If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:10:40

Video açıklaması

Boş uzay kavramı üzerinde yeterince çalıştık. Bu videoda ise, size matrisle ilgili bir başka uzaydan bahsedeceğim. Bu uzayın adı, sütun uzayı. Adından ne olduğunu tahmin edebilirsiniz. Bir A matrisimiz var diyelim. m n matrisi olsun m n. A matrisini sütun vektörleri kümesi olarak yazabilirim. Bu birinci vektör, bu ikinci ve n tane vektör olacak. n adet olacağını peki nereden biliyorum? Çünkü n adet sütun var. Bu sütun vektörlerinin her birinin kaç bileşeni var? v 1, v 2, v n'ye kadar. Matrisin çünkü m adet satırı var. Yani, vektörlerin m adet bileşeni olacak. R m'nin elemanları olacaklar. Sütun uzayı, bu sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleri olarak tanımlanır. A matrisinin sütun uzayı, bu sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleridir. Bir vektör kümesinin tüm lineer birleşimleri nedir? Bu vektörlerin germesidir, bu vektörlerin germesi. 1. vektör, 2. vektör, n'inci vektöre kadar tüm vektörlerin germesidir. Daha önce germe ve alt uzaylardan bahsetmiştik. Bir vektör kümesinin germesinin bir alt uzay olduğunu ispatlamak aslında kolaydır. 0 vektörünü kapsar. Bu vektörlerin hepsini 0 ile çarparsanız ve toplarsanız, ki bu geçerli bir lineer birleşimdir o zaman sütun uzayının 0 vektörünü kapsadığını görürsünüz. A'nın sütun uzayının elemanı olan bir a vektörünü alalım. Bu demektir ki a vektörü bir lineer birleşim olarak yazılabilir. Yani, a eşittir c 1 çarpı 1. vektör artı c 2 çarpı 2. vektör, c n çarpı n'inci vektöre kadar. Şimdi sorumuz şöyle: bu, çarpmaya göre kapalı mı? Herhangi bir s skaleriyle çarpımı, germenin bir elemanı mı? s çarpı a eşittir s c 1 v 1 artı s c 2 v 2, s c n v n'e kadar. Bu da bu sütun vektörlerinin bir lineer birleşimi. Buna göre, s a da A'nın büyük A'nın sütun uzayının elemanıdır. Son olarak ise, sadece sütun uzayı için değil, sütun uzayı için değil tüm germeler için şunu ispatlamam gerekiyor. Aslında, geçmişte yaptıklarımızın tekrarı oldu. Yani neyi ispatlamam gerekiyor toplamaya göre kapalı olduğunu göstermem gerekiyor. a'nın sütun uzayının bir elemanı olduğunu varsayalım. b de sütun uzayının yine bir elemanı olsun. O zaman, b eşittir b 1 çarpı v 1 artı b 2 çarpı v 2, b n çarpı v n'ye kadar. Şimdi soruyorum, a artı b, germenin sütun uzayının bir elemanı mıdır? a artı b nedir? c 1 artı b 1 çarpı v 1 artı c 2 artı b 2 çarpı v 2. Bu terimi şu terimle toplayıp, bu terimi elde ediyorum. Bu terimle şu terim, bu terimi veriyor. b n artı c n çarpı v n'ye kadar. Bu da, bu vektörlerin bir başka lineer birleşimi. Yani, germenin elemanı. Bu, sadece matrise has bir konu değil. Matrisi sadece sütun vektörleri kümesi olarak da düşünebiliriz. Yani, bu durum her türlü germeye uygulanabilir. Buna göre, bu, bir alt uzaydır. A'nın sütun uzayı, bir alt uzaydır. Sütun uzayı kavramını başka nasıl yorumlayabiliriz düşünelim. m n matrisini, A matrisini herhangi bir x vektörüyle çarparsam x'in R n vektörü olması gerektiğini tabi unutmayın. Çarpımın tanımlı olması için n bileşeni, n tane bileşeni olması lazım. Yani x R n'nin elemanı olmalı. Bunun anlamı hakkında biraz düşünelim. x'in R n'den gelebilecek her türlü vektör olduğu A x çarpımlarını düşünüyorum. Bunun ne anlama geldiği hakkında biraz düşünelim. A'yı böyle yazarsam, x'i de x 1, x 2, x n'ye kadar yazayım. A x nedir? Bunu daha önce görmüştük A x eşittir x 1 çarpı v 1 artı x 2 çarpı v 2 x n çarpı v n'ye kadar. Bunu defalarca gördük daha önce. Matris vektör çarpımının tanımının sonucuydu. A x buna eşit ve x olarak R n'den her vektörü seçebileceğimi söylüyorum. Yani, her türlü lineer birleşimi oluşturabilirim. Peki, bu neye eşit? Yani, bu ifadeyi x 1 v 1 artı x 2 v 2, x n v n'ye kadar x 1, x 2, x n'ye kadar reel sayıların yer aldığı tüm lineer birleşimler olarak yazabilirim. Söylediğim bundan ibaret. Bu ifade, şu ifadeye denk. x R n'nin elemanıysa, bileşenleri herhangi bir reel sayı olabilir. Yani sütun vektörlerinin reel katsayılı lineer birleşimlerini alıyorum. Ne yapıyorum? Bu, A'nın sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleri. Yani, v 1, v 2, v n'ye kadar vektörlerin germesine eşit. Bu da A'nın sütun uzayıyla aynı şey. Buna göre, A'nın sütun uzayı, bu vektörlerin germesidir, veya bu vektörlerin lineer birleşiminden oluşacak tüm vektörlerin kümesidir. Veya, x R n'nin bir elemanıysa, A x'in alabileceği değerler ne olabilir? Bu şekilde düşünelim. A x eşittir b 1 denklemini çözmem gerektiğini varsayalım. Bu denklemi çözmem gerekiyor. A x eşittir b 1. Ve, diyelim ki, b 1 A'nın sütun uzayının bir elemanı değil. Bu ne demek? Bu, şu demek bu ifade b 1'e eşit olamaz çünkü bu ifade sadece A'nın sütun uzayının elemanlarına eşit olabilir. Eğer b 1 bu uzayda değilse, ifade b 1'e eşit olamaz. Bu da demektir ki, A x eşittir b 1'in çözümü yok. Çözümü olsaydı, diyelim ki, A x eşittir b 2'nin en az bir çözümü var. Bunun anlamı nedir? Bu demektir ki, belli bir x veya x'ler için, bu değeri elde edebiliriz. Yani, bazı x'leri A ile çarptığımızda bu değeri elde edebiliyoruz. Buna göre, b 2 A'nın sütun uzayının bir elemanıdır. Buradaki bazı bulgular size bariz gelebilir. Bu, sütun uzayının tanımının sonucudur. Sütun uzayı, sütun vektörlerinin lineer birleşimleridir, yani A x'in alabileceği tüm değerlerdir. Buna göre, A x'i bu değerlerden farklı bir şeye eşitlersem, çözümüm olmayacak demektir. Neyse burada bırakalım. Şimdi, en azından teorik olarak sütun uzayının ne olduğunu biliyorsunuz. Sonraki videolarda sütun uzayı ve boşuzay hakkında öğrendiklerimizi bir araya getirip, matris ve matris vektör çarpımını her açıdan anlamaya çalışacağız.