R3 Düzleminin Bir Nokta ve Normal Vektör ile Tanımlanması

- Hadi daha sıkı olan vektör cebiriden bir ara verelim ve karşınıza eğer üç boyutlu bir program yazmanız gerekirse veya üç boyutu da kullanan matematik kullanmanız gereken yerlerde karşınıza büyük ihtimalle çıkacak bir şey hakkında düşünelim - - - Ve bu da R3 düzleminde bulunan denklem düşüncesidir. Bir düzlemin ne olduğunu biliyorsunuz. Üç boyutlu bir dünyada yaşıyoruz ve her yerde deüzlemler görüyoruz. - Bilgisayarınızın ekranı hangi açıda tutarsanız tutun bir düzlemdir. - Ve burada üç boyutlu olarak çizebiliyorum. - - Bunun x ekseni olduğunu söyleyelim. Bu da y ekseni. Ve bu da benim x eksenim. Ve bir düzlemin neye benzediğini biliyoruz. Böyle bir şeye benziyor. Öylesine bir açıda çiziyorum ve bütün yönlere ilerliyor. - Şimdi de düzlemin denklemi, ve büyük ihtimalle bunu daha önce görmüşsünüzdür, x, y ve z'nin doğrusal denklemidir. - - Yani ax artı by artı cz, d'ye eşittir. Eğer bu düzlemdeki grafikse, bu düzlemdeki bütün x, y ve z noktaları denklemi sağlamaktadır. - - Bunun diğerleri kadar güvenilir olan başka bir yolu ise düzlemden bir nokta vermek olacaktır. - Örneğin, işte bu düzlemdeki nokta. Bu nokta x0, y0 ve z0 olsun. Buradaki örneklerden biri olabilir fakat ben sadece bu düzlemdeki farklı bir nokta diyorum. - - Belli ki sadece kendisi düzlemi belirmeyektir. Bir düzlemi bir nokta etrafında sonsuz farklı şekide döndürebilirsiniz. - Fakat o noktayı ve düzleme dik olan bir vektörü belirlerseniz onu işte buradan başlayarak istediğim yere değiştirebilirim. - - Ama buraya çizeceğim. Ayrıca bu düzleme normal olan bir vektörü belirlersem. Ve size daha anlatmadığım bir kelime kullandım. Normal olan bir vektör derken şunu kastediyorum ki n düzleme dik bulunmaktadır - - - Yani düzlemdeki her şeye diktir. Düzlemdeki bütün vektörlere de diktir. - - - İşte burada düzlemde bulunan bazı vektörlerim var. - Eğer düzlemi bir karton olarak hayal ederseniz çizdiğim bu sarı ok kartonun üzerinde bulunacaktır. - - - Eğer bu vektör a, düzlemde bulunan öylesine bir vektörse ve n bu düzlemden geçen normal vektörse o zaman, bunların nokta çarpım sonucu 0 olacaktır. - - - - Ve bu, bu denklemde bulunan herhangi iki vektör için geçerlidir. - Hadi bakalım düzlemin tanımını kullanabiliyor muyuz, buna n diyeceğim. - - N artı x0, y0 ve z0 tanımından standart doğrusal denkleme, ax artı by artı cz eşittir sıfır, ulaşabilecek miyim diye bakalım. - - Bildiklerimizi kullanarak bunu yapabilecekmiyiz diye bir bakalım - Yani bu düzlemde bulunan bu mavi noktayı bir pozisyon vektörü ile belirleyebilirim. - - x0'ı sayısal olarak x0, y0 ve z0'a eşit olarak tanımlayacağım. - - Gerçekten açık olmak istiyorum. Bu düzlemdeki koordinatını belirtir. Bu vektör tamamen düzlemin üzerinde bulunmaz. Burada çizdiğim orijinde başlamaktadır yani bir pozisyon vektörüdür. - Benim çizdiğimde aslında düzlemin arkasındadır, oklarının ucu düzlemde bulunmaktadır. - Fakat vektörün kendisi düzlemde çizilecek diye bir şart yoktur. - Bu düzlem orijine dokunmuyor olabilir fakat bu vektör orijine dokunmaktadır. - Sadece düzlemde bulunan bir noktayı belirtmektedir. Benzier olan başka bir vektörü tanımama izin verin. Bunun xyz düzleminde bulunan herhangi bir nokta olduğunu söylemiştim ve bu bütün noktalar için geçerlidir. - - Başka bir vektör x'i x, y ve z olarak tanımlayacağım. - Daha önceki x0 gibi bu vektör de düzlemde bulunmamaktadır. - - Orijinden geçmektedir. Bu düzlemde bulunan herhangi bir noktayı belirten pozisyon vektörüdür. - Orijine girmekte ve çıkmaktadır. Düzlemi bir sehpa gibi görebilirsiniz . - - Eğer bu düzlemin düz bir yüzeyiyse, vektör x0 orijinden geçerek bir noktayı belirtecektir. - - - - Vektör x de orijinden geçerek bir noktayı belirtecektir. - Düzlemi aldım ve yanından görebilesiniz diye düzleştirdim. - Eğer bu yüzeyde oturduğunuzu düşünürseniz o zaman bunların düzeyde bulunmadığını görebilirsiniz. - - Bunları kullanarak düzlemde bulunan bir vektör yaratabilirim. - Vektör x eksi x0 neye benzer? - - - İşte buna benzer. X eksi x0 işte bu yeşil çizgi olacaktır. - Bu x eksi x0'dır. Bunu x0 artı bu vektör artı x eksi x0 eşttir z olarak da görebiliriz. - Eğer bunu grafikte yapacak olrsam işte buna benzeyecektir. - - - Bu nokta x0'dan x noktasına gideceğiz. - Ve bu düzlem üzerinde bulunacak. Bu x eksi x0'dır. Görebildiğiniz üzere bu kesinlikle düzlem üzerinde bulunmaktadır. - Yani bu vektör n'e dik olmak zorundadır. - Normal vektörümüze dik. Normal vektörümüze n diyelim, Bu vektör işte buradaki elemana diktir. - n1, n2 ve n3 vektörlerine diktir. Şimdi bu bilgileri kullanarak bu x, y ve z'nin çizgisel denklemine nasıl ulaşabiliriz? - - Şunu biliyoruz ki n bir birim vektör değildir. - Ama n diyelim ki buna dik olsun. Yani nokta çarpımlarını burada görmüştük. - - - Bildiğiniz gibi düzlemimi yan çizmiştim bu yüzden n vektörümü çizebilirim. - N vektörü bunun gibi bir şey olacaktır. Düzlemin hemen dışına çıkacaktır. Ve değiştirebilirim fakat her zaman aynı yönde olacaktır. - Bu vektöre dik olacaktır. Yanı n x eksi x0'a diktir. - Bu da noktasal çarpımlarının sıfır olduğunu gösterir. Peki x eksi x0 neye benzeyecek? İşte bu ifadeye benzeyecektir. Eğer vektörleri kendileri olarak n1, n2 ve n3 olarak yazarsam ve x eksi x0, y eksi y0 ve z eksi z0 ile noktasal çarpım yaparsak sonucun sıfır olmak sorundadır çünkü birbirlerine diklerdir. - - - - - - Ve eğer burada noktasal çarpımlarını alırsak, n1 çarpı x eksi n2 çarpı y eksi y0 artı n3 çarpı z eksi z0'ın sıfır a eşit olduğunu buluruz. - - Bunu tanımayabilrsiniz fakat temizledikten sonra bunun aslında ax artı by artı cz eşittir d formu olduğunu görürsünüz. - - Aslında burada bir hata yaptım. Bu sıfıra değil d'ye eşit olmalı. Bu iste R3'deki düzlemin genel formudur. Bir düzlem R3'de sadece doğrusal bir yüzeydir. - Yanı bu, bu formu almaktadır. Bana inanmıyorsanız gerçek bir örnek yapabiliriz. - - Bir düzlemi size normal olan bir denklem vererek belirtiyorum. Normal vektör 1, 3 ve -2 noktaları ve size düzlemde olan bir noktayı kestiğini söylüyorum. - - Normal vektör ile nokta kesişmek zorunda değil. - Ama düzlemde olan bir nokta için 1, 2 ve 3 noktalarım var. - Ve diyorum ki bana bu düzlemin denklemini verin. Eğer o düzlemdeki herhangi başka bir noktayı alırsam, x, y, z ve bu ikisinin farkı tarafından tanımlanan vektör düzlem üzerinde olacaktır. - - - - Bu nokta ve bu nokta düzlem üzerindedir. Bu yüzden bu iki vektörün farkı olan vektörün tamamı düzlem üzerinde olacaktır. - Farklarını bulalım. X eksi x0 eşittir x eksi 1, y eksi 2 ve z eksi 3. - Bu düzlem üzerinde olacaktır. Bu düzlemdedir. Ve bu da normal vektörümüze dik olacaktır. - - Eğer normal vektörümü, 1, 3 ve -2, bununla, x eksi 1, y eksi 2 ve z eksi 3, nokta çarpımı yaparsam sonuç 0 olur. - - Çünkü bu düzlemde olan herşeye dik olmak zorundadır. - Sonuçta ne çıktı? 1 çarpı (x eksi 1) eşittir (x eksi bir) artı 3 çarpı (y eksi iki), eksi iki çarpı (z eksi üç) eşittir sıfır. - - - Bakalım bunu temizleyebilecek miyiz? - Sonuç olarak x eksi 1 artı 3y eksi 6 eksi 2z artı 6 eşittir 0. - Ayrıca, eksi 6 ve artı 6 birbirlerini geçersiz kılarlar. - Sonra bu eksi 1'i iptal etmek için iki tarafa da 1 eklersek sonuç olarak x artı 3y eksi 2z eşittir 1 çıkar. - - - Sadece bunun düzlemdeki bir nokta olduğuve bunun normal vektör olduğu gerçeğini bilerek, bunun normal vektör veya onun herhangi bir noktayla noktasal işlemi olduğunu kullanarak bunu bulabildim. - - - Bunların hepsini yapmama gerke yoktu. - Sadece bu formülü de kullanabilirdik. Sadece n1 eşittir 1 çarpı x eksi x1 veya x0 diyebilirdik. - Yani x eksi 1 artı n2, 3 çarpı y eksi 2 artı 2 çarpı z eksi 3 eşittir 0. - Sonra birazcık matematik ve cebir kullanarak buraya ulaşabilirdiniz. - Umarım bunu kullanışlı bulmuşsunuzdur. Bu aslında eğer herhangi bir şekilde üç boyutlu matematik kullanacaksanız size yardımcı olacaktır. - - Eğer oyun programlayıcısı olacaksanız bu yaptığımız geleneksel resmi matematiğin kullanışlı bir yan ürünüdür. - - -