Matris Sırası-Kademeli Form Kullanarak 4 Bilinmeyenli 3 Denklem Sisteminin Çözümü

Dört bilinmeyenli üç denklemim var. Tahmin ettiğiniz gibi, denklemden çok bilinmeyeniniz varsa, bilinmeyenleri yeterince kısıtlamamışsınız demektir. Kısıtlamamışsınız demektir. Evet bir de konuşsam çok güzel olacak. Sonsuz sayıda çözümünüz olacak. Ama bu sonsuz sayıda çözüm, hala kısıtlanabilir. Dört bilinmeyeniniz olduğu için dördüncü boyuttaymışız, gibi düşünelim. Dördüncü boyut Belki, dördüncü boyutta, bir düzleme sıkıştırıldık veya üçüncü boyutta, bir doğruya. Bir doğrunun da sonsuz sayıda noktası vardır ama daha kısıtlanmış bir kümedir. Bu lineer denklem sistemini çözelim. Önceden bunu eliminasyon yöntemi ile çözmüştük. Burada ise matris fikrini tanıtmak istiyorum. Matrisler, denklem sistemlerini kısaca ifade etmemizi sağlayan sayı sıralanış biçimleridir. Bir matris yazayım hemen. Denklemlerin sol tarafındaki katsayıların yer aldığı bir katsayı matrisi oluşturabilirim. Kat sayı matrisi. Buradaki katsayı 1. Buradaki katsayı 1. Şuradaki katsayı 2. 2, 2, 4 görüyorum. 2, 2, 4. 1, 2, 0. Burada x3 terimi olmadığı için, x3 teriminin katsayısı 0'dır diyoruz. Ve 1 eksi 1, 6. Bu şekilde, böylece bu denklem sistemi için katsayılar matrisini yazmış oldum. Şimdi bu matrisi, arttırılmış hale çevirmek istiyorum. Denklemlerin eşit olduğu değerlerle matrisi arttırayım. Şuraya bir çizgi çekip 7 12 ve 4'ü yazacağım. Sanıyorum bunun şunun farklı bir ifadesi olduğunu anladınız. Ve konuma göre bunların x1 katsayısı olduğunu biliyoruz. Bunların da, x2 katsayıları olduğunu biliyoruz. Her seferinde x1, x2 yazmamıza gerek değil mi. Burada yaptığımız tüm işlemleri, şurada da yapabiliriz. Herhangi bir denklemin yerine o denklemin bir sayıyla çarpımına başka bir denklemin eklenmiş halini yazabiliriz. Bir denklemi skalerle çarpıp bölebiliriz. Denklemleri birbirinden çıkarabiliriz. Değiş tokuş edebiliriz, yerlerini değiştirebiliriz. Şimdi bunları bu denklemleri çözmek için kullanalım. İlk yapacağım, eskiden de yaptığım gibi, bu satırı başında 1 olacak bir hale getirmek. Her satırdaki ilk eleman 1 ve her sütundaki diğer tüm elemanlar 0 olmalı. Önceki videolarda, altındaki tüm öğeleri sıfır yapıyorduk. Lineer bağımlılık, bağımsızlığı incelemek için. Şimdi, satırların ilk elemanlarının varsa 1 ve sütundaki diğer tüm elemanlarının sıfır olmasını istiyoruz. Bu şekildeki bir matrise, satır indirgenmiş basamak matris denir. Bunu bir yazayım. Satır indirgenmiş basamak matris. Bu arttırılmış matrise A dersek, A'nın satır indirgenmiş basamak matris halini bulmamız gerekiyor. Matrisler de vektörler gibi koyu renkte ama büyük harfle yazıyoruz. İleride matrislerin vektörlerle bağlantılarını inceleyeceğiz. Şimdi bu denklem sistemini çözelim. Önce bunları sıfır yapmaya çalışalım. Şunu, birinci satırın ikinci satırdan farkıyla değiştireyim. İlk satır aynı kalacak. 1, 2, 1, 1. Şuraya 7 gelecek. Birinci satırım. Şimdi de ikinci satırı birinci satır eksi ikinci satır diye değiştireyim. Ne bulurum? 1 eksi 1 eşittir 0. 2 eksi 2 eşittir 0. 1 eksi 2 eşittir eksi 1. Ve 1 eksi eksi 1, 2. Yani 1 artı 1 demek değil mi. 2. 7 eksi 12 eşittir eksi 5. Bu satırdaki 2'yi 0 yapmak istiyorum. Bu satırı, şu satır eksi 2 çarpı bu satırla değiştirelim şimdi. Bu satır eksi 2 çarpı birinci satır. Bu satırın yerine onu yazacağız. 2 eksi, 2 çarpı 1 2 eksi 2 eşittir 0. İşte bunu yapmaya çalışıyorduk. 4 eksi, 2 çarpı 2 eşittir 0. 0 eksi, 2 çarpı 1 eşittir eksi 2. 6 eksi 2 çarpı 1 eşittir 6 eksi 2, yani 4. 4 eksi 2 çarpı 7 4 eksi 14 eşittir eksi 10. Güzel şimdi ne yapabilirim? Şu satırın anlamı hakkında daha sonra konuşacağız. Hepsi 0'a dönüşünce, burada hiçbir şey kalmaz. Eğer burada sıfır dışında bir terim olsaydı, bu sayıyı sıfıra çevirmeye çalışırdık. Bu satıra gelelim. Şuradaki ilk elemanı 1 yapmamız lazım. Bu satırı eksi 1'le çarpalım. Bu satırın tamamını eksi 1'le çarparsam matrisi baştan yazmak zorunda kalmam. Bu satır artı 1 eksi 2 artı 5. Şimdi ne yapalım? Şunu 0 yapalım. Arttırılmış matrisimizi yeni formda yazalım. Bu sefer ortadaki satırı aynı tutacağım. Orta satır 0, 0, 1, eksi 2 ve şurada da 5 var. Şimdi şuradaki eksi 2'yi yoketmek istiyorum. Bu satırı o zaman şu satırın iki katına ekleyeyim. O zaman eksi 2, artı 2 elde ederim ve istediğim olur. Şimdi burada 0'lar olacak. Sonra eksi 2 artı 2 çarpı 1. Bu 0. 4 artı 2 çarpı eksi 2. 2 çarpı eksi 2. Yani 4 eksi 4, bu da 0. Sonra eksi 10 artı 2 çarpı 5. Bu da eksi 10 artı 10, yani 0. Bu da 0. Bu satır da tamamen sıfır oldu. Normal eliminasyon yönteminde, ilk elemanları 1 yaptığımda iş bitiyordu. Aşağıdakileri de 0 yapıyorduk. 1'lerin üstündeki sayıların ne olduğuyla ilgilenmiyorduk. Şimdi onları da 0 yapmam lazım. Bunu da 0 yapacağım. Birinci satırın yerine, birinci satır eksi ikinci satırı yazayım. 1 eksi 0, 1'dir. 2 eksi 0, 2. 1 eksi 1, 0. 1 eksi eksi 2 eşittir 3. 7 eksi 5 eşittir 2. İşte oldu. Matrisimizi, satır indirgenmiş basamak matrisine çevirdik. Bu, matrisimizin satır indirgenmiş basamak formu. Koyu renkte yazayım. Satır indirgenmiş basamak matris olmasının nedeni sebebi her satırdaki ilk elemanın 1 olması. İlk elemanlar hangileri? Bu 1 ve şu 1. Bunlar sütunlarındaki tek 0 olmayan 0 dışı elemanlar. Bu öğelere bu öğelere pivot eleman diyoruz. Sizin için işaretleyeyim. Bu, pivot eleman. Pivot eleman Sütunlarındaki tek sıfır dışı öğe. Şu satırda, tüm elemanlar 0. Satır indirgenmiş basamak matriste kural, sıfırlanmış satırın sona yazılmasıdır. Esas elemanlar 1 olmak zorunda. Örneğin, bu 5 kalamaz. Bu durumda, bu denklemi 5'e bölmemiz gerekirdi. Ki, esas elemanımız 1 olsun. Her satırın esas elemanı, bir önceki esas elemanın sağında olmalı. Bu sayı, bunun sağında. Bunlar, satır indirgenmiş basamak matrisin kuralları. Sıfırlanmış satırlar varsa, en sonda yer alır. Ve, bunu birkaç kere söyledim, bu, satırdaki tek sıfır dışı elemandır. Bu form ne işe yarar? Bu şekil ne işe yarar? Matris dünyasından denklemlerime döneyim. Hatırlarsanız, bunlar x1 katsayıları, bunlar da x2 katsayıları idi. Ve, sırasıyla, x3 katsayıları, x4 katsayıları ve sabit terimler. Şimdi, denklem sistemini satır indirgenmiş basamak matris kullanarak yazabilirim. x1, x1 artı 2 x2 x3 yok. Artı 3x4 eşittir 2. Bu denklemde x1, x2 yok. x3 var. x3 eksi 2 x4 eşittir 5. Başka denklemim yok. Burası tamamen sıfır. Bu denklem sistemini, şu denklem sistemine indirgedim. Pivot elemanların değişkenlerine, pivot değişkenler diyoruz. x1 ve x3 pivot değişkenler. Pivot olmayan değişkenlere de serbest değişkenler denir. x2 ve x4 serbest değişkenlerdir. Pivot değişkenleri tek başına bırakarak denklem sistemini çözeriz. Serbest değişkenler istediği değeri alır. Denklemlerin incelenmesini başlatırken, değişken sayısından az denklemimiz olduğunu söylemiştim. Bu, pek kısıtlanmış bir çözüm kümesi değil. Çözümü, dördüncü boyutta tek bir nokta olmayacak. Birden fazla nokta olacak. Pivot değişkenlerimizi tek başına bırakalım, çünkü, ancak, o kadarını çözebiliriz. Bu denkleme göre, x3 eşittir 5 artı 2 x4. Ve, burada, x1 eşittir 2 eksi 2 x2 eksi 3 x4. Tek yaptığım, bunları denklemin iki tarafından çıkarmak. Bu sonuç, bu denklem sisteminin çözümüdür. Serbest değişkenlerime istediğim değeri verebilirim. x2 ve x4'e değer verip, x3 değerini bulurum. Şimdi bunu biraz farklı yazıp, görsellemeyi kolaylaştırmak istiyorum. Her ne kadar, dört boyutta görsellemek zaten zor olsa da. Şöyle yazalım. Çözümü vektörel olarak yazsaydım x1, x2, x3, x4 vektörü olurdu. Bu vektör neye eşit? Yalnızca, çözüm kümesini vektör şeklinde yazıyorum. Yani, x1 eşittir 2 artı x2 şurada bir sütun oluşturayım. Şöyle yazayım. Artı x2 çarpı bir şey artı x4 çarpı bir şey. x1 eşittir 2 eksi 2 çarpı x2 veya artı x2 eksi 2. Buraya eksi 2 yazdım. Artı x4 çarpı eksi 3 diyebilirim. Eksi 3'ü buraya koyabiliriz. Bu vektörlerin ilk bileşenleri, bu denklemi temsil ediyor. x1 eşittir 2 artı x2 çarpı eksi 2 artı x4 çarpı eksi 3. Peki, x3 neye eşit? x3, 5'e eşit. 5'i buraya koyalım. Artı x4 çarpı 2. x3'ün ifadesinde x2 yok. 0 koyabiliriz. 0 çarpı x2 artı 2 çarpı x4. x2 neye eşittir? Şöyle diyebiliriz x2 eşittir 0 artı 1 çarpı x2 , artı 0 çarpı x4. x2, serbest değişken olduğu için, kendine eşit. O zaman, x4 neye eşit? x4 de 0 artı 0 çarpı x2 artı 1 çarpı x4'e eşit. Bunun bize faydası nedir? Şimdi, çözüm kümemizi, üç vektörün lineer birleşimi olarak ifade ettik. Bu bir vektör. Ama, noktanın koordinatları olarak da düşünebilirsiniz. Bir konum vektörü olarak da. Dördüncü boyutta bir vektör. Yani, dördüncü boyutta bir noktanın koordinatları veya bir konum vektörü olarak düşünebiliriz. Bu dört bileşenin her birini, üç boyutta hayal edebilirsiniz. Çözüm kümemin bir vektöre eşit olduğunu hayal edin. İşte çözüm kümesi bu vektör eşit. Bu vektörü bir konum vektörü olarak düşünebiliriz dedik kısacası. Bileşenleri de 2, 0 5, 0 olurdu. Dört boyutlu olduğu zaten buradan belli. Şu iki vektörün katlarına eşit. Şu vektöre, a diyelim. Şuradaki vektöre de b diyelim. Çözüm kümemiz, buradaki nokta veya o noktanın konum vektörü. Bu konum vektörünü şöyle gösteriyoruz. Başlangıç noktasında başlıyoruz ve bu iki vektörün katlarını topluyoruz. Bu a vektörü ise, a'yı farklı renkte çizelim. İşte böyle b vektörü de, b vektörü de şöyle çiziliyor. Bu b vektörü, bu da a vektörü. Şimdi bu görsellemeyle işi kolaylaştırıyor muyum yoksa zorlaştırıyor muyum, bilemiyorum. Çünkü dört boyutu, iki boyutlu bir düzlemde çiziyorum. Şunu gözünüzde canlandırın: çözüm kümesi bu nokta -veya konum vektörü- artı a ve b'nin lineer birleşimleri. Dördüncü boyutta olduğumuzu unutmayın. Ama a ve b'nin lineer birleşimleri birleşimleri bize bir düzlem verecek. 2 çarpı a artı 3 çarpı b, veya eksi a eksi 100 çarpı b. Bu lineer birleşimlerin tamamı, 2, 0, 5,0 noktasını, veya konum vektörünü kapsayan bir düzlem oluşturacak. Bu dört bilinmeyenli üç denklemin çözüm kümesi, dördüncü boyutta bir düzlemdir. Görsellemekte zorlanabilirsiniz, belki ileri de üç boyutlu bir örnek de yaparız. Umarım, arttırılmış matrisin ve satır indirgenmiş basamak matrisin ne olduğunu anlamışsınızdır. Denklem sistemini bozmadan bir matrise uygulayabileceğimiz işlemleri de görmüşsünüzdür.