Matris Vektör Çarpımı

En son birkaç videoda, matris fikrine başlangıç yapmıştık. Matris iki boyutlu bir sayı sıralamasıdır. Eğer bir m n matrisim varsa, m, satır sayısı ve n de sütun sayısıdır. m n matrisini yazayım.m n matrisine A diyelim. Büyük, koyu yazılan bir A. İçindeki sayıları en genel biçimde yazacağım. İlk sayı küçük harf , küçük a ile, 1. satır ve 1. sütunda yer alıyor.İkinci sayı, 1. satır, 2. sütunda. Bu şekilde 1. satırın n'inci sütununa kadar gidiyoruz. n adet sütun var. Aşağı doğru devam ettiğinizde, bir sonraki sayı, 2. satır 1. sütunda. Ve, böylece, m'inci satır n'inci sütuna kadar devam edebiliriz. Peki, bir sonraki sayı? Bir sonraki sayı, 2. satır, 2. sütunda. Böyle devam ederseniz, m'inci satır, n'inci sütuna ulaşırsınız. Bu matristeki eleman sayısı kaçtır? Bu yönde m sayı, şu yönde n sayı olacak. Yani, m çarpı n sayıda eleman bulunacak. Cebir dersinde matrisleri gördüğünüzü tahmin ediyorum. Şimdi, bu videoda, matris fikrini vektörlerle ilgili bilgimizle birleştiricez. Belki de matris ve vektörleri birleştiren bazı işlemler de tanımlarız. Bu işlemlerden en doğal olanı, çarpımdır. O nedenle, bu videoda herhangi bir A matrisiyle x vektörünün çarpımını tanımlayacağım. Tanımımızın işe yaraması için, x'in bileşen sayısının, A'nın sütun sayısıyla aynı olması lazım. Yani, bu çarpım işlemi, x 1, x 2, şeklinde x n'ye kadar giden bir x vektörü için geçerli. Önemli olan şey, bu yöndeki A elemanı sayısı kadar, burada n eleman var, vektörün bileşeni olması gerektiği. Bu koşul gerçekleşirse, eğer vektörün uzunluğu, veya vektörün bileşen sayısı, matrisin sütun sayısına eşit olursa, çarpımı şöyle tanımlarız. Bu bir tanım, doğada böyle tanımlamamızı gerektiren bir durum yok.İnsanlar, veya matematikçiler, bu çarpım tanımının faydalı bir kural olacağını düşünmüşler. Şimdi A matrisi ile x vektörünün çarpımını tanımlayalım.Bunların ikisi de koyu yazılsın, şöyle bu matris, bu da vektör. Vektör işaretini çizmeseydim, kitaplarınız x'i koyu yazacaktır. x küçük harfle yazılacak.Küçük harf vektör demek, büyük harf ise matris demek. Ve ikisi de koyu yazılacak. Sayılardan farkını belirtmek için koyu harfle yazıyoruz. Çarpımı şöyle tanımlıyoruz.Her satırı alıyoruz. Bunu birkaç şekilde görselleyebiliriz. Ama a 1 1 çarpı x 1, bunu yazayım.a 1 1 çarpı x 1 artı a 1 2 çarpı x 2, a 1 n çarpı x n'ye kadar. Bu m n matrisin, n bileşenli vektörle çarpımı, bu yeni vektörü oluşturacak. Sonuç vektörünün sayıları, matrisin sütun elemanları ile vektörün elemanlarının çarpımlarının toplamları olacak. Bunun iç çarpıma çok benzediğini görüyorsunuz. Buna birazdan değineceğim. Ama önce tanımı bitireyim. Sonra, anlamını veya başka konularla bağlantılarını konuşuruz. Bu ilk satırdı, buna benzeyecek.Bunu şununla çarpıp şimdi bu satırı bulacağız. Şimdi de ikinci satır. Unutmayın, bu bir tanım. İnsanlar bu tanımı buldular keşfettiler. Doğadaki hiçbir şey çarpımın böyle yapılması gerektiğini bize söylemedi. Pratik olduğu için bu yöntemi uyguluyoruz. İkinci satıra a 2 1 çarpı x 1'le başlıyoruz ve aynı tanımı tekrar uyguluyoruz.Bu sefer bu satırı bu sütun vektörüyle çarpıyoruz. a 2 1 çarpı x 1 artı a 2 2 çarpı x a, a 2 n çarpı x n'ye kadar.Bu satırı bu sütunla çarpmış oldum. Bu terim çarpı şu terim artı bu terim çarpı şu terim. Bu son terim çarpı şu son terime kadar. m'inci satıra ulaşana kadar her satır için bunu uygulayacağız. m'inci satır, a m 1'le başlıyor. m'inci satır 1. sütun. a m 1 çarpı x 1 artı a m 2 çarpı x 2, kadar. a m n çarpı x n'ye ulaşana kadar devam ediyor. Bu vektör neye benzeyecek?Bu vektöre b diyelim. B vektörü neye benzer? Kaç elemanı olacak? Buradaki her satır için bir eleman olacak, öyle değil mi? Her satırın bu sütun vektörüyle iç çarpımını alıyoruz.Birazdan daha biçimsel şekilde yazacağım. Ama bunun iç çarpım olduğunu anladığınızı sanıyorum. Birinci bileşen çarpı birinci bileşen artı ikinci bileşen çarpı ikinci bileşen artı üçüncü bileşen çarpı üçüncü bileşen, n'inci bileşen çarpı n'inci bileşene kadar. Vektörlere sütun vektörü diyebiliriz. Bu, neye benzeyecek? Bu işlemi m kere yapıyoruz, yani m elemanımız olacak, m kadar elemanımız olacak. b 1, b 2, b m'ye kadar. Bunları matris gibi düşünürsek, bu m n matrisi ve bunu kaç satırlı bir vektörle çarpıyoruz? n satırlı. n bileşen ve 1 sütun var. m n matrisini n 1 matrisiyle çarparsak, sonuçta ortadaki iki sayıyı yok sayabiliriz. Sonuç matrisinin kaç satırı var? m satır, 1 sütun. Çarpımın tanımlı olması için, ortadaki iki sayının aynı olması gerekiyor ve sonuçta m 1 matrisi elde ediyoruz. Bunların hepsi soyuttu, şimdi sayılara uyarlayalım. Ama tanımı belirlemek tabiki önemliydi. Tanımımızı belirlediğimize göre, matris ve vektörlere uygulayabiliriz.Diyelim ki, şöyle bir matrisimiz var. Eksi 3, 0, 3, 2, 1, 7, eksi 1, 9 bu matrisi, bir vektörle çarpalım. Bu vektörün kaç satırı olmalı? Şimdi matris ile vektörün çarpımının tanımlı olması için, vektörün eleman sayısının matrisin sütun sayısına eşit olması gerekiyor. 1, 2, 3, 4 sütun var. Bu vektörle çarpımını alabilmemiz için, vektörün 4 bileşeni olması gerekir. Yoksa, çarpım tanımlı değildir. Buraya 4 eleman yazayım. 2, eksi 3, 4 ve eksi 1. Bu neye eşit olur? Birinci terim, birinci satırla bu vektörün iç çarpımı olacak. İkinci eleman, bu satır vektörüyle bu sütunun iç çarpımı olacak. Şimdi bunları bulalım.Eksi 3 çarpı 2 artı 0 çarpı eksi 3 artı 3 çarpı 4 artı 2 çarpı eksi 1. Şimdi de ikinci satır veya vektörün ikinci bileşeni, 1 çarpı 2 artı 7 çarpı eksi 3 artı eksi 1 çarpı 4 artı 9 çarpı eksi 1. Peki, bu nasıl sadeleşir? Eksi 3 çarpı 2, eksi 6 artı 0 artı 12. Bu 12.Eksi 2.Bu da şöyle sadeleşir. 2 eksi 21 eksi 4 eksi 9. Üst terim, eksi 6 artı 12, 6 eksi 2 eşittir 4. Ve, 2 eksi 21 eşittir eksi 19.Şimdi işlemleri doğru yaptığımdan bir emin olayım. Eksi 21 eksi 9 eşittir eksi 30. Eksi 34 artı 2, yani eksi 32.Çarpımı buldum. Şimdi şunu açık bir şekilde belirtmek istiyorum. Bugüne kadar, vektörleri hep sütun vektörü olarak düşünüyorduk. Buradakileri ise, satır vektörü olarak görebilirsiniz. Daha da iyisi.Şu vektöre a 1 diyeyim. a 1 vektörünü eksi 3, 0, 3, 2 olarak tanımlayayım. a 2 vektörünü de 1, 7, eksi 1, 9 olarak tanımlayayım. Bu sayıları standart vektörler şeklinde yazdım.Sütun vektörleri olarak yazdım. Bunları satır vektörüne çevirmek için devriğini alırız. Devrik aldığımızda, satırları sütuna, sütunları da satıra çeviriyoruz. Bu a 1 ise, a 1'in devriği, satır versiyonu olacak.Yani, eksi 3, 0, 3, 2. a 2'nin devriği, 1, 7, eksi 1, 9 olur. Bu çarpımı şöyle yazabiliriz: Birinci satır için, a 1 vektörünün devriği. Şimdi bunlar satır vektörleri oldu. Bu a 2'nin devriği. Devrik işareti üstsimge olarak yazılmalı. Bu vektör böyle yazılabilir, çünkü bu birinci satır, bu ikinci satır. Çarpı bu x vektörü. Tanımı şimdi baştan yazabiliriz. Yazdığımız ilk satır, a 1 ile x'in iç çarpımıydı. İç çarpımı biliyorsunuz.Birinci satır, a 1 ile x'in iç çarpımıydı. Eksi 3 çarpı 2 artı 0 çarpı eksi 3 artı 3 çarpı 4. a 1 iç çarpım x. Bu, faydalı, çünkü iç çarpımı tanımladığımızda, sadece sütun vektörleri için tanımlamıştık. 2 sütun vektörünün iç çarpımını alıyoruz. Henüz satır vektörüyle sütun vektörünün çarpımını biçimsel olarak tanımlamadım. Buna göre, şimdilik buna standart sütun vektörü diyebilirim. Ve, matristeki her satırı, sütun vektörünün devriği veya satır vektörü olarak düşünebilirim. O zaman, bu çarpımı bu devriklerin veya ters devriklerin şu vektörle iç çarpımı olarak yazabilirim. Buna göre, ikinci satır, a 2 iç çarpım x olacak.İkinci satır, a 2 iç çarpım x, 1 çarpı 2 artı 7 çarpı eksi 3 eksi 1 çarpı 4 artı 9 çarpı eksi 1. İşte böyle.Bu şekilde düşünebiliriz.Matris çarpı vektör, satırların devriğinin vektörle iç çarpımıdır. Bu, matris çarpımını ifade etme yöntemlerinden biri. Başka bir yöntemi ise, bir başka örnekle göstereyim.Bu sayılardan biraz sıkıldım.Diyelim ki, A matrisi, 3, 1, 0, 3, 2, 4, 7, 0, eksi 1, 2, 3, 4. Bunu 4 bileşenli bir vektörle çarpmam gerekiyor. x vektörüne x 1, x 2, x 3, x 4 diyelim. Bunları satır vektörü yerine, A matrisinin içindeki sütun vektörleri olarak düşünebiliriz. Buna 1. vektör deriz. Şuna 2. vektör deriz. Buna da, 3. vektör. Ve, şu da 4. vektör. O zaman, A matrisini sütun vektörleri olarak görebiliriz. 1. vektör, 2. vektör, 3. vektör ve 4. vektör olarak baştan yazabiliriz. Peki, bu bağlamda, matris çarpımını nasıl yorumlarız? Ne yapmıştık?Çarpımı aldığımızda, buradaki elemanların hepsi x 1 ile çarpılır. Tanımımıza göre çarpıma başlayayım. A çarpı x, başlayalım. Belki hepsini bitirmem ama örüntüyü görmenizi istiyorum. 3 çarpı x 1 artı 1 çarpı x 2 artı 0 çarpı x 3 artı 3 çarpı x 4. Bu birinci eleman. Sonra, 2 çarpı x 1 artı 4 çarpı x 2 ve sonuna kadar gideriz. En sonunda ise, eksi 1 çarpı x 1 artı 2 çarpı x 2. Anladınız.Burada ne yapıyoruz? İlk vektörü x 1 ile çarpıyoruz. Bu elemanlara bakarsanız, her seferinde bunu x 1 sayısıyla çarptığımızı görüyorsunuz. 3, 2, eksi 1, 3, 2, eksi 1. x 1 ile çarpıyoruz.Ve, bu, çarpı x 2'yi topluyoruz. Sonra da, şu, çarpı x 3'ü topluyoruz. A çarpı x eşittir, x 1 çarpı v 1 vektörü artı x 2 çarpı v 2 vektörü. Artı x 3 çarpı v 3 vektörü artı x 4 çarpı v 4 vektörü. Eğer burada n terim olsaydı, n adet vektör gerekirdi. Bunu n için genelleyebilirdim. Burada ilginç olan ise, A x çarpımının lineer bileşim olarak yorumlanabilmesi. Bunlar, x vektörüne göre, gelişigüzel sayılar. Yani, x vektörüne göre, A'nın sütun vektörlerinin lineer bileşimini alıyoruz. Bu, A'nın sütun vektörlerinin lineer bileşimi. Bu çok ilginç.Eminim, matris çarpımını daha önceden gördünüz. Ancak, bu iki yorumu anlamanızı istiyorum. İleride, sütun uzayından ve benzeri şeylerden söz ettiğimizde, bu yorumlar önemli olacak. Aslında, daha başka şekillerde de yorumlayabiliriz. x vektörünün dönüşümü gibi.Ama uzatmamak için, bu videoda bu konulara girmeyeceğim. x vektörünün ağırlıkları belirlediği bir ağırlıklı toplam veya A matrisinin sütunlarının lineer bileşimi olarak yorumlayabilirsiniz.Veya, satır vektörlerinin iç çarpımı olarak yorumlayabilirsiniz. Satır vektörlerini, sütun vektörlerinin devriği olarak tanımlayabilirsiniz. Bu sütun vektörlerinin X matrisiyle iç çarpımını alıyorsunuz.Bu ikisi de son derece geçerli yorumlar.