Güncel saat:0:00Toplam süre:12:08

Doğrusal Bir Sistemin Gösterilmesi İçin Matris Satır Sıralı Formun Kullanılması Çözüm Olmaz

Video açıklaması

Burada dört bilinmeyenli üç denklemim var. Satır indirgenmiş basamak matrislerden ve arttırılmış matrislerle denklem çözümünden bahsettiğimiz ilk videoda olduğu gibi şöyle düşünmemiz lazım. Denklem sayısı bilinmeyen sayısından az, onun için bu sistem yeterince kısıtlanmamış.Evet bu kelimeyi bir türlü söyleyemiyorum. Belki de sonsuz adet çözüm çıkacak. Bakalım, doğru düşünüyor muyum.Bu denklem sistemi için arttırılmış matrisi bulalım. x 1 katsayıları 1, 1 ve 2. x 2 katsayıları 2, 2 ve 4.x 3 katsayıları da 1, 2 ve 0.Şurada x 3 terimi yok, onun katsayısını 0 olarak düşünüyoruz. x 4 katsayıları 1, eksi 1 ve 6.Ve, eşittir işaretinin sağ tarafında, 8, 12 ve 4 var. Arttırılmış matrisim böyle.Şimdi bunu satır indirgenmiş basamak matris haline çevirelim. İlk yapmak istediğim şey, şu iki satırdaki 0'ları koymak.Bunun için ne yapabiliriz? İlk satırımı aynı tutacağım, yani 1, 2, 1, 1, 8. Bu çizgi eşittir işaretini temsil ediyor. Şöyle yapabilirim: İkinci satırın yerine, ikinci satır eksi birinci satırı yazalım. 1 eksi 1, 0 , 2 eksi 2, 0 2 eksi 1 eşittir 1,eksi 1 eksi 1 eksi 2 eder, ve 12 eksi 8 eşittir 4. Şimdilik iyi görünüyor. x 2 serbest değişken olabilir, ama yüzde yüz emin değiliz. Satırları bitirelim.Şu sayıdan kurtulmak için, üçüncü denklemi, üçüncü denklem eksi 2 çarpı birinci denklemle değiştirmem gerek. 2 eksi 2 çarpı 1, 0 eder 4 eksi 2 çarpı 2 eşittir 0, yine 0 eksi 2 çarpı 1 eşittir eksi 2. 6 eksi 2 çarpı 1, bu da 4, öyle değil mi? Evet 6 eksi 2. Ve, 4 eksi 2 çarpı 8, eksi 16, 4 eksi 16 eşittir eksi 12. Şimdi ne yapabiliriz? Şu eksi 2'den kurtulalım ilk olarak.Arttırılmış matrisi baştan yazayım.Bu sefer ikinci satırı aynı tutacağım. 0, 0, 1, eksi 2, eşittir işareti.Şimdi ne yapabiliriz bakalım. Şuradaki 0'dan kurtulalım, çünkü satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmek istiyorum. Pivot elemanlar sadece 1 olabilir ve satırdaki tek 0 dışı terimdir. Peki bundan nasıl kurtulurum? Birinci satır yerine birinci satır eksi ikinci satırı yazarım. 1 eksi 0, 1 2 eksi 0 eşittir 2, 1 eksi 1 eşittir 0, 1 eksi eksi 2, yani 1 artı 2 eşittir 3. Şimdi 8 eksi 4 eşittir 4.Peki, şimdi bunu nasıl yok ederiz ? Üçüncü satır yerine üçüncü satır eksi 2 çarpı birinci satırı yazıyoruz. Düzeltiyorum, üçüncü satır artı 2 çarpı ikinci satır.Öyle değil mi? Çünkü eksi 2 artı 2 çarpı bu, sadeleşir. Şimdi 0'ları görelim.0 artı 2 çarpı 0 eşittir 0. 0 artı 2 çarpı 0, bu 0, eksi 2 artı 2 çarpı 1 eşittir 0. 4 artı 2 çarpı eksi 2, 4 eksi 4 eşittir 0. Ve, eksi 12 artı 2 çarpı 4. Eksi 12 artı 8 eşittir eksi 4. Şimdi bayağı ilginç oldu.Bu matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirdim.İki pivot elemanım var, burada bir pivot eleman var, bir tanede şurada pivot eleman var. Sütunlarındaki tek 0 dışı terimler, bunlar. Bu bir tarz konusu, ama bu pivot eleman ötekinden daha alt bir satırda.Ve daha sağ taraftaki bir sütunda. İkinci sütun serbest değişkene benziyor, çünkü burada ve şurada pivot eleman yok. Şimdi bunu denklem sistemimiz üzerinden yorumlayalım.Bunlar sadece sayılar ve, bir bilgisayar gibi mekanik olarak, bu matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirdim. Neredeyse, bir bilgisayarla aynı şeyi yaptım. Şimdi denklem sistemine bu katsayıları geri koyalım ve sonucu görelim.1 çarpı x 1 artı 2 çarpı x 2 artı 0 çarpı x 3 artı 3 çarpı x 4 eşittir 4. Şu terimi yok sayabilirdik, yazmama gerek yoktu. Ve, 0 çarpı x 1 artı 0 çarpı x 2 artı 1 çarpı x 3. Sadece şu son terimi yazarım. 1 çarpı x 3 eksi 2 çarpı x 4 eşittir 4. Son denklem için ne çıktı? 0 x 1 artı 0 x 2 artı 0 x 3 artı 0 x 4, ) bunların tamamı 0, ama sol tarafa bir şey yazmam lazım. 0 yazayım, ve bu da eksi 4'e eşit olmak zorunda. Bu hiç mantıklı değil.0 eşittir eksi 4.Bu imkansız . 0 hiçbir zaman eksi 4'e eşit olamaz. Bu demektir ki, bu üç denklemin kesişimini veya üç denklemi de sağlayan bir çözüm kümesini bulmak imkansız. Bu soruya ilk baktığımızda, üç denklem ve dört bilinmeyen olduğu için, belki sonsuz sayıda çözüm vardır, demiştik. Ama bu üç yüzeyin kesişmediği sonucuna vardık.Öyle değil mi? Bu yüzeyler dört boyutlu, dördüncü boyutta işlem yapıyoruz. Her vektörün dört bileşeni var veya dört bilinmeyenimiz var, diye de düşünebilirsiniz Dördüncü boyutta görsellemek zordur. Üçüncü boyutta olsaydık, iki düzlemimiz olduğunu varsayalım. Burada bir düzlem ve şurada da ona paralel bir düzlem var. Birinci düzleme paralel bir başka düzlemim olduğunu düşünelim.Bu iki düzleme örnek verelim. İlk düzlemin denklemi, 3 x artı 6 y artı 9 z eşittir 5 olsun. İkinci düzlemin denklemi de, 3 x artı 6 y artı 9 z eşittir 2 olsun. Bu iki düzlem, üç boyutta, yani buraya R küp diyoruz. Bu iki düzlemin kesişmeyeceği belli.Çünkü ikisinin de katsayıları aynı. Birincisinin toplamı 5, ikincisinin ise 2. Buna ilk baktığımız zaman, bu kadar bariz olmasa, üç bilinmeyenli iki denklemin sonsuz adet çözümü olabilir, diyebilirdik. Ama böyle olmayacak, çünkü bu denklemi üstteki denklemden çıkarabilirim.Ne buluruz? Alttaki denklemi üstteki denklemden çıkarırsak, 3 x eksi 3 x, 6 y eksi 6 y, 9 z eksi 9 z şuraya yazayım. Bundan şu çıkarsa, 0 eşittir 5 eksi 2, yani 3. Buradakine benzer bir sonuç elde ettik. Eğer bu sorudaki gibi paralel düzlemler veya herhangi bir sayıda paralel denklemler sistemi varsa, bunlar kesişmeyecek. Satır indirgenmiş matrise çevirdiğinizde veya yok etme yöntemi uyguladığınızda veya sistemi çözdüğünüzde, 0 eşittir bir şey bulacaksınız. Buda, çözüm yok, demek. Bundan anladığımız, 0 eşittir bir şey, çözüm yok demek. Eğer sütun sayısıyla aynı sayıda pivot eleman varsa, ve 0 eşittir bir şey buluyorsak, çözüm yok demektir. Üçüncü boyutta paralel düzlem, ikinci boyutta paralel doğru diye düşünebilirsiniz. Eğer pivot elemanlar ile sütunlar aynı sayıda ise, R 4'te 1, 1, 1, 1, burada olduğu gibi. Sanıyorum, anladınız.Bunlar a, b, c, d'ye eşitse, tek bir çözüm vardır. Serbest değişkenler varsa, örneğin 1, 0, 1, 0 gibi ve 1, 1 varsa, bir dakika. şöyle yazayım.1, 0, 0, ve 1, 2 ve şuralarda da 0'lar var. Bazı 0'lar bir sabite eşitse, örneğin bu 5, bu da 2 olursa, yine çözüm yok demektir. Satır indirgenmiş basamak matrisimiz böyle olursa, birkaç serbest değişkenimiz var demektir. Bu, serbest, bu da serbest olabilir. Çünkü bu sütunda pivot eleman yok. Pivot elemanlar bunlar. x 2 ve x 4 serbest değişkenler. Onları herhangi bir şeye eşitleyebiliriz. Bu durumda, sonsuz çözümümüz olur. Yatığımız ilk örnek bu türdendi. Her seferinde bu üç durumdan biri geçerlidir. Bunlara alışmak çok önemli. Alışırsanız, 0 eşittir eksi 4 veya 0 eşittir 3'ü gördüğünüzde, şaşırmazsınız. Veya, 0'lar ve satırlar olduğu zaman.Bunu iyice açıklamak istedim.Bazen, çizginizin sol tarafında 0'lar görebilirsiniz. O zaman, sonsuz çözümüm var veya çözüm yok diyebilirsiniz. Ama buradaki sayıya bakmanız lazım. Bunun tamamı 0 ise ve serbest değişkenimiz varsa, o zaman sonsuz çözüm var demektir. Eğer 0 eşittir a , örneğin 7 gibi bir ifade varsa, çözüm yok demektir. Paralel yüzeyler var demektir.