Matrisin Boş Uzayını Hesaplama

Bir önceki videoda, boşuzayın ne olduğunu teorik olarak anlattım ve boşuzayın geçerli bir altuzay olduğunu ispatladım.Bu videoda ise, bir matrisin boşuzayını buluyoruz. A matrisinin boşuzayını bulalım. x 1, x 2, x 3, x 4 vektörünün boşuzayımızın bir elemanı olduğunu söylersem, A matrisini bu vektörle çarpınca, 0 vektörünü elde ederim. Boşuzay, bu vektörlerin kümesidir. Bunun 4 sütunu var.Bu bir 3'e 4 matrisi, o nedenle 4 bileşenli veya R 4'te bir vektörle çarpımı tanımlı. Bu vektöre x diyelim.x vektörü. R 4'ün bir elemanı.Dört bileşeni var.Ve, bunları çarptığımız zaman, 0 vektörünü bulmamız gerekiyor. Boşuzay, A matrisiyle çarptığınız zaman 0 vektörünü veren vektörlerin kümesidir. Ve, ne elde ederiz? Birinci satır çarpı bu, birinci eleman olacak. Sonra, bu satır çarpı bu, ikinci eleman olacak. Sonra da üçüncü satır. Üç adet sıfırım olmalı. Yani, 0 vektörüm üç boyutlu. Peki, bu denklemi sağlayan x'lerin tamamını nasıl bulacağız?Biçimsel notasyonla yazayım. A'nın boşuzayı eşittir, A matrisiyle çarptığımız zaman 0 vektörünü veren, tüm, genelde R n, bu durumda, tüm 3 4 matrisi nedeniyle R 4 vektörlerinin kümesi. Bu soru için, 0 vektörü R 3'te. Peki, bunu nasıl çözeriz? Bu, sadece, bir lineer denklem.Bir lineer denklem olarak yazabiliriz. Matris çarpımını yaparsak, 1 çarpı x 1. Şuraya yazayım.1 çarpı x 1 artı 1 çarpı x 2 artı 1 çarpı x 3 artı 1 çarpı x 4 eşittir 0. Bu çarpı şu eşittir 0.Ve, şu çarpı bu eşittir şurada ki 0. 1 çarpı x 1, yani x 1, artı 2 çarpı x 2 artı 3 çarpı x 3 artı 4 çarpı x 4 eşittir şu 0. Ve, son olarak da, bu çarpı şu vektörün, buradaki 0'a eşit olması lazım. Bu satır vektörünün, şu sütun vektörüyle iç çarpımının sonucu, şu 0 çıkmalı.4 x 1 artı 3 x 2 artı 2 x 3 artı x 4 eşittir 0. 4 x 1 artı 3 x 2 artı 2 x 3 artı x 4 eşittir 0. Bu sistemin çözüm kümesini bulduğunuz zaman, boşuzayı da bulmuş olacaksınız. Daha önce, böyle denklem sistemlerini çözmüştük.Dört bilinmeyenli üç denklemimiz var.Bunu çözebiliriz. Arttırılmış bir matrisle gösterip, satır indirgenmiş basamak matris haline çevirebiliriz. Ve böyle yapalım. Bu soruyu arttırılmış matrisle gösterelim. 1, 1, 4 1, 2, 3. 1, 3, 2. Ve, 1, 4, 1.Sonra da 0 vektörüyle arttırılmış hale getirelim. Burada farkına varmanız gereken şey şu, matrisleri çarpmama rağmen, denklem sistemini çözerken, arttırılmış matrise geri dönüyorum. Bu arttırılmış matris neye benziyor? Şurası, A matrisimiz.Şurası A matrisi, bu da 0 vektörü. Bunu çözmek için, arttırılmış matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmem gerekiyor. Satır indirgenmiş basamak matris haline çevirdiğiniz zaman, sağ tarafın hiç değişmediğini göreceksiniz. Hep 0'la çarpıp topladığınız için, sonuç hep 0 kalacak. Yani, bunu satır indirgenmiş basamak matris haline çevirirken, aslında, A matrisini satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmiş oluyoruz. Neyse, konuşmayı bırakıp, çözüme başlayayım. 1. satır, 1, 1, 1, 1, 0. Şuradaki 1'i yok etmek istiyorum. 2. satırın yerine 2. satır eksi 1. satırı yazayım. 1 eksi 1 eşittir 0. 2 eksi 1 eşittir 1. 3 eksi 1 eşittir 2. 4 eksi 1, 3. 0 eksi 0 eşittir 0. 0'ların değişmeyeceğini gördunüz. Ve, şu satırın yerine 4 çarpı bu satır eksi şu satırı yazarız. Böylece bunu ortadan kaldırırız. 4 çarpı 1 eksi 4 eşittir 0. 4 çarpı 1 eksi 3 eşittir 1. 4 çarpı 1 eksi 2 eşittir 2.4 çarpı 1 eksi 1 eşittir 3. 4 çarpı 0 eksi 0 eşittir 0. Satır indirgenmiş basamak matris haline getirmek için, bu terimi ve şu terimi yok etmem gerekiyor. Ortadaki sırayı aynı tutayım. Orta sıra, 0, 1, 2, 3.Sağ tarafta 0 var ve bu 0'lar hiç değişmeyecek. Ama egzersiz olsun diye, bunları yazmaya devam ediyoruz. Şu 1'den kurtulmak için, şimdi ilk satırın yerine, ilk satır eksi ikinci satırı yazayım. 1 eksi 0 eşittir 1. 1 eksi 1 eşittir 0. 1 eksi 2 eşittir eksi 1. 1 eksi 3 eşittir eksi 2. Ve 0 eksi 0 eşittir 0. Son satırın yerine de, son satır eksi orta satırı yazayım. 0 eksi 0 eşittir 0. 1 eksi 1 eşittir 0. 2 eksi 2 eşittir 0. Bunun nereye varacağını görüyorsunuz tahminen.3 eksi 3 eşittir 0. Ve, 0 eksi 0, yine 0. Bu denklem sistemi, satır indirgenmiş basamak matris sayesinde, basitleştirilmiş oldu. Bunu tekrardan yazarsam, x 1 eksi x 3 eksi x 4 eşittir 0, oluyor öyle değil mi? Bu ikinci satırda x 1 yok. Yani, x 2 artı 2 x 3 artı 3 x 2 eşittir 0. Bu, bana hiçbir bilgi vermiyor.Şimdi bunu çözebilirim. x 1 ve x 2'yi yalnız bırakabilirim. Ve ne bulurum? x 1 eşittir x 3 artı x 4. Burada bir hata yaptım. Bu, x 1 eksi x 3 eksi 2 x 4 eşittir 0. Bunu tekrardan yazarsam, x 1 eşittir x 3 artı 2 x 4 elde ederim. Ve 2 x. x 2 eşittir eksi 2 x 3 eksi 3 x 2. Bu denklemin çözümünü yazmak istersem, x 1, x 2, x 3, x 4 neye eşittir bakalım. ? x 1 neye eşit? x 3 çarpı 1 artı x 4 çarpı 2.Öyle değil mi? Bu ifadeyi, buradaki denklemden elde ettim. x 1 eşittir 1 çarpı x 3 artı 2 çarpı x 4. İşte burada. x 2 eşittir x 3 çarpı eksi 2 artı x 4 çarpı eksi 3. Galiba ipin ucunu kaçırdım. x 2 artı 2 x 3 artı 3 x 4 eşittir 0 Yani, x 2 eşittir eksi 2 x 3 eksi 3 x 4. Tamam Peki, x 3 neye eşit?x 3 eşittir 1 çarpı x 3 artı 0 çarpı x 4, öyle değil mi? x 3 eşittir x 3.x 4 neye eşit? 0 çarpı x 3 artı 1 çarpı x 4'e. Buna göre, A x eşittir 0 denklemini sağlayan R 4 vektörleri, şu iki vektörün lineer birleşimi olarak yazılabilir, öyle değil mi? x 3 ve x 4 için istediğimiz reel sayıları seçebiliriz. Buna göre, çözüm kümemiz, şu iki vektörün lineer birleşiminden ibaret. İki vektörün lineer birleşimini peki başka nasıl ifade ederiz? Şöyle yazalım. A'nın boşuzayı, yani bu denklemin çözüm kümesi, bu ve şu vektörün tüm lineer birleşimlerini kapsıyor. İki vektörün tüm lineer birleşimlerine ne isim veriyorduk. ? Bu vektörlerini gereni deriz. Yani, çözüm kümesi bu iki vektörün, 1, eksi 2, 1, 0 vektörü ile 2, eksi 3, 0 , 1 vektörünün gerenidir. Bu, boşuzayımız. Bir ilginç şeye daha dikkatinizi çekeyim.Denklem sistemimizi böyle gösterdik ve satır indirgenmiş basamak matrisi haline çevirdik. Bu A, bu da 0.Buradaki, A'nın satır indirgenmiş basamak matris hali.Bu denklem, soruyu çözerken kullandığımız lineer bir denklem. A'nın satır indirgenmiş basamak matris hali çarpı x vektörü eşittir 0. Yani, bunun çözümleri, aynı zamanda orijinal denklemimizin çözümleridir. Peki, bunun çözümü nedir? Bu denklemi sağlayan x'ler, A'nın satır indirgenmiş basamak matris halinin boşuzayını oluştururlar.Öyle değil mi? Buradaki x'leri bulunca, A matrisinin satır indirgenmiş basamak matris halinin boşuzayını oluşturmuş oluyoruz. Yani, bu sorunun şu soruyla aynı olduğunu söylüyoruz, öyle değil mi? Yani, A'nın boşuzayının, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayı ile aynı olduğunu söyleyebiliriz. Bu, biraz karışık gelebilir, ama boşuzay hesaplarken çok faydalı bir bilgi. Yani, arttırılmış bir matris yazmamıza gerek bile yoktu. A matrisini alıp, satır indirgenmiş basamak matris haline getirip, boşuzayını bulabilirdik. Doğrudan şu noktaya ulaşabilirdik. Bu, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisi. Bu denklemleri hemen çözebilirdim, öyle değil mi? A'nın satır indirgenmiş basamak matrisiyle vektörün çarpımını alıp şu denklemleri bulurdum, denklemleri şu şekilde yazıp, sonuca ulaşırdım. Neyse, umarım bunu faydalı bulmuşsunuzdur.