If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:21:35

İspat: Alt Uzayın Herhangi bir Doğurayı Aynı Sayıda Elemana Sahiptir

Video açıklaması

a 1, a 2, a n'ye kadar vektörlerden oluşan bir A kümesi olduğunu düşünelim. Bunun bir V alt uzayının doğurayı olduğunu biliyoruz. Bu videoda göstermek istediğim, bunun n adet elemanı varsa, veya kardinalitesi n ise, V'yi geren herhangi bir kümenin de en az n adet elemanı olması gerektiği. Bu kümede n adet vektör olduğunu bu şekillerde belirtiyoruz.Eğer V'nin doğurayının n adet elemanı varsa, V'yi geren her kümenin en az n adet elemanı olması gerektiğini söylüyorum. n'den az elemanı olan bir kümeyle başlayıp çelişki bulmaya çalışalım. Bir B kümesinin b 1, b 2, b m'ye kadar vektörleri olduğunu varsayalım.Ve m n'den küçük olsun. Yani, vektör kümemde A'dan daha az eleman var. Sizde bana bu kümenin V'yi gerdiğini söylemiş olun. Şu yeşil ifadenin doğru olduğunu düşündüğümü söylerim. Böylece düşünsel bir deneye başlarız. Tamam, derim, eğer kümenin V'yi gerdiğini iddia ediyorsanız, şöyle bir şey yapalım. Yeni bir küme tanımlayayım.Bu kümenin adını B 1 üssü koyalım. Niye böyle garip bir notasyon kullandığımı birazdan göreceksiniz. Bu küme, B kümesi artı a 1 vektörü olacak. a 1 ve B'nin diğer tüm elemanları.b 1, b 2, b m'ye kadar. Bu kümenin lineer bağımlı olduğu konusunda, sanıyorum, hemfikiriz değil mi?. Bunu nereden biliyorum? Lineer bağımlılığa göre, bu kümenin en az bir elemanı diğerlerinin lineer birleşimi olarak ifade edilebilir. a 1'in V'nin doğuray vektörlerinden biri olduğunu biliyoruz. Doğuray vektörlerin hepsi V'nin elemanıdır. Bu küme V'nin doğurayı ise, V'yi gerer ve V'nin her elemanı bu vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade edilebilir. Veya, bu vektörlerin her lineer birleşimi, V'nin içindedir, diyebiliriz. Bir lineer birleşim de, a 1'in katsayısının 1 ve diğer katsayıların 0 olduğu lineer birleşimdir.Yani, a 1 de kümededir. a 1 V'de ise ve bu vektörlerin tamamı V'yi gererse, tanım gereği, V'nin her elemanını bu vektörlerin bir lineer birleşimi olarak kurabilirim. Yani, bu vektörlerden a 1'i veren bir lineer birleşim yaratabilirim. a 1 eşittir d 1 b 1 artı d 2 b 2, d m b m'ye kadar diyebiliriz. d'ler sabit ve en az biri 0'dan farklı olacak. a'nın 0'dan farklı bir vektör olduğunu biliyoruz. Eğer 0 vektörü olsaydı, bu doğuray olamazdı çünkü lineer bağımsız olmayacaktı. 0 vektörünü 0 çarpı herhangi bir başka vektör olarak gösterebilirsiniz.Yani, bu 0 vektörü olmayacak. Bu da demektir ki, bunlardan en az biri 0'dan farklı olacak. O zaman, diyelim ki, d j b j'nin katsayısı d j 0'dan farklı.d j eşit değildir 0. Bu terimi yalnız bırakabiliriz.Yani, burada d j b j artı bir sürü şey olacak. Bu terimi yalnız bırakmak için, iki taraftan çıkarırız, iki tarafı eksi d j'ye böleriz ve eksi a 1'i öteki tarafa atarız. Peki böylece ne oldu? Ne yaptık biz? Bir sürü işlem yaptık, ama hepsi basit cebir işlemleri aslında.Şimdi şurada b j'yi tek başına bırakabiliriz. Eksi 1 bölü katsayısı. a 1'i iki taraftan çıkarırsak, artı d 1 b 1 burada biraz boşluk kalacak d m b m'ye kadar. Bütün bunları, size, a 1'in diğer vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılabileceğini göstermek ispat etmek için yapıyorum. Terimlerin yerlerini değiştiriyorsunuz. Terimlerin yerlerini değiştirip bir vektörü diğerlerinin ve a 1'in lineer birleşimi olarak yazabilirsiniz. Bu vektör şimdi fazlalık oldu. V'yi germek için artık ona ihtiyacım yok. Bu küme yine de V'yi gerecektir. Buraya bir vektör eklemiştim.Yani, bu vektörü B 1 üssünden silersem hala V'yi gererim.Bunu nasıl biliyorum? Peki, çünkü bu vektörü diğerleri cinsinden ifade ettim.Onu silersem, hiçbir şey kaybetmiyorum. Başka bir vektörü bulmak için bu vektöre ihtiyacım yoksa, bu vektörü diğer b'ler ve a 1'le oluşturabilirim. Şimdi onu silelim ve kümemize v 1 diyelim. Veya, sadece kümenin adını değiştirelim.Bu biraz olağandışı bir notasyon.Ders kitaplarınızda böyle bir ifade görmezsiniz. Ama bu ifadenin daha kolay anlaşılacağını düşünüyorum. b 1, b 2, b n bunlar rastgele isimler.O yüzden değiştirebilirim. b j eşittir b 1 diyeyim. b 1 de b j'ye eşit olsun. Değiş tokuş yaptık yani yerlerini değiştirdik. Bu vektöre b 1 dedim.b 1 ve b j'yi yeniden adlandırdım, yani isimlerinin yerlerini değiştirdim. Şimdi b 1'i silersem, notasyonu daha kolaylaştırıcam. b j'yi siliyorum da diyebilirsiniz, ama o zaman kafalar karıştırabilir. Neyse b 1 olarak yeniden adlandırdığım b j'yi sildikten sonra oluşan kümeye B 1 diyelim. B 1 kümesi eşittir a 1 ve b j'ye b 1 deyip silmiştim ve b 1'i b j yapmıştım.Yeni kümem şöyle: b 2 eski b j evet gerçekten b 1 de olabilirdi, bilemeyiz. Büyük ihtimalle, sıfırdan farklı böyle birden fazla vektör var, bunlardan herhangi birini b j olarak seçebilirdik.Neyse, b j'ye bu sefer b 1 dedik ve b 1'i sildik. Ve şimdi kümemiz şöyle: b 3, b m'ye kadar. Bu küme hala V'yi gerer. Çünkü sildiğimiz vektör, kalan vektörlerin lineer birleşimi olarak yazılabiliyordu. Yani, V'nin tüm vektörlerini oluşturma kapasitemizi kaybetmedik. Şimdi bir başka vektör oluşturayım.B 2 üssü kümesi diyelim. Bu sefer, V'nin doğurayından başka bir eleman seçiyorum.İkinci elemanı, a 2'yi seçiyorum.a 2'yi buna katalım. B 2 üssü kümesi, bu kümenin a 2 eklenmiş hali.a 1, a 2, b 2, b 3, b m'ye kadar. Bu hala V'yi gerer, çünkü sadece bir şey ekledim. Ama aynı zamanda lineer bağımlı. Hatırlarsanız, başlangıçta bunun lineer bağımlı olup olmadığını söylememiştim.Olabilir de, olmayabilir de. Ama V'deki başka bir vektörü ekleyince, lineer bağımlı olduğuna kesin gözüyle bakabiliriz. çünkü eklediğimiz vektörü bu vektörlerden oluşturabiliriz. Ayrıca B 1 kümesinin V'yi gerdiğini de biliyoruz. Buna göre, yeni elemanı eklediğimizde, yeni elemanın lineer birleşim olarak yazılabildiğini biliyoruz.Yani, bunun lineer bağımlı olduğunu biliyoruz. a 2 eşittir bir sabit, c 1, çarpı a 1 artı c 2 b 2 artı c 3 b 3, c m b m'ye kadar, böyle diyebiliriz. Şimdi, bu katsayıların en azından birinin 0'dan farklı olduğunu söyleyeceğim. c i'lerden en az biri 0'dan farklı. Aynı zamanda, bunun dışında başka bir tane daha daha olduğunu söyleyeceğim.b terimlerinden en az birinin katsayısı 0'dan farklı olmalı.Şöyle düşünebilirsiniz: Bütün bunlar 0 olsaydı ne olurdu? Hepsi 0 olsaydı, a 2, a 1'in lineer birleşimi olurdu. Bunların hepsi giderdi ve a 2 eşittir, 0 dışı bir sabit, çarpı a 1 kalırdı. Ama böyle olamayacağını biliyorum, çünkü bu iki vektör lineer bağımsız bir kümeden geliyor.Bu iki vektör.. Doğuraydan geliyor.Doğuraydan gelmeleri nedeniyle, lineer bağımsızlar. Lineer bağımsız oldukları için, a 2'nin bunların lineer birleşimi olarak ifade edilemeyeceğini biliyorum.O yüzden, b'li terimlerin en az birinin katsayısı sıfırdan farklı olmalı. Diyelim ki, o terim c j b j. Bu, önceki terimden farklı. En azından birinin sıfırdan farklı olması gerektiğini biliyoruz, çünkü hepsi 0 olsaydı, bu iki vektörün lineer bağımsız olduğunu söyleyemezdik. Birbirinin katı olurlardı. Aynı işlemleri yapacağız.c j sıfırdan farklı olduğu için, b j'yi tek başına bırakabiliriz. b j eşittir eksi 1 bölü c j çarpı eksi a 2 artı c 1 a 1, c m b m'ye kadar. b j'yi a 2 ve diğer vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ettik.O sebepten, silelim.Bunu kümemizden çıkaralım. Kümeden çıkarmadan önce, adını değiştireyim. Notasyonu kolaylaştırmak için, b j'ye b 2, b 2'ye de b j diyeceğim. Sadece isimleri değiş tokuş ettim.b 2'yi çıkaracağım, yani şimdi lineer birleşim olarak ifade edebildiğim vektörü çıkarıyorum. Bu terimlerden birini çıkarıyorum ve kümeye B 2 diyorum. B 2 eşittir a 1, a 2 ve b'lerin kalanı.b 3, b 4, b m'ye kadar. Dikkat ederseniz, hala m elemanım var ve küme hala V'yi geriyor. V'yi geriyor çünkü çıkardığım eleman diğer elemanların lineer birleşimi olarak yazılabiliyordu.Yani, eğer o vektöre ihtiyacım olursa, diğerlerinin lineer birleşimiyle oluşturabilirim. Yani, o vektör gerekli değildi. Fuziliydi. Küme hala V'yi gerer.Bu süreci tekrar etmeye devam edebilirim.a 3'ü ekleyebilirim. B 3 üssünü tanımlayabilirim. a 3'ü şu kümeye eklerim. a 2, a 3. Sonra b 3, b 4, b m'ye kadar. Bu da lineer bağımlı çünkü bu, V'yi gerer. Yani, bunun dışında her şey V'yi germekte. Demek ki, bu vektörü diğerlerinin lineer birleşimi olarak ifade edebiliriz. a 3 eşittir c 1 a 1 artı c 2 a 2 artı c 3 b 3, c m b m'ye kadar. b'li terimlerden en az birisinin katsayısının 0'dan farklı olması gerektiğini biliyoruz. Hepsi 0 olsaydı, a 3'ün a'lı terimlerin lineer birleşimi olduğunu söylerdik. a'lı terimler lineer bağımsız olduğundan, a 3'ün böyle bir lineer birleşim şeklinde ifade edilemeyeceğini biliyoruz. Aynı işlemi yapıyoruz.c j 0'dan farklı, diyoruz.b j'yi yalnız bırakıyoruz. Ve isimleri değiş tokuş ediyoruz. Yerlerini değiştiriyoruz. b j'ye b 3, b 3'e b j diyoruz. b 3'ü çıkarıyoruz. a 1, a 2, a 3, b 4'ten b m'ye kadar elemanların oluşturduğu B 3 kümesini böylece elde ettik. Ve bu hala V'yi gerer. Bunu yapmaya devam ediyorum.Bakalım en sonunda ne olacak? Bu süreci tekrarlamaya devam edersem, sonuçta bakalım ne olur?Bütün b'li vektörler gider. Bütün terimleri değiştirmiş olacağım ve küme şu hale gelecek.B m adında bir küme oluşacak ve bu vektörlerin hepsi, a'lı bir vektörle yer değişecek. Yani, a 1, a 2, a 3, a m'ye kadar. Altuzayı geren bir B kümesiyle başladığınızda her zaman buna ulaşabilirsiniz. Bu süreç bittikten sonra, aynı sonucu elde edersiniz. Sonuçtaki küme de V'yi gerer.Şimdi bunu yazayım. m sayıda elemanı olan bir kümeyle başlayıp bu sonucu elde ettik. m n'den küçüktür demiştik. Bunu yapmak için yeterli elemanımız var, çünkü a elemanımızın sayısı, b elemanımızın sayısından fazla. Buna göre, bu da V'yi gerer. Ama A kümesinin a 1, a 2, a m'ye kadar elemanlardan oluştuğunu ve m'den n'ye kadar da eleman içerdiğini söylemiştik. Bu arada n'nin m'den büyük olduğunu unutmayın. B'yi tanımladığımızda, m'nin n'den küçük olduğunu söylemiştik. Şimdi bunun V'yi gerdiğini söylüyoruz, ama şunun doğuray olduğunu da söylemiştik. Bunun doğuray olduğu bilgisiyle ispatımıza başlamıştık.Doğuray iki şey demek: V'yi gerer ve lineer bağımsızdır. Bu sonuca, V'yi geren daha küçük bir küme olduğunu varsayarak ulaştık. a 1'den a m'ye olan kümenin V'yi gerdiği sonucuna ulaşmış olduk.Ama A'nın altkümesi V'yi gererse, A lineer bağımlı olur. Eğer bu altküme V'yi gererse, a n'yi bu vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade edebiliriz. Bu da lineer bağımlılık anlamına gelir. A'nın V'nin doğurayı olması durumuyla bir çelişki oluşur. Çünkü doğuray lineer bağımsız olmak zorunda. Daha küçük bir geren küme size A'nın lineer bağımlı olduğu sonucunu verir. Halbuki, başlangıçtaki varsayımımıza göre, A lineer bağımsızdır. Çelişkimizi elde ettiğimize göre, A'dan daha az elemanı olan ve V'yi geren bir küme bulamayacağımız sonucuna varabiliriz. Bu çok güzel bir sonuç, çünkü size V altuzayını geren bir X kümesi bulduğumu söyleyeceğim. Ve X'in beş elemanı olduğunu söyleyeceğim. Şimdi, V altuzayını geren hiçbir kümenin 5'ten az elemanı olmadığını biliyoruz. Daha da iyisi, X'in V'nin doğurayı olduğunu ve 5 elemanı bulunduğunu söylersem, bir de Y'nin doğuray olduğunu söylersem, Y'nin de 5 elemanı olduğu sonucuna varabiliriz değil mi? Peki, bunu nasıl biliyorum? Y doğuray ise, o zaman V'yi gerdiğini biliyoruz. Yani, 5'ten az elemanı olamaz. Bunu ispatlamıştık daha önce. Y'nin beş veya daha fazla elemanı olması lazım. Ama X ve Y'nin V'nin doğurayı olduğunu da biliyorum. Demek ki, X de V'yi gerer. Yani, X'in Y'den daha az elemanı olması lazım.Buna göre, Y'nin eleman sayısının X'in eleman sayısından fazla olması gerekiyor. Çünkü altuzayı geren bir kümenin en az doğuray kadar elemanı olması gerekiyor. Ancak X de altuzayı geren bir küme olduğu için, X'in eleman sayısının da Y'nin eleman sayısından büyük veya eşit olması gerekiyor.Çünkü Y de bir doğuraydır. Bunun eleman sayısı, ötekinden büyük veya eşit ve aynı zamanda küçük veya eşitse, o zaman X'in eleman sayısı veya kardinalitesi ile Y'nin eleman sayısı veya kardinalitesi eşittir, diyebiliriz. Şimdi A kümesine geri dönelim.A eşittir a 1, a 2, a n'ye kadar. Şimdi V altuzayının her doğurayının aynı sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre, V'nin boyutu diye yeni bir terim tanımlayabiliriz. V'nin boyutu, V'nin herhangi bir doğurayının eleman sayısıdır. Ve size bu videoda V'nin her doğurayının eleman sayısının aynı olduğunu gösterdim. Yani, V'nin boyutu demek, yani V nin boyutu bence iyi tanımlanmış bir terim.5 elemanlı ve 6 elemanlı iki doğuray olamaz. Tanımsal olarak, ya ikisi de altı veya ikisi de 5 elemanlı olacak. Boyutu ancak bu şekilde tanımlayabiliriz.