırdan farklıysa, lineer bağımlı bir grup vektörle ilgileniyoruz demektir. - Eğer hepsi sıfıra eşitse, lineer bağımsızdır. Haydi lineer cebir yapalım. - Yani bu, 2 kere c1 artı 3 kere c2 artı c3, sıfıra eşit demektir. - Alttaki denklemi de yapayım, unutmayın, skaler bir büyüklüğü vektörle çarptığınızda, her terimle çarpmanız lazım. - Yani c1 çarpı 1. 1 kere c1 artı 2 kere c2 artı 2 kere c3 sıfıra eşit. Bu soruda birkaç kolaylık var. Eğer elinizde üç tane iki boyutlu vektör varsa, bir tanesi bağımsız olacaktır. - Çünkü, en iyi senaryoda, eğer bu vektörlerin lineer bağımsız olduklarını varsayarsak, bunlar r2'ye yayılırlardı. - - Yani herhangi bir noktada, herhangi bir vektör, iki boyutlu bir uzayda, bu ikisinin kombinasyonu olarak gösterilebilir. - - Bu durumda, bu diğerlerinden biri olacak, çünkü bu sadece iki boyutlu bir uzayda bir vektör. - Yani lineer bağımsız olacaktır. Eğer, bunlar lineer bağımsız değiller derseniz, sadece birbirlerinin çapımı olurlar. - Böyle bir durumda, bu kesinlikle lineer bağımlı bir küme olacaktır. - Hepsi sadece r2'de vektörler olan, yani sadece iki boyutlu vektörler olan üç vektör gördüğünüzde, bu, lineer bağımlılığın bir göstergesidir. - - Ama ben size bunu, buradaki teoremimizi kullanarak göstereceğim. - Size, toplamları sıfır eden, sıfırdan farklı c3, c2 ve c1'leri bulabileceğimi göstereceğim. - Eğer bunların hepsi sıfır olmak zorunda olsaydı-- yani her zaman bunların hepsini sıfıra eşitleyebilirsiniz. - Ama eğer sıfıra eşit olmak zorunda olsalardı, o zaman lineer bağımsız olurdu. - Göstereyim. Rastgele bir c3 sayısı seçeyim. c3'ü -1 olarak alayım. O zaman, bu iki denklem ne olurdu? Yani, üç bilinmeyeniniz ve iki denkleminiz var, bunlar sistemi çözmebilmemiz için yeterli değil. - c3'ü herhangi bir sayı olarak seçebilirdim, tamamen rastgele seçtim. - Ama eğer c3'ü -1 olarak alırsam, bu iki denklem ne hale gelir? - 2 c1 artı 3 c2 eksi 1 eşittir 0 olur. Diğeri de, c1 artı 2 c2 eksi 2 eşittir 0 olur. Değil mi? İki kere eksi bir. Burada ne yapabilirim? Eğer bu ikinci denklemi 2 ile çarparsam, sonuç ne olur? Sonuç, 2 artı 4 c2 eksi 4 eşittir 0 olur. O zaman şimdi, bu denklemi diğer denklemden çıkaralım. c1'ler birbirlerini götürür. 3 c2 eksi 4 c2 eşittir eksi c2. Sonra -1 eksi -4, yani -1 artı 4. -1 artı 4, artı 3 eder, bu da sıfıra eşittir. Bunu doğru yaptığımdan emin olayım. - Elimizde -1 eksi -4 var. Yani artı 4 olur. Sonuç da artı 3'tür. Burası da eksi 2. - O zaman, eksi c2 -3'e eşittir, veya c2 3'e eşittir. Eğer c2, 3'e eşitse ve c3, -1'e eşitse... Şurada yerine koyalım. O zaman elimizde c1 artı, 2 kere c2 --yani artı 6-- var, artı 2 kere c3 --o da eşittir -2 -- eşittir sıfır. - - Bu da c1 eksi 4 eşittir sıfır olur. Yani c1 eşittir -4. - Ben size, bize bir sıfır vektörü verecek olan bir grup c'ler verdim. - Eğer -4 ile ilk vektörümüzü çarparsam --2'ye 1, bu c1'dir-- artı 3 kere ikinci vektörümüz, eksi 1 kere üçüncü vektörümüz, sıfıra eşit olmalıdır. - - Sağlamasını yapalım. -4 kere 2, -8'dir, artı 9 eksi 1. Yani eksi 9 artı 9 olur bu. O da 0 eder. Eksi 4 artı 6 eksi 2 de 0'a eşit olur. Yani, şimdi bu vektörlerin hiç bir sabit katsayısının sıfıra eşit olmadığı bir durumda, lineer bir kombinasyonunu göstermiş olduk. - Aslında tek yapmamız gereken, en az bir sabit katsayının sıfırdan farklı olduğunu göstermekti, ama biz üçünün de öyle olduğunu gösterdik. - - Ama bunlardan en az biri sıfırdan farklı olmak zorundaydı. Bu denklemleri sağlayabildim, onları sıfır vektörüne dönüştürebildim. - Bu, bunların lineer bağımlı bir grup vektör olduklarını kanıtlar. - Bu da, bu vektörlerden birinin gereksiz olduğunu gösterir. Ama asla, 'bu vektör gereksiz olan vektör çünkü onu, diğer iki vektörün bir kombinasyonu olarak gösterebiliyorum' dememelisiniz. - - Aynı şekilde bu vektörü gereksiz vektör olarak seçip, 'bunu diğer ikisinin toplamı olarak gösterebilirim' diyebilirsiniz. - - Sepette BİR tane kötü elma vardır, diye bir şey yok. Bunların herhangi biri diğerlerinin bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. - Umuyorum lineer bağımlı olma durumu ve lineer bağımsız olma durumu hakkında daha iyi bir anlayışınız vardır. - Belki devam ederim. Bir sonraki videoda birkaç tane örnek daha yaparım. -